Глава I. §1. п.2 Основное свойство дроби. Сокращение дробей — с. 14
25. Укажите общий множитель числителя и знаменателя и сократите дробь: а) 2x/(3x); б) 15x/(25y); в) 6a/(24a); г) 7ab/(21bc); д) −2xy/(5x²y); е) 8x²y²/(24xy).
а) Общий множитель x: 2x/(3x) = 2/3.
б) Общий множитель 5: 15x/(25y) = 3x/(5y).
в) Общий множитель 6a: 6a/(24a) = 1/4.
г) Общий множитель 7b: 7ab/(21bc) = a/(3c).
д) Общий множитель xy: −2xy/(5x²y) = −2/(5x).
е) Общий множитель 8xy: 8x²y²/(24xy) = xy/3.
Ответ: а) 2/3; б) 3x/(5y); в) 1/4; г) a/(3c); д) −2/(5x); е) xy/3.
б) Общий множитель 5: 15x/(25y) = 3x/(5y).
в) Общий множитель 6a: 6a/(24a) = 1/4.
г) Общий множитель 7b: 7ab/(21bc) = a/(3c).
д) Общий множитель xy: −2xy/(5x²y) = −2/(5x).
е) Общий множитель 8xy: 8x²y²/(24xy) = xy/3.
Ответ: а) 2/3; б) 3x/(5y); в) 1/4; г) a/(3c); д) −2/(5x); е) xy/3.
26. Сократите дробь: а) 10xz/(15yz); б) 6ab²/(9bc²); в) 2ay³/(−4a²b); г) −6p²q/(−2q³); д) 24a²c²/(36ac); е) 63x²y³/(42x⁶y⁴).
а) Сокращаем на 5z: 10xz/(15yz) = 2x/(3y).
б) Сокращаем на 3b: 6ab²/(9bc²) = 2ab/(3c²).
в) Сокращаем на 2a: 2ay³/(−4a²b) = −y³/(2ab).
г) Сокращаем на 2q: −6p²q/(−2q³) = 3p²/q².
д) Сокращаем на 12ac: 24a²c²/(36ac) = 2ac/3.
е) Сокращаем на 21x²y³: 63x²y³/(42x⁶y⁴) = 3/(2x⁴y).
Ответ: а) 2x/(3y); б) 2ab/(3c²); в) −y³/(2ab); г) 3p²/q²; д) 2ac/3; е) 3/(2x⁴y).
б) Сокращаем на 3b: 6ab²/(9bc²) = 2ab/(3c²).
в) Сокращаем на 2a: 2ay³/(−4a²b) = −y³/(2ab).
г) Сокращаем на 2q: −6p²q/(−2q³) = 3p²/q².
д) Сокращаем на 12ac: 24a²c²/(36ac) = 2ac/3.
е) Сокращаем на 21x²y³: 63x²y³/(42x⁶y⁴) = 3/(2x⁴y).
Ответ: а) 2x/(3y); б) 2ab/(3c²); в) −y³/(2ab); г) 3p²/q²; д) 2ac/3; е) 3/(2x⁴y).
27. Представьте частное в виде дроби и сократите её: а) 4a²b³ : (2a⁴b²); б) 3xy² : (6x³y³); в) 24p⁴q⁴ : (48p²q²); г) 36m²n : (18mn); д) −32b⁵c : (12b⁴c²); е) −6ax : (−18ax).
а) 4a²b³/(2a⁴b²) = 2b/a².
б) 3xy²/(6x³y³) = 1/(2x²y).
в) 24p⁴q⁴/(48p²q²) = p²q²/2.
г) 36m²n/(18mn) = 2m.
д) −32b⁵c/(12b⁴c²) = −8b/(3c).
е) −6ax/(−18ax) = 1/3.
Ответ: а) 2b/a²; б) 1/(2x²y); в) p²q²/2; г) 2m; д) −8b/(3c); е) 1/3.
б) 3xy²/(6x³y³) = 1/(2x²y).
в) 24p⁴q⁴/(48p²q²) = p²q²/2.
г) 36m²n/(18mn) = 2m.
