Глава I. §1. п.1 Рациональные выражения — с. 9
11. Укажите допустимые значения переменной в выражении: а) x² − 8x + 9; б) 1/(6x − 3); в) (3x − 6)/7; г) (x² − 8)/(4x(x + 1)); д) (x − 5)/(x² − 25) − 3x; е) x/(x + 8) + (x − 8)/x.
Допустимы значения переменной, при которых все знаменатели не равны нулю.
а) Выражение целое, допустимы все числа.
б) 6x − 3 ≠ 0, 6x ≠ 3, x ≠ 1/2 (то есть x ≠ 0,5).
в) Деление на число 7, допустимы все числа.
г) 4x(x + 1) ≠ 0: x ≠ 0 и x ≠ −1.
д) x² − 25 ≠ 0, (x − 5)(x + 5) ≠ 0: x ≠ 5 и x ≠ −5.
е) x + 8 ≠ 0 и x ≠ 0: x ≠ −8 и x ≠ 0.
Ответ: а), в) все числа; б) все числа, кроме 1/2; г) все числа, кроме 0 и −1; д) все числа, кроме 5 и −5; е) все числа, кроме −8 и 0.
а) Выражение целое, допустимы все числа.
б) 6x − 3 ≠ 0, 6x ≠ 3, x ≠ 1/2 (то есть x ≠ 0,5).
в) Деление на число 7, допустимы все числа.
г) 4x(x + 1) ≠ 0: x ≠ 0 и x ≠ −1.
д) x² − 25 ≠ 0, (x − 5)(x + 5) ≠ 0: x ≠ 5 и x ≠ −5.
е) x + 8 ≠ 0 и x ≠ 0: x ≠ −8 и x ≠ 0.
Ответ: а), в) все числа; б) все числа, кроме 1/2; г) все числа, кроме 0 и −1; д) все числа, кроме 5 и −5; е) все числа, кроме −8 и 0.
12. Найдите допустимые значения переменной в выражении: а) (5y − 8)/11; б) 25/(y − 9); в) (y² + 1)/(y² − 2y); г) (y − 10)/(y² + 3); д) y/(y − 6) + 15/(y + 6); е) 32/y − (y + 1)/(y + 7).
а) Знаменатель — число 11, допустимы все числа.
б) y − 9 ≠ 0, y ≠ 9.
в) y² − 2y = y(y − 2) ≠ 0: y ≠ 0 и y ≠ 2.
г) y² + 3 ≥ 3 > 0, допустимы все числа.
д) y − 6 ≠ 0 и y + 6 ≠ 0: y ≠ 6 и y ≠ −6.
е) y ≠ 0 и y + 7 ≠ 0: y ≠ 0 и y ≠ −7.
Ответ: а), г) все числа; б) все числа, кроме 9; в) кроме 0 и 2; д) кроме 6 и −6; е) кроме 0 и −7.
б) y − 9 ≠ 0, y ≠ 9.
в) y² − 2y = y(y − 2) ≠ 0: y ≠ 0 и y ≠ 2.
г) y² + 3 ≥ 3 > 0, допустимы все числа.
д) y − 6 ≠ 0 и y + 6 ≠ 0: y ≠ 6 и y ≠ −6.
е) y ≠ 0 и y + 7 ≠ 0: y ≠ 0 и y ≠ −7.
Ответ: а), г) все числа; б) все числа, кроме 9; в) кроме 0 и 2; д) кроме 6 и −6; е) кроме 0 и −7.
13. Найдите область определения функции: а) y = 1/(x − 2); б) y = (2x + 3)/(x(x + 1)); в) y = x + 1/(x + 5).
Область определения — все значения x, при которых знаменатели не обращаются в нуль.
а) x − 2 ≠ 0, x ≠ 2.
б) x(x + 1) ≠ 0: x ≠ 0 и x ≠ −1.
в) x + 5 ≠ 0, x ≠ −5.
Ответ: а) все числа, кроме 2; б) все числа, кроме 0 и −1; в) все числа, кроме −5.
а) x − 2 ≠ 0, x ≠ 2.
б) x(x + 1) ≠ 0: x ≠ 0 и x ≠ −1.
в) x + 5 ≠ 0, x ≠ −5.
Ответ: а) все числа, кроме 2; б) все числа, кроме 0 и −1; в) все числа, кроме −5.
14. При каком значении переменной значение дроби (x − 3)/5 равно: а) 1; б) 0; в) −1; г) 3?
Решаем уравнение (x − 3)/5 = c, откуда x − 3 = 5c, x = 5c + 3.
а) c = 1: x − 3 = 5, x = 8.
б) c = 0: x − 3 = 0, x = 3.
в) c = −1: x − 3 = −5, x = −2.
г) c = 3: x − 3 = 15, x = 18.
Ответ: а) 8; б) 3; в) −2; г) 18.
а) c = 1: x − 3 = 5, x = 8.
б) c = 0: x − 3 = 0, x = 3.
в) c = −1: x − 3 = −5, x = −2.
г) c = 3: x − 3 = 15, x = 18.
Ответ: а) 8; б) 3; в) −2; г) 18.
15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: а) (y − 5)/8; б) (2y + 3)/10; в) x(x − 1)/(x + 4); г) x(x + 3)/(2x + 6)?
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
а) y − 5 = 0, y = 5; знаменатель 8 ≠ 0.
б) 2y + 3 = 0, y = −1,5; знаменатель 10 ≠ 0.
в) x(x − 1) = 0: x = 0 или x = 1; при этих значениях x + 4 ≠ 0 (равно 4 и 5).
