Глава I. §1. п.1 Рациональные выражения — с. 10
20. При каком значении b принимает наименьшее значение дробь: а) (b² + 7)/21; б) ((b − 2)² + 16)/8?
Знаменатели положительны и постоянны, значит, значение дроби наименьшее, когда наименьший числитель.
а) b² ≥ 0, числитель b² + 7 ≥ 7, наименьшее значение при b = 0; дробь равна 7/21 = 1/3.
б) (b − 2)² ≥ 0, числитель (b − 2)² + 16 ≥ 16, наименьшее значение при b = 2; дробь равна 16/8 = 2.
Ответ: а) при b = 0; б) при b = 2.
а) b² ≥ 0, числитель b² + 7 ≥ 7, наименьшее значение при b = 0; дробь равна 7/21 = 1/3.
б) (b − 2)² ≥ 0, числитель (b − 2)² + 16 ≥ 16, наименьшее значение при b = 2; дробь равна 16/8 = 2.
Ответ: а) при b = 0; б) при b = 2.
21. Верно ли утверждение: а) наибольшее значение дроби 18/(4x² + 9 + y² + 4xy) равно 1; б) наибольшее значение дроби 18/(4x² + 9 + y² − 4xy) равно 2; в) наименьшее значение дроби 18/(4x² + 9 + y² + 4xy) равно 2?
Выделим полные квадраты: 4x² + y² + 4xy = (2x + y)², 4x² + y² − 4xy = (2x − y)².
а) Знаменатель (2x + y)² + 9 ≥ 9, равенство при 2x + y = 0. Поэтому дробь ≤ 18/9 = 2, и наибольшее значение равно 2, а не 1. Утверждение неверно.
б) Знаменатель (2x − y)² + 9 ≥ 9, равенство при 2x − y = 0. Наибольшее значение дроби равно 18/9 = 2. Утверждение верно.
в) Из пункта а) значение 2 — наибольшее значение этой дроби. Наименьшего значения у дроби нет: она положительна и при больших x и y становится сколь угодно близкой к нулю. Утверждение неверно.
Ответ: а) неверно; б) верно; в) неверно.
а) Знаменатель (2x + y)² + 9 ≥ 9, равенство при 2x + y = 0. Поэтому дробь ≤ 18/9 = 2, и наибольшее значение равно 2, а не 1. Утверждение неверно.
б) Знаменатель (2x − y)² + 9 ≥ 9, равенство при 2x − y = 0. Наибольшее значение дроби равно 18/9 = 2. Утверждение верно.
в) Из пункта а) значение 2 — наибольшее значение этой дроби. Наименьшего значения у дроби нет: она положительна и при больших x и y становится сколь угодно близкой к нулю. Утверждение неверно.
Ответ: а) неверно; б) верно; в) неверно.
22. Преобразуйте в многочлен: а) (2a + 3)(2a − 3); б) (y − 5b)(y + 5b); в) (0,8x + y)(y − 0,8x); г) (b + 0,5)²; д) (a − 2x)²; е) (ab − 1)².
а) По формуле разности квадратов: (2a)² − 3² = 4a² − 9.
б) y² − (5b)² = y² − 25b².
в) (y + 0,8x)(y − 0,8x) = y² − 0,64x².
г) Квадрат суммы: b² + 2·b·0,5 + 0,25 = b² + b + 0,25.
д) Квадрат разности: a² − 2·a·2x + (2x)² = a² − 4ax + 4x².
е) (ab)² − 2ab + 1 = a²b² − 2ab + 1.
Ответ: а) 4a² − 9; б) y² − 25b²; в) y² − 0,64x²; г) b² + b + 0,25; д) a² − 4ax + 4x²; е) a²b² − 2ab + 1.
б) y² − (5b)² = y² − 25b².
в) (y + 0,8x)(y − 0,8x) = y² − 0,64x².
г) Квадрат суммы: b² + 2·b·0,5 + 0,25 = b² + b + 0,25.
д) Квадрат разности: a² − 2·a·2x + (2x)² = a² − 4ax + 4x².
е) (ab)² − 2ab + 1 = a²b² − 2ab + 1.
Ответ: а) 4a² − 9; б) y² − 25b²; в) y² − 0,64x²; г) b² + b + 0,25; д) a² − 4ax + 4x²; е) a²b² − 2ab + 1.
23. Разложите на множители: а) x² − 25; б) 16 − c²; в) a² − 6a + 9; г) x² + 8x + 16; д) a³ − 8; е) b³ + 27.
а) Разность квадратов: x² − 5² = (x − 5)(x + 5).
б) 4² − c² = (4 − c)(4 + c).
в) Квадрат разности: a² − 2·a·3 + 3² = (a − 3)².
г) Квадрат суммы: x² + 2·x·4 + 4² = (x + 4)².
д) Разность кубов: a³ − 2³ = (a − 2)(a² + 2a + 4).
е) Сумма кубов: b³ + 3³ = (b + 3)(b² − 3b + 9).
Ответ: а) (x − 5)(x + 5); б) (4 − c)(4 + c); в) (a − 3)²; г) (x + 4)²; д) (a − 2)(a² + 2a + 4); е) (b + 3)(b² − 3b + 9).
б) 4² − c² = (4 − c)(4 + c).
в) Квадрат разности: a² − 2·a·3 + 3² = (a − 3)².
г) Квадрат суммы: x² + 2·x·4 + 4² = (x + 4)².
д) Разность кубов: a³ − 2³ = (a − 2)(a² + 2a + 4).
е) Сумма кубов: b³ + 3³ = (b + 3)(b² − 3b + 9).
Ответ: а) (x − 5)(x + 5); б) (4 − c)(4 + c); в) (a − 3)²; г) (x + 4)²; д) (a − 2)(a² + 2a + 4); е) (b + 3)(b² − 3b + 9).
24. Анне Александровне в подарок необходимо купить пять одинаковых коробок конфет. В магазине «Сладость» одна коробка конфет стоит 350 р., но сейчас там проходит акция: три коробки по цене двух. В магазине «Джем» каждая коробка стоит 390 р., но при покупке больше четырёх коробок действует скидка 30% на всю покупку. В каком магазине покупка будет более выгодной?
Сколько рублей при этом сможет сэкономить Анна Александровна?
«Сладость»: из пяти коробок три берутся по цене двух, значит, платить нужно за 2 + 2 = 4 коробки: 4·350 = 1400 (р.).
«Джем»: пять коробок стоят 5·390 = 1950 р.; так как коробок больше четырёх, скидка 30%: 1950·0,7 = 1365 (р.).
1365 < 1400, выгоднее магазин «Джем»; экономия 1400 − 1365 = 35 (р.).
Ответ: в магазине «Джем»; она сэкономит 35 р.
«Джем»: пять коробок стоят 5·390 = 1950 р.; так как коробок больше четырёх, скидка 30%: 1950·0,7 = 1365 (р.).
1365 < 1400, выгоднее магазин «Джем»; экономия 1400 − 1365 = 35 (р.).
Ответ: в магазине «Джем»; она сэкономит 35 р.