Глава II. §5. п.16 Квадратный корень из степени — с. 94
397. Вычислите: а) √2304; б) √18 225; в) √254 016.
а) 2304 = 2⁸ · 3², √ = 2⁴ · 3 = 48.
б) 18 225 = 3⁶ · 5², √ = 3³ · 5 = 135.
в) 254 016 = 2⁶ · 3⁴ · 7², √ = 2³ · 3² · 7 = 504.
Ответ: а) 48; б) 135; в) 504.
б) 18 225 = 3⁶ · 5², √ = 3³ · 5 = 135.
в) 254 016 = 2⁶ · 3⁴ · 7², √ = 2³ · 3² · 7 = 504.
Ответ: а) 48; б) 135; в) 504.
398. На рисунке 20 изображены графики функций y = 2x + 2, y = −x/4 − 3 и y = −2x + 2. Для каждой функции укажите её график. [рисунок 20: координатная плоскость с тремя прямыми a, b, c; прямая a — возрастающая, проходит через точку (0; 2); прямая b — убывающая, крутая, проходит через точку (0; 2); прямая c — пологая убывающая, проходит через точку (0; −3)]
Угловой коэффициент k определяет наклон прямой, число b в y = kx + b — ординату точки пересечения с осью y.
y = 2x + 2: k = 2 > 0, прямая возрастает, пересекает ось y в точке (0; 2) — это прямая a.
y = −2x + 2: k = −2 < 0, прямая круто убывает, пересекает ось y в точке (0; 2) — это прямая b.
y = −x/4 − 3: k = −1/4, прямая полого убывает, пересекает ось y в точке (0; −3) — это прямая c.
Ответ: y = 2x + 2 — a; y = −2x + 2 — b; y = −x/4 − 3 — c.
y = 2x + 2: k = 2 > 0, прямая возрастает, пересекает ось y в точке (0; 2) — это прямая a.
y = −2x + 2: k = −2 < 0, прямая круто убывает, пересекает ось y в точке (0; 2) — это прямая b.
y = −x/4 − 3: k = −1/4, прямая полого убывает, пересекает ось y в точке (0; −3) — это прямая c.
Ответ: y = 2x + 2 — a; y = −2x + 2 — b; y = −x/4 − 3 — c.
399. Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πR²H, где R — радиус основания, H — высота цилиндра. Выразите переменную R через V и H.
V = πR²H, откуда R² = V/(πH). Так как R > 0, то R = √(V/(πH)).
Ответ: R = √(V/(πH)).
Ответ: R = √(V/(πH)).
Вопрос 1. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из произведения.
Теорема: если a ≥ 0 и b ≥ 0, то √(ab) = √a · √b.
Доказательство. Выражение √a · √b неотрицательно, так как √a ≥ 0 и √b ≥ 0. Кроме того, (√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = ab. Число, неотрицательное и имеющее квадрат ab, по определению является арифметическим квадратным корнем из ab. Значит, √(ab) = √a · √b.
Доказательство. Выражение √a · √b неотрицательно, так как √a ≥ 0 и √b ≥ 0. Кроме того, (√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = ab. Число, неотрицательное и имеющее квадрат ab, по определению является арифметическим квадратным корнем из ab. Значит, √(ab) = √a · √b.
Вопрос 2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.
Теорема: если a ≥ 0 и b > 0, то √(a/b) = √a / √b.
Доказательство. Выражение √a / √b неотрицательно, так как √a ≥ 0 и √b > 0. Кроме того, (√a / √b)² = (√a)² / (√b)² = a/b. Значит, по определению арифметического квадратного корня √(a/b) = √a / √b.
Доказательство. Выражение √a / √b неотрицательно, так как √a ≥ 0 и √b > 0. Кроме того, (√a / √b)² = (√a)² / (√b)² = a/b. Значит, по определению арифметического квадратного корня √(a/b) = √a / √b.
Вопрос 3. Докажите тождество √(x²) = |x|.
Рассмотрим два случая.
Если x ≥ 0, то по определению арифметического квадратного корня √(x²) = x = |x|.
Если x < 0, то −x > 0 и (−x)² = x², поэтому √(x²) = √((−x)²) = −x = |x|.
Итак, при любом x значение √(x²) совпадает со значением |x|.
Если x ≥ 0, то по определению арифметического квадратного корня √(x²) = x = |x|.
Если x < 0, то −x > 0 и (−x)² = x², поэтому √(x²) = √((−x)²) = −x = |x|.
Итак, при любом x значение √(x²) совпадает со значением |x|.
Вопрос 4. Покажите на примере выражения √(a¹²), как извлекается квадратный корень из степени с чётным показателем.
Представляем подкоренное выражение в виде квадрата: a¹² = (a⁶)². Тогда √(a¹²) = √((a⁶)²) = |a⁶|. Так как a⁶ ≥ 0 при любом a, то |a⁶| = a⁶. Итак, √(a¹²) = a⁶.