Глава II. §5. п.16 Квадратный корень из степени — с. 93
389. Упростите выражение: а) √(a²), если a > 0; б) √(n²), если n < 0; в) 3√(c²), если c ≥ 0; г) −5√(y²), если y > 0; д) √(36x²), если x ≤ 0; е) −√(9y²), если y < 0; ж) −5√(4x²), если x ≥ 0; з) 0,5√(16a²), если a < 0.
Используем √(t²) = |t| и раскрываем модуль по знаку переменной.
а) |a| = a.
б) |n| = −n.
в) 3|c| = 3c.
г) −5|y| = −5y.
д) √(36x²) = 6|x| = −6x.
е) −√(9y²) = −3|y| = −3 · (−y) = 3y.
ж) −5√(4x²) = −5 · 2|x| = −10x.
з) 0,5√(16a²) = 0,5 · 4|a| = 2|a| = −2a.
Ответ: а) a; б) −n; в) 3c; г) −5y; д) −6x; е) 3y; ж) −10x; з) −2a.
а) |a| = a.
б) |n| = −n.
в) 3|c| = 3c.
г) −5|y| = −5y.
д) √(36x²) = 6|x| = −6x.
е) −√(9y²) = −3|y| = −3 · (−y) = 3y.
ж) −5√(4x²) = −5 · 2|x| = −10x.
з) 0,5√(16a²) = 0,5 · 4|a| = 2|a| = −2a.
Ответ: а) a; б) −n; в) 3c; г) −5y; д) −6x; е) 3y; ж) −10x; з) −2a.
390. Упростите выражение √(a² − 4a + 4), зная, что: а) 0 ≤ a < 2; б) a ≥ 2.
√(a² − 4a + 4) = √((a − 2)²) = |a − 2|.
а) При 0 ≤ a < 2 разность a − 2 < 0, поэтому |a − 2| = 2 − a.
б) При a ≥ 2 разность a − 2 ≥ 0, поэтому |a − 2| = a − 2.
Ответ: а) 2 − a; б) a − 2.
а) При 0 ≤ a < 2 разность a − 2 < 0, поэтому |a − 2| = 2 − a.
б) При a ≥ 2 разность a − 2 ≥ 0, поэтому |a − 2| = a − 2.
Ответ: а) 2 − a; б) a − 2.
391. (Для работы в парах.) Пользуясь калькулятором, найдите значение выражения √(9 − 6√x + x) при x, равном: а) 2,71; б) 12,62.
1. Обсудите, как можно упростить выражение, и выполните намеченное преобразование.
2. Распределите, кто вычисляет значение выражения для случая а), а кто — для случая б), и выполните вычисления.
3. Проверьте друг у друга правильность выполненных преобразований и вычислений.
1) Подкоренное выражение — квадрат разности: 9 − 6√x + x = (3 − √x)². Значит, √(9 − 6√x + x) = |3 − √x|.
2) а) x = 2,71: √2,71 ≈ 1,646 < 3, поэтому |3 − √x| = 3 − 1,646 ≈ 1,354.
б) x = 12,62: √12,62 ≈ 3,552 > 3, поэтому |3 − √x| = √x − 3 ≈ 0,552.
3) Проверка прямой подстановкой: а) 9 − 6 · 1,646 + 2,71 ≈ 1,83, √1,83 ≈ 1,35; б) 9 − 6 · 3,552 + 12,62 ≈ 0,31, √0,31 ≈ 0,55. Результаты совпадают.
Ответ: а) ≈ 1,35; б) ≈ 0,55.
2) а) x = 2,71: √2,71 ≈ 1,646 < 3, поэтому |3 − √x| = 3 − 1,646 ≈ 1,354.
б) x = 12,62: √12,62 ≈ 3,552 > 3, поэтому |3 − √x| = √x − 3 ≈ 0,552.
3) Проверка прямой подстановкой: а) 9 − 6 · 1,646 + 2,71 ≈ 1,83, √1,83 ≈ 1,35; б) 9 − 6 · 3,552 + 12,62 ≈ 0,31, √0,31 ≈ 0,55. Результаты совпадают.
Ответ: а) ≈ 1,35; б) ≈ 0,55.
392. Верно ли равенство: а) √(4 − 2√3) = √3 − 1; б) √(9 − 4√5) = 2 − √5?
а) (√3 − 1)² = 3 − 2√3 + 1 = 4 − 2√3, и √3 − 1 > 0. Значит, √(4 − 2√3) = √3 − 1. Равенство верно.
б) (2 − √5)² = 4 − 4√5 + 5 = 9 − 4√5, но 2 − √5 < 0, а арифметический корень неотрицателен: √(9 − 4√5) = |2 − √5| = √5 − 2. Равенство неверно.
Ответ: а) верно; б) неверно.
б) (2 − √5)² = 4 − 4√5 + 5 = 9 − 4√5, но 2 − √5 < 0, а арифметический корень неотрицателен: √(9 − 4√5) = |2 − √5| = √5 − 2. Равенство неверно.
