Упражнения 50–54 — Глава I. §1. п.2 Основное свойство дроби…

Умножаем выражение на знаменатель и делим на него: 2a + b = (2a + b) · d/d.
а) 2a + b = (2a + b)b/b = (2ab + b²)/b.
б) 2a + b = (2a + b) · 5/5 = (10a + 5b)/5.
в) 2a + b = (2a + b) · 3a/(3a) = (6a² + 3ab)/(3a).
г) 2a + b = (2a + b)(2a − b)/(2a − b) = (4a² − b²)/(2a − b).
Ответ: а) (2ab + b²)/b; б) (10a + 5b)/5; в) (6a² + 3ab)/(3a); г) (4a² − b²)/(2a − b).

а) Дополнительный множитель (a − b): x/(a − b) = x(a − b)/(a − b)².
б) x² − a² = (x − a)(x + a), дополнительный множитель (x + a): y/(x − a) = y(x + a)/(x² − a²).
в) 10 − a = −(a − 10), поэтому a/(a − 10) = −a/(10 − a) = (−a)/(10 − a).
г) 4 − p² = (2 − p)(2 + p), а p − 2 = −(2 − p). Тогда p/(p − 2) = −p/(2 − p) = −p(2 + p)/((2 − p)(2 + p)) = (−2p − p²)/(4 − p²).
д) m² − n² = (m − n)(m + n), а n − m = −(m − n). Тогда mn/(n − m) = −mn/(m − n) = −mn(m + n)/(m² − n²) = (−m²n − mn²)/(m² − n²).
Ответ: а) x(a − b)/(a − b)²; б) y(x + a)/(x² − a²); в) −a/(10 − a); г) (−2p − p²)/(4 − p²); д) (−m²n − mn²)/(m² − n²).

Делим обе части на коэффициент при x.
а) x = 16 : (−5) = −3,2.
б) x = (1/5) : 2 = 1/10 = 0,1.
в) x = 4 : (1/3) = 12.
г) x = −2 : 4 = −0,5.
д) x = 3 : 0,6 = 5.
е) x = 5 : (−0,7) = −50/7 = −7 1/7.
Ответ: а) −3,2; б) 0,1; в) 12; г) −0,5; д) 5; е) −7 1/7.

а) 5bc − 5c = 5c(b − 1).
б) 10n + 15n² = 5n(2 + 3n).
в) 8ab + 12bc = 4b(2a + 3c).
г) 5y − 5x + y² − xy = 5(y − x) + y(y − x) = (y − x)(5 + y).
д) a² − 9 = (a − 3)(a + 3).
е) x² + 10x + 25 = (x + 5)².
ж) y² − 2y + 1 = (y − 1)².
з) a³ + 64 = a³ + 4³ = (a + 4)(a² − 4a + 16).
и) b³ − 1 = (b − 1)(b² + b + 1).
Ответ: а) 5c(b − 1); б) 5n(2 + 3n); в) 4b(2a + 3c); г) (y − x)(5 + y); д) (a − 3)(a + 3); е) (x + 5)²; ж) (y − 1)²; з) (a + 4)(a² − 4a + 16); и) (b − 1)(b² + b + 1).

а) 5/16 : 6 = 5/96; 5/16 · 0,1 = 5/160 = 1/32 = 3/96; 5/16 · (−7) = −35/16 < 0. Так как 3/96 < 5/96, то −35/16 < 1/32 < 5/96.
В порядке возрастания: 5/16 · (−7), 5/16 · 0,1, 5/16 : 6.
б) 0,8 · (−0,4) = −0,32; 0,8 : (−0,4) = −2; 0,8 − (−0,4) = 1,2; 0,8 + (−0,4) = 0,4. Так как 1,2 > 0,4 > −0,32 > −2, то порядок убывания: 0,8 − (−0,4); 0,8 + (−0,4); 0,8 · (−0,4); 0,8 : (−0,4).
Ответ: а) 5/16 · (−7); 5/16 · 0,1; 5/16 : 6; б) 0,8 − (−0,4); 0,8 + (−0,4); 0,8 · (−0,4); 0,8 : (−0,4).

Целое выражение составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, возведения в натуральную степень и деления на число. Примеры целых выражений: 3x² − 5y; (a + b)/2; 7ab − 1.
Дробное выражение содержит деление на выражение с переменной. Примеры дробных выражений: 5/x; (a + 1)/(b − 2); x/(x² + 1).

Рациональной дробью называют дробь P/Q, числитель и знаменатель которой — многочлены (знаменатель — ненулевой многочлен). Пример: (x² − 1)/(x + 3).

Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Пример: (a + b)² = a² + 2ab + b² верно при любых a и b; (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 верно при всех x ≠ 1.

Основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен. В буквенном виде: a/b = ac/(bc), где b ≠ 0 и c ≠ 0.
Доказательство. Пусть при допустимых значениях переменных a/b = t. Тогда a = bt. Умножим обе части на c: ac = (bc)t. Так как bc ≠ 0, разделим обе части на bc: ac/(bc) = t = a/b. Значит, ac/(bc) = a/b.
Деление числителя и знаменателя на общий множитель d ≠ 0 — то же свойство, прочитанное справа налево: если a = a₁d, b = b₁d, то a/b = a₁d/(b₁d) = a₁/b₁.

Если изменить знак числителя дроби (или знак знаменателя) и одновременно знак перед дробью, то значение выражения не изменится: a/b = −(−a)/b и a/b = −a/(−b).
Также дробь не изменится, если одновременно изменить знаки числителя и знаменателя: a/b = (−a)/(−b).
Пример: (x − 2)/(3 − x) = −(x − 2)/(x − 3) = (2 − x)/(x − 3).