г) x(x + 3) = 0: x = 0 или x = −3. При x = −3 знаменатель 2·(−3) + 6 = 0, это значение не подходит; при x = 0 знаменатель равен 6 ≠ 0.
Ответ: а) 5; б) −1,5; в) 0 и 1; г) 0.
Оговорка: знаменатель в пункте г) частично закрыт водяным знаком, прочитан как 2x + 6.
а) y − 5 = 0, y = 5; знаменатель 8 ≠ 0.
б) 2y + 3 = 0, y = −1,5; знаменатель 10 ≠ 0.
в) x(x − 1) = 0: x = 0 или x = 1; при этих значениях x + 4 ≠ 0 (равно 4 и 5).
г) x(x + 3) = 0: x = 0 или x = −3. При x = −3 знаменатель 2·(−3) + 6 = 0, это значение не подходит; при x = 0 знаменатель равен 6 ≠ 0.
Ответ: а) 5; б) −1,5; в) 0 и 1; г) 0.
Оговорка: знаменатель в пункте г) частично закрыт водяным знаком, прочитан как 2x + 6.
16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: а) (m + 4)/6; б) (7 − 5n)/11; в) (b² − b)/(b + 2); г) (y² − 25)/(3y − 15).
а) m + 4 = 0, m = −4.
б) 7 − 5n = 0, 5n = 7, n = 1,4.
в) b² − b = b(b − 1) = 0: b = 0 или b = 1; знаменатель b + 2 при этом равен 2 и 3, не нуль.
г) y² − 25 = 0: y = 5 или y = −5. При y = 5 знаменатель 3·5 − 15 = 0, значение не подходит; при y = −5 знаменатель −30 ≠ 0.
Ответ: а) −4; б) 1,4; в) 0 и 1; г) −5.
б) 7 − 5n = 0, 5n = 7, n = 1,4.
в) b² − b = b(b − 1) = 0: b = 0 или b = 1; знаменатель b + 2 при этом равен 2 и 3, не нуль.
г) y² − 25 = 0: y = 5 или y = −5. При y = 5 знаменатель 3·5 − 15 = 0, значение не подходит; при y = −5 знаменатель −30 ≠ 0.
Ответ: а) −4; б) 1,4; в) 0 и 1; г) −5.
17. Определите знак дроби a/b, если известно, что: а) a > 0 и b > 0; б) a > 0 и b < 0; в) a < 0 и b > 0; г) a < 0 и b < 0.
Частное двух чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными знаками — отрицательно.
а) a > 0, b > 0: дробь положительна.
б) a > 0, b < 0: дробь отрицательна.
в) a < 0, b > 0: дробь отрицательна.
г) a < 0, b < 0: дробь положительна.
Ответ: а) «+»; б) «−»; в) «−»; г) «+».
а) a > 0, b > 0: дробь положительна.
б) a > 0, b < 0: дробь отрицательна.
в) a < 0, b > 0: дробь отрицательна.
г) a < 0, b < 0: дробь положительна.
Ответ: а) «+»; б) «−»; в) «−»; г) «+».
18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: а) 3/(x² + 1) положительно; б) −5/(y² + 4) отрицательно; в) (a − 1)²/(a² + 10) неотрицательно; г) (b − 3)²/(−b² − 1) неположительно.
а) x² ≥ 0, поэтому x² + 1 ≥ 1 > 0. Числитель 3 > 0 и знаменатель положителен, значит, дробь положительна.
б) y² + 4 ≥ 4 > 0, числитель −5 < 0; частное отрицательного и положительного чисел отрицательно.
в) (a − 1)² ≥ 0, a² + 10 ≥ 10 > 0; частное неотрицательного числа и положительного неотрицательно.
г) (b − 3)² ≥ 0; знаменатель −b² − 1 = −(b² + 1) < 0, так как b² + 1 > 0. Частное неотрицательного числа и отрицательного числа неположительно (равно нулю при b = 3).
Что и требовалось доказать.
б) y² + 4 ≥ 4 > 0, числитель −5 < 0; частное отрицательного и положительного чисел отрицательно.
в) (a − 1)² ≥ 0, a² + 10 ≥ 10 > 0; частное неотрицательного числа и положительного неотрицательно.
г) (b − 3)² ≥ 0; знаменатель −b² − 1 = −(b² + 1) < 0, так как b² + 1 > 0. Частное неотрицательного числа и отрицательного числа неположительно (равно нулю при b = 3).
Что и требовалось доказать.
19. При каком значении a принимает наибольшее значение дробь: а) 4/(a² + 5); б) 10/((a − 3)² + 1)?
У дроби с положительным числителем значение тем больше, чем меньше положительный знаменатель.
а) a² ≥ 0, поэтому a² + 5 ≥ 5, наименьшее значение знаменателя 5 достигается при a = 0. Тогда дробь равна 4/5 — это наибольшее значение.
б) (a − 3)² ≥ 0, поэтому (a − 3)² + 1 ≥ 1, наименьшее значение знаменателя 1 достигается при a = 3. Тогда дробь равна 10 — наибольшее значение.
Ответ: а) при a = 0; б) при a = 3.
а) a² ≥ 0, поэтому a² + 5 ≥ 5, наименьшее значение знаменателя 5 достигается при a = 0. Тогда дробь равна 4/5 — это наибольшее значение.
б) (a − 3)² ≥ 0, поэтому (a − 3)² + 1 ≥ 1, наименьшее значение знаменателя 1 достигается при a = 3. Тогда дробь равна 10 — наибольшее значение.
Ответ: а) при a = 0; б) при a = 3.