Глава I. §1. п.1 Рациональные выражения — с. 8
2. Из рациональных выражений 7x² − 2xy, a/9, 12/b, a(a − b) − b/(3a), 1/4 m² − 1/3 n², a/(a + 3) − 8 выпишите те, которые являются: а) целыми выражениями; б) дробными выражениями.
Выражение целое, если в нём нет деления на выражение с переменной.
а) Целые: 7x² − 2xy; a/9 (деление на число 9); 1/4 m² − 1/3 n².
б) Дробные: 12/b (деление на b); a(a − b) − b/(3a) (деление на 3a); a/(a + 3) − 8 (деление на a + 3).
Ответ: а) 7x² − 2xy, a/9, 1/4 m² − 1/3 n²; б) 12/b, a(a − b) − b/(3a), a/(a + 3) − 8.
а) Целые: 7x² − 2xy; a/9 (деление на число 9); 1/4 m² − 1/3 n².
б) Дробные: 12/b (деление на b); a(a − b) − b/(3a) (деление на 3a); a/(a + 3) − 8 (деление на a + 3).
Ответ: а) 7x² − 2xy, a/9, 1/4 m² − 1/3 n²; б) 12/b, a(a − b) − b/(3a), a/(a + 3) − 8.
3. Найдите значение дроби (y − 1)/4 при y = 3; 1; −5; 1/2; −1,6; 100.
Подставляем значения в числитель и делим на 4.
y = 3: (3 − 1)/4 = 2/4 = 0,5.
y = 1: (1 − 1)/4 = 0.
y = −5: (−5 − 1)/4 = −6/4 = −1,5.
y = 1/2: (1/2 − 1)/4 = (−1/2)/4 = −1/8.
y = −1,6: (−1,6 − 1)/4 = −2,6/4 = −0,65.
y = 100: (100 − 1)/4 = 99/4 = 24,75.
Ответ: 0,5; 0; −1,5; −1/8; −0,65; 24,75.
y = 3: (3 − 1)/4 = 2/4 = 0,5.
y = 1: (1 − 1)/4 = 0.
y = −5: (−5 − 1)/4 = −6/4 = −1,5.
y = 1/2: (1/2 − 1)/4 = (−1/2)/4 = −1/8.
y = −1,6: (−1,6 − 1)/4 = −2,6/4 = −0,65.
y = 100: (100 − 1)/4 = 99/4 = 24,75.
Ответ: 0,5; 0; −1,5; −1/8; −0,65; 24,75.
4. Найдите значение дроби: а) (a − 8)/(2a + 5) при a = −2; б) (b² + 6)/(2b) при b = 3.
а) (−2 − 8)/(2·(−2) + 5) = −10/(−4 + 5) = −10/1 = −10.
б) (3² + 6)/(2·3) = (9 + 6)/6 = 15/6 = 2,5.
Ответ: а) −10; б) 2,5.
б) (3² + 6)/(2·3) = (9 + 6)/6 = 15/6 = 2,5.
Ответ: а) −10; б) 2,5.
5. Чему равно значение дроби ((a − b)² − 1)/(a² + 1) при: а) a = −3, b = −1; б) a = 1 1/2, b = 0,5?
а) a − b = −3 − (−1) = −2, (a − b)² = 4; числитель 4 − 1 = 3; знаменатель (−3)² + 1 = 10. Значение 3/10 = 0,3.
б) a − b = 1,5 − 0,5 = 1, (a − b)² = 1; числитель 1 − 1 = 0; знаменатель 1,5² + 1 = 3,25 ≠ 0. Значение 0/3,25 = 0.
Ответ: а) 0,3; б) 0.
б) a − b = 1,5 − 0,5 = 1, (a − b)² = 1; числитель 1 − 1 = 0; знаменатель 1,5² + 1 = 3,25 ≠ 0. Значение 0/3,25 = 0.
Ответ: а) 0,3; б) 0.
6. Перечертите в тетрадь и заполните таблицу: [таблица: строка x: −13, −5, −0,2, 0, 1/17, 1, 5 2/3, 7; строка (x + 5)/(x − 3): пусто]
Подставляем каждое значение x в дробь (x + 5)/(x − 3); при x = 3 дробь не определена, но такого значения в таблице нет.
x = −13: (−13 + 5)/(−13 − 3) = −8/(−16) = 0,5.
x = −5: (−5 + 5)/(−5 − 3) = 0/(−8) = 0.
x = −0,2: (−0,2 + 5)/(−0,2 − 3) = 4,8/(−3,2) = −1,5.
x = 0: 5/(−3) = −5/3 = −1 2/3.
x = 1/17: (1/17 + 5)/(1/17 − 3) = (86/17)/(−50/17) = −86/50 = −1,72.
x = 1: 6/(−2) = −3.
x = 5 2/3 = 17/3: (17/3 + 5)/(17/3 − 3) = (32/3)/(8/3) = 4.
x = 7: 12/4 = 3.
