Глава I. §1. п.2 Основное свойство дроби. Сокращение дробей — с. 16
39. Из выражений −x/(−y), −x/y, x/(−y), −(−x)/y выпишите те, которые: а) тождественно равны дроби x/y; б) противоположны дроби x/y.
Если изменить знак числителя или знаменателя дроби и знак перед дробью, получится выражение, тождественно равное данному. Если изменить знак только числителя или только знаменателя, получится противоположное выражение.
−x/(−y): изменены знаки и числителя, и знаменателя, то есть знак изменён дважды — равно x/y.
−x/y: изменён знак числителя — противоположно x/y.
x/(−y): изменён знак знаменателя — противоположно x/y.
−(−x)/y: знак числителя изменён и знак перед дробью изменён — равно x/y.
Ответ: а) −x/(−y) и −(−x)/y; б) −x/y и x/(−y).
Оговорка: последнее выражение прочитано как −(−x)/y, то есть минус перед дробью (−x)/y.
−x/(−y): изменены знаки и числителя, и знаменателя, то есть знак изменён дважды — равно x/y.
−x/y: изменён знак числителя — противоположно x/y.
x/(−y): изменён знак знаменателя — противоположно x/y.
−(−x)/y: знак числителя изменён и знак перед дробью изменён — равно x/y.
Ответ: а) −x/(−y) и −(−x)/y; б) −x/y и x/(−y).
Оговорка: последнее выражение прочитано как −(−x)/y, то есть минус перед дробью (−x)/y.
40. Упростите выражение: а) (a − b)/(b − a); б) (a − b)²/(b − a)²; в) (a − b)²/(b − a); г) (a − b)/(b − a)²; д) (−a − b)/(a + b); е) (a + b)²/(−a − b)²; ж) (−a − b)²/(a + b); з) (a − b − c)/(b + c − a).
а) b − a = −(a − b); дробь равна −1.
б) (b − a)² = (a − b)²; дробь равна 1.
в) (a − b)² = (b − a)²; (b − a)²/(b − a) = b − a.
г) (b − a)² = (a − b)²; (a − b)/(a − b)² = 1/(a − b).
д) −a − b = −(a + b); дробь равна −1.
е) (−a − b)² = (a + b)²; дробь равна 1.
ж) (−a − b)² = (a + b)²; (a + b)²/(a + b) = a + b.
з) b + c − a = −(a − b − c); дробь равна −1.
Ответ: а) −1; б) 1; в) b − a; г) 1/(a − b); д) −1; е) 1; ж) a + b; з) −1.
Оговорка: в ответах учебника для пункта д) указано a + b; это значение пункта ж), а для пункта д) значение −1 проверено дважды.
б) (b − a)² = (a − b)²; дробь равна 1.
в) (a − b)² = (b − a)²; (b − a)²/(b − a) = b − a.
г) (b − a)² = (a − b)²; (a − b)/(a − b)² = 1/(a − b).
д) −a − b = −(a + b); дробь равна −1.
е) (−a − b)² = (a + b)²; дробь равна 1.
ж) (−a − b)² = (a + b)²; (a + b)²/(a + b) = a + b.
з) b + c − a = −(a − b − c); дробь равна −1.
Ответ: а) −1; б) 1; в) b − a; г) 1/(a − b); д) −1; е) 1; ж) a + b; з) −1.
Оговорка: в ответах учебника для пункта д) указано a + b; это значение пункта ж), а для пункта д) значение −1 проверено дважды.
41. Какой из графиков, изображённых на рисунке 2, является графиком функции y = (1 − x)²/(x − 1)? [рисунок 2: четыре графика на координатной сетке: 1 — прямая y = 1 − x; 2 — прямая y = x − 1; 3 — прямая y = 1 − x с выколотой точкой (1; 0); 4 — прямая y = x − 1 с выколотой точкой (1; 0)]
Функция определена при x − 1 ≠ 0, то есть при x ≠ 1. Так как (1 − x)² = (x − 1)², то y = (x − 1)²/(x − 1) = x − 1 при x ≠ 1.
График — прямая y = x − 1 (проходит через точки (0; −1) и (1; 0)), у которой выколота точка с абсциссой 1: (1; 0).
Прямые y = x − 1 изображены на графиках 2 и 4, а выколотая точка (1; 0) есть только на графике 4.
Ответ: график 4.
График — прямая y = x − 1 (проходит через точки (0; −1) и (1; 0)), у которой выколота точка с абсциссой 1: (1; 0).
Прямые y = x − 1 изображены на графиках 2 и 4, а выколотая точка (1; 0) есть только на графике 4.
Ответ: график 4.