д) −32b⁵c/(12b⁴c²) = −8b/(3c).
е) −6ax/(−18ax) = 1/3.
Ответ: а) 2b/a²; б) 1/(2x²y); в) p²q²/2; г) 2m; д) −8b/(3c); е) 1/3.
28. Сократите дробь: а) 4a²/(6ac); б) 7x²y/(21xy²); в) 56m²n⁵/(35mn⁵); г) 25p⁴q/(100p⁵q).
а) Сокращаем на 2a: 4a²/(6ac) = 2a/(3c).
б) Сокращаем на 7xy: 7x²y/(21xy²) = x/(3y).
в) Сокращаем на 7mn⁵: 56m²n⁵/(35mn⁵) = 8m/5.
г) Сокращаем на 25p⁴q: 25p⁴q/(100p⁵q) = 1/(4p).
Ответ: а) 2a/(3c); б) x/(3y); в) 8m/5; г) 1/(4p).
Оговорка: показатели степеней в пунктах в) и г) читались по мелкому шрифту: в) 56m²n⁵/(35mn⁵), г) 25p⁴q/(100p⁵q).
б) Сокращаем на 7xy: 7x²y/(21xy²) = x/(3y).
в) Сокращаем на 7mn⁵: 56m²n⁵/(35mn⁵) = 8m/5.
г) Сокращаем на 25p⁴q: 25p⁴q/(100p⁵q) = 1/(4p).
Ответ: а) 2a/(3c); б) x/(3y); в) 8m/5; г) 1/(4p).
Оговорка: показатели степеней в пунктах в) и г) читались по мелкому шрифту: в) 56m²n⁵/(35mn⁵), г) 25p⁴q/(100p⁵q).
29. Найдите значение выражения: а) 8¹⁶/16¹²; б) 81²⁵/27³³.
а) 8 = 2³, 16 = 2⁴: 8¹⁶ = 2⁴⁸, 16¹² = 2⁴⁸. Дробь равна 1.
б) 81 = 3⁴, 27 = 3³: 81²⁵ = 3¹⁰⁰, 27³³ = 3⁹⁹. Дробь равна 3¹⁰⁰/3⁹⁹ = 3.
Ответ: а) 1; б) 3.
б) 81 = 3⁴, 27 = 3³: 81²⁵ = 3¹⁰⁰, 27³³ = 3⁹⁹. Дробь равна 3¹⁰⁰/3⁹⁹ = 3.
Ответ: а) 1; б) 3.
30. Сократите дробь: а) a(b − 2)/(5(b − 2)); б) 3(x + 4)/(c(x + 4)); в) ab(y + 3)/(a²b(y + 3)); г) 15a(a − b)/(20b(a − b)).
Сокращаем общие множители числителя и знаменателя.
а) На b − 2: a/5.
б) На x + 4: 3/c.
в) На ab(y + 3): 1/a.
г) На 5(a − b): 3a/(4b).
Ответ: а) a/5; б) 3/c; в) 1/a; г) 3a/(4b).
а) На b − 2: a/5.
б) На x + 4: 3/c.
в) На ab(y + 3): 1/a.
г) На 5(a − b): 3a/(4b).
Ответ: а) a/5; б) 3/c; в) 1/a; г) 3a/(4b).
31. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её: а) (3a + 12b)/(6ab); б) (15b − 20c)/(10b); в) (2a − 4)/(3(a − 2)); г) 5x(y + 2)/(6y + 12); д) (a − 3b)/(a² − 3ab); е) (3x² + 15xy)/(x + 5y).
а) 3a + 12b = 3(a + 4b), 6ab = 3·2ab; (a + 4b)/(2ab).
б) 15b − 20c = 5(3b − 4c), 10b = 5·2b; (3b − 4c)/(2b).
в) 2a − 4 = 2(a − 2); 2(a − 2)/(3(a − 2)) = 2/3.
г) 6y + 12 = 6(y + 2); 5x(y + 2)/(6(y + 2)) = 5x/6.
д) a² − 3ab = a(a − 3b); (a − 3b)/(a(a − 3b)) = 1/a.