Ответ: 0,5; 0; −1,5; −5/3; −1,72; −3; 4; 3.
x = −13: (−13 + 5)/(−13 − 3) = −8/(−16) = 0,5.
x = −5: (−5 + 5)/(−5 − 3) = 0/(−8) = 0.
x = −0,2: (−0,2 + 5)/(−0,2 − 3) = 4,8/(−3,2) = −1,5.
x = 0: 5/(−3) = −5/3 = −1 2/3.
x = 1/17: (1/17 + 5)/(1/17 − 3) = (86/17)/(−50/17) = −86/50 = −1,72.
x = 1: 6/(−2) = −3.
x = 5 2/3 = 17/3: (17/3 + 5)/(17/3 − 3) = (32/3)/(8/3) = 4.
x = 7: 12/4 = 3.
Ответ: 0,5; 0; −1,5; −5/3; −1,72; −3; 4; 3.
7. а) Из формулы v = s/t выразите: переменную s через v и t; переменную t через s и v. б) Из формулы ρ = m/V выразите переменную V через ρ и m.
а) Умножим обе части равенства v = s/t на t (t ≠ 0): s = vt. Чтобы выразить t, разделим s = vt на v (v ≠ 0): t = s/v.
б) Умножим обе части ρ = m/V на V (V ≠ 0): ρV = m. Разделим на ρ (ρ ≠ 0): V = m/ρ.
Ответ: а) s = vt; t = s/v; б) V = m/ρ.
б) Умножим обе части ρ = m/V на V (V ≠ 0): ρV = m. Разделим на ρ (ρ ≠ 0): V = m/ρ.
Ответ: а) s = vt; t = s/v; б) V = m/ρ.
8. Из городов A и B, расстояние между которыми s км, вышли в одно и то же время навстречу друг другу два поезда. Первый шёл со скоростью v₁ км/ч, а второй — со скоростью v₂ км/ч. Через t ч они встретились. Выразите переменную t через s, v₁ и v₂. Найдите значение t, если известно, что: а) s = 250, v₁ = 60, v₂ = 40; б) s = 310, v₁ = 75, v₂ = 80.
К моменту встречи первый поезд прошёл v₁t км, второй — v₂t км, вместе они прошли всё расстояние: v₁t + v₂t = s, то есть (v₁ + v₂)t = s. Отсюда t = s/(v₁ + v₂).
а) t = 250/(60 + 40) = 250/100 = 2,5 (ч).
б) t = 310/(75 + 80) = 310/155 = 2 (ч).
Ответ: t = s/(v₁ + v₂); а) 2,5 ч; б) 2 ч.
а) t = 250/(60 + 40) = 250/100 = 2,5 (ч).
б) t = 310/(75 + 80) = 310/155 = 2 (ч).
Ответ: t = s/(v₁ + v₂); а) 2,5 ч; б) 2 ч.
9. а) Составьте дробь, числитель которой — произведение переменных x и y, а знаменатель — их сумма. б) Составьте дробь, числитель которой — разность переменных a и b, а знаменатель — их произведение. в) Составьте дробь, числитель которой — сумма переменных c и d, а знаменатель — их разность.
а) Произведение x и y — это xy, сумма — x + y; дробь xy/(x + y).
б) Разность a и b — это a − b, произведение — ab; дробь (a − b)/(ab).
в) Сумма c и d — это c + d, разность — c − d; дробь (c + d)/(c − d).
Ответ: а) xy/(x + y); б) (a − b)/(ab); в) (c + d)/(c − d).
б) Разность a и b — это a − b, произведение — ab; дробь (a − b)/(ab).
в) Сумма c и d — это c + d, разность — c − d; дробь (c + d)/(c − d).
Ответ: а) xy/(x + y); б) (a − b)/(ab); в) (c + d)/(c − d).
10. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное выражение: а) x/(x − 2); б) (b + 4)/(b² + 7); в) (y² − 1)/y + y/(y − 3); г) (a + 10)/(a(a − 1)) − 1?
Выражение имеет смысл, когда все знаменатели дробей не равны нулю.
а) x − 2 ≠ 0, откуда x ≠ 2.
б) b² + 7 ≥ 7 > 0 при любом b, знаменатель никогда не равен нулю; выражение имеет смысл при любых b.
в) Должно быть y ≠ 0 и y − 3 ≠ 0, то есть y ≠ 3.
г) a(a − 1) ≠ 0 тогда и только тогда, когда a ≠ 0 и a − 1 ≠ 0, то есть a ≠ 1.
Ответ: а) при всех x, кроме 2; б) при любых b; в) при всех y, кроме 0 и 3; г) при всех a, кроме 0 и 1.
а) x − 2 ≠ 0, откуда x ≠ 2.
б) b² + 7 ≥ 7 > 0 при любом b, знаменатель никогда не равен нулю; выражение имеет смысл при любых b.
в) Должно быть y ≠ 0 и y − 3 ≠ 0, то есть y ≠ 3.
г) a(a − 1) ≠ 0 тогда и только тогда, когда a ≠ 0 и a − 1 ≠ 0, то есть a ≠ 1.
Ответ: а) при всех x, кроме 2; б) при любых b; в) при всех y, кроме 0 и 3; г) при всех a, кроме 0 и 1.