Ответ: а) верно; б) неверно.
393. Упростите выражение: а) √(7 + 4√3); б) √(6 − 2√5); в) √(5 + 2√6); г) √(3 − √8).
Выделяем полный квадрат.
а) 7 + 4√3 = 4 + 4√3 + 3 = (2 + √3)², √ = 2 + √3.
б) 6 − 2√5 = 5 − 2√5 + 1 = (√5 − 1)², √ = √5 − 1 (так как √5 > 1).
в) 5 + 2√6 = 3 + 2√3 · √2 + 2 = (√3 + √2)², √ = √3 + √2.
г) 3 − √8 = 3 − 2√2 = 2 − 2√2 + 1 = (√2 − 1)², √ = √2 − 1.
Ответ: а) 2 + √3; б) √5 − 1; в) √3 + √2; г) √2 − 1.
а) 7 + 4√3 = 4 + 4√3 + 3 = (2 + √3)², √ = 2 + √3.
б) 6 − 2√5 = 5 − 2√5 + 1 = (√5 − 1)², √ = √5 − 1 (так как √5 > 1).
в) 5 + 2√6 = 3 + 2√3 · √2 + 2 = (√3 + √2)², √ = √3 + √2.
г) 3 − √8 = 3 − 2√2 = 2 − 2√2 + 1 = (√2 − 1)², √ = √2 − 1.
Ответ: а) 2 + √3; б) √5 − 1; в) √3 + √2; г) √2 − 1.
394. Найдите значение корня: а) √(2⁴); б) √(3⁴); в) √(2⁶); г) √(10⁸); д) √((−5)⁴); е) √((−2)⁸); ж) √(3⁴ · 5²); з) √(2⁶ · 7⁴).
Используем √(a^(2k)) = |a^k|.
а) 2² = 4.
б) 3² = 9.
в) 2³ = 8.
г) 10⁴ = 10 000.
д) √(((−5)²)²) = 25.
е) √(((−2)⁴)²) = 16.
ж) 3² · 5 = 45.
з) 2³ · 7² = 8 · 49 = 392.
Ответ: а) 4; б) 9; в) 8; г) 10 000; д) 25; е) 16; ж) 45; з) 392.
а) 2² = 4.
б) 3² = 9.
в) 2³ = 8.
г) 10⁴ = 10 000.
д) √(((−5)²)²) = 25.
е) √(((−2)⁴)²) = 16.
ж) 3² · 5 = 45.
з) 2³ · 7² = 8 · 49 = 392.
Ответ: а) 4; б) 9; в) 8; г) 10 000; д) 25; е) 16; ж) 45; з) 392.
395. Вычислите: а) √(11⁴); б) √(4⁶); в) √((−3)⁶); г) √((−6)⁴); д) √(2⁸ · 3²); е) √(3⁴ · 5⁶); ж) √(7² · 2⁸); з) √(3⁶ · 5⁴); и) √(8⁴ · 5⁶).
а) 11² = 121.
б) 4³ = 64.
в) |(−3)³| = 27.
г) (−6)² = 36.
д) 2⁴ · 3 = 48.
е) 3² · 5³ = 9 · 125 = 1125.
ж) 7 · 2⁴ = 112.
з) 3³ · 5² = 27 · 25 = 675.
и) 8² · 5³ = 64 · 125 = 8000.
Ответ: а) 121; б) 64; в) 27; г) 36; д) 48; е) 1125; ж) 112; з) 675; и) 8000.
б) 4³ = 64.
в) |(−3)³| = 27.
г) (−6)² = 36.
д) 2⁴ · 3 = 48.
е) 3² · 5³ = 9 · 125 = 1125.
ж) 7 · 2⁴ = 112.
з) 3³ · 5² = 27 · 25 = 675.
и) 8² · 5³ = 64 · 125 = 8000.
Ответ: а) 121; б) 64; в) 27; г) 36; д) 48; е) 1125; ж) 112; з) 675; и) 8000.
396. Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде произведения простых множителей: а) √20 736; б) √50 625; в) √28 224; г) √680 625.
а) 20 736 = 2⁸ · 3⁴, √ = 2⁴ · 3² = 16 · 9 = 144.
б) 50 625 = 3⁴ · 5⁴, √ = 3² · 5² = 225.
в) 28 224 = 2⁶ · 3² · 7², √ = 2³ · 3 · 7 = 168.
г) 680 625 = 3² · 5⁴ · 11², √ = 3 · 5² · 11 = 825.
Ответ: а) 144; б) 225; в) 168; г) 825.
б) 50 625 = 3⁴ · 5⁴, √ = 3² · 5² = 225.
в) 28 224 = 2⁶ · 3² · 7², √ = 2³ · 3 · 7 = 168.
г) 680 625 = 3² · 5⁴ · 11², √ = 3 · 5² · 11 = 825.
Ответ: а) 144; б) 225; в) 168; г) 825.