е) 3x² + 15xy = 3x(x + 5y); 3x(x + 5y)/(x + 5y) = 3x.
Ответ: а) (a + 4b)/(2ab); б) (3b − 4c)/(2b); в) 2/3; г) 5x/6; д) 1/a; е) 3x.
Оговорка: знак в числителе пункта а) на скане читается неотчётливо, принят «+», как в ответе учебника.
б) 15b − 20c = 5(3b − 4c), 10b = 5·2b; (3b − 4c)/(2b).
в) 2a − 4 = 2(a − 2); 2(a − 2)/(3(a − 2)) = 2/3.
г) 6y + 12 = 6(y + 2); 5x(y + 2)/(6(y + 2)) = 5x/6.
д) a² − 3ab = a(a − 3b); (a − 3b)/(a(a − 3b)) = 1/a.
е) 3x² + 15xy = 3x(x + 5y); 3x(x + 5y)/(x + 5y) = 3x.
Ответ: а) (a + 4b)/(2ab); б) (3b − 4c)/(2b); в) 2/3; г) 5x/6; д) 1/a; е) 3x.
Оговорка: знак в числителе пункта а) на скане читается неотчётливо, принят «+», как в ответе учебника.
32. Сократите дробь: а) (y² − 16)/(3y + 12); б) (5x − 15y)/(x² − 9y²); в) (c + 2)²/(7c² + 14c); г) (6cd − 18c)/(d − 3)²; д) (a² + 10a + 25)/(a² − 25); е) (y² − 9)/(y² − 6y + 9).
а) (y − 4)(y + 4)/(3(y + 4)) = (y − 4)/3.
б) 5(x − 3y)/((x − 3y)(x + 3y)) = 5/(x + 3y).
в) (c + 2)²/(7c(c + 2)) = (c + 2)/(7c).
г) 6c(d − 3)/(d − 3)² = 6c/(d − 3).
д) (a + 5)²/((a − 5)(a + 5)) = (a + 5)/(a − 5).
е) (y − 3)(y + 3)/(y − 3)² = (y + 3)/(y − 3).
Ответ: а) (y − 4)/3; б) 5/(x + 3y); в) (c + 2)/(7c); г) 6c/(d − 3); д) (a + 5)/(a − 5); е) (y + 3)/(y − 3).
б) 5(x − 3y)/((x − 3y)(x + 3y)) = 5/(x + 3y).
в) (c + 2)²/(7c(c + 2)) = (c + 2)/(7c).
г) 6c(d − 3)/(d − 3)² = 6c/(d − 3).
д) (a + 5)²/((a − 5)(a + 5)) = (a + 5)/(a − 5).
е) (y − 3)(y + 3)/(y − 3)² = (y + 3)/(y − 3).
Ответ: а) (y − 4)/3; б) 5/(x + 3y); в) (c + 2)/(7c); г) 6c/(d − 3); д) (a + 5)/(a − 5); е) (y + 3)/(y − 3).
33. Сократите дробь: а) (a² − ab + b²)/(a³ + b³); б) (a³ − b³)/(a − b); в) (a + b)³/(a³ + b³); г) (a³ − b³)/(a² − b²).
а) a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); дробь равна 1/(a + b).
б) a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); дробь равна a² + ab + b².
в) (a + b)³/((a + b)(a² − ab + b²)) = (a + b)²/(a² − ab + b²).
г) (a − b)(a² + ab + b²)/((a − b)(a + b)) = (a² + ab + b²)/(a + b).
Ответ: а) 1/(a + b); б) a² + ab + b²; в) (a + b)²/(a² − ab + b²); г) (a² + ab + b²)/(a + b).
б) a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); дробь равна a² + ab + b².
в) (a + b)³/((a + b)(a² − ab + b²)) = (a + b)²/(a² − ab + b²).
г) (a − b)(a² + ab + b²)/((a − b)(a + b)) = (a² + ab + b²)/(a + b).
Ответ: а) 1/(a + b); б) a² + ab + b²; в) (a + b)²/(a² − ab + b²); г) (a² + ab + b²)/(a + b).