Глава I. §1. п.2 Основное свойство дроби. Сокращение дробей — с. 17
42. Сократите дробь: а) a(x − 2y)/(b(2y − x)); б) 5x(x − y)/(x³(y − x)); в) (3a − 36)/(12b − ab); г) (7b − 14b²)/(42b² − 21b); д) (25 − a²)/(3a − 15); е) (3 − 3x)/(x² − 2x + 1); ж) (8b² − 8a²)/(a² − 2ab + b²); з) (b − 2)³/(2 − b)².
Используем: x − 2y = −(2y − x), y − x = −(x − y) и (2 − b)² = (b − 2)².
а) a(x − 2y)/(b(2y − x)) = −a(2y − x)/(b(2y − x)) = −a/b.
б) 5x(x − y)/(x³(y − x)) = −5x(y − x)/(x³(y − x)) = −5/x².
в) (3a − 36)/(12b − ab) = 3(a − 12)/(b(12 − a)) = −3(12 − a)/(b(12 − a)) = −3/b.
г) (7b − 14b²)/(42b² − 21b) = 7b(1 − 2b)/(21b(2b − 1)) = −7b(2b − 1)/(21b(2b − 1)) = −1/3.
д) (25 − a²)/(3a − 15) = (5 − a)(5 + a)/(3(a − 5)) = −(5 + a)/3.
е) (3 − 3x)/(x² − 2x + 1) = 3(1 − x)/(x − 1)² = −3(x − 1)/(x − 1)² = −3/(x − 1).
ж) (8b² − 8a²)/(a² − 2ab + b²) = 8(b − a)(b + a)/(a − b)² = 8(b − a)(b + a)/(b − a)² = 8(a + b)/(b − a).
з) (b − 2)³/(2 − b)² = (b − 2)³/(b − 2)² = b − 2.
Ответ: а) −a/b; б) −5/x²; в) −3/b; г) −1/3; д) −(a + 5)/3; е) −3/(x − 1); ж) 8(a + b)/(b − a); з) b − 2.
а) a(x − 2y)/(b(2y − x)) = −a(2y − x)/(b(2y − x)) = −a/b.
б) 5x(x − y)/(x³(y − x)) = −5x(y − x)/(x³(y − x)) = −5/x².
в) (3a − 36)/(12b − ab) = 3(a − 12)/(b(12 − a)) = −3(12 − a)/(b(12 − a)) = −3/b.
г) (7b − 14b²)/(42b² − 21b) = 7b(1 − 2b)/(21b(2b − 1)) = −7b(2b − 1)/(21b(2b − 1)) = −1/3.
д) (25 − a²)/(3a − 15) = (5 − a)(5 + a)/(3(a − 5)) = −(5 + a)/3.
е) (3 − 3x)/(x² − 2x + 1) = 3(1 − x)/(x − 1)² = −3(x − 1)/(x − 1)² = −3/(x − 1).
ж) (8b² − 8a²)/(a² − 2ab + b²) = 8(b − a)(b + a)/(a − b)² = 8(b − a)(b + a)/(b − a)² = 8(a + b)/(b − a).
з) (b − 2)³/(2 − b)² = (b − 2)³/(b − 2)² = b − 2.
Ответ: а) −a/b; б) −5/x²; в) −3/b; г) −1/3; д) −(a + 5)/3; е) −3/(x − 1); ж) 8(a + b)/(b − a); з) b − 2.
43. Сократите дробь: а) (ax + bx − ay − by)/(bx − by); б) (ab − 3b − 2a + 6)/(15 − 5a).
а) Числитель разложим группировкой: ax + bx − ay − by = x(a + b) − y(a + b) = (a + b)(x − y). Знаменатель: bx − by = b(x − y). Дробь равна (a + b)(x − y)/(b(x − y)) = (a + b)/b.
б) Числитель: ab − 3b − 2a + 6 = b(a − 3) − 2(a − 3) = (a − 3)(b − 2). Знаменатель: 15 − 5a = 5(3 − a) = −5(a − 3). Дробь равна (a − 3)(b − 2)/(−5(a − 3)) = −(b − 2)/5 = (2 − b)/5.
Ответ: а) (a + b)/b; б) (2 − b)/5.
б) Числитель: ab − 3b − 2a + 6 = b(a − 3) − 2(a − 3) = (a − 3)(b − 2). Знаменатель: 15 − 5a = 5(3 − a) = −5(a − 3). Дробь равна (a − 3)(b − 2)/(−5(a − 3)) = −(b − 2)/5 = (2 − b)/5.
Ответ: а) (a + b)/b; б) (2 − b)/5.
44. Упростите выражение: а) (x^6 + x^4)/(x^4 + x²); б) (y^6 − y^8)/(y^4 − y²); в) (b^7 − b^10)/(b^5 − b²); г) (c^6 − c^4)/(c³ − c²).
Выносим в числителе и знаменателе общий множитель и сокращаем.
а) x^4(x² + 1)/(x²(x² + 1)) = x².
б) y^6(1 − y²)/(y²(y² − 1)) = −y^6(y² − 1)/(y²(y² − 1)) = −y^4.
в) b^7(1 − b³)/(b²(b³ − 1)) = −b^7(b³ − 1)/(b²(b³ − 1)) = −b^5.
г) c^4(c² − 1)/(c²(c − 1)) = c^4(c − 1)(c + 1)/(c²(c − 1)) = c²(c + 1) = c³ + c².
Ответ: а) x²; б) −y^4; в) −b^5; г) c³ + c².
а) x^4(x² + 1)/(x²(x² + 1)) = x².
б) y^6(1 − y²)/(y²(y² − 1)) = −y^6(y² − 1)/(y²(y² − 1)) = −y^4.
в) b^7(1 − b³)/(b²(b³ − 1)) = −b^7(b³ − 1)/(b²(b³ − 1)) = −b^5.
г) c^4(c² − 1)/(c²(c − 1)) = c^4(c − 1)(c + 1)/(c²(c − 1)) = c²(c + 1) = c³ + c².
Ответ: а) x²; б) −y^4; в) −b^5; г) c³ + c².
45. Найдите значение выражения: а) (a^8 + a^5)/(a^5 + a²) при a = −1/2; б) (b^10 − b^8)/(b^8 − b^6) при b = −0,1.
а) (a^8 + a^5)/(a^5 + a²) = a^5(a³ + 1)/(a²(a³ + 1)) = a³. При a = −1/2: (−1/2)³ = −1/8.
б) (b^10 − b^8)/(b^8 − b^6) = b^8(b² − 1)/(b^6(b² − 1)) = b². При b = −0,1: (−0,1)² = 0,01.
Ответ: а) −1/8; б) 0,01.
б) (b^10 − b^8)/(b^8 − b^6) = b^8(b² − 1)/(b^6(b² − 1)) = b². При b = −0,1: (−0,1)² = 0,01.
Ответ: а) −1/8; б) 0,01.
46. Сократите дробь: а) (2a − 2b)²/(a − b); б) (3c + 9d)²/(c + 3d); в) (3x + 6y)²/(5x + 10y); г) (4x² − y²)/(10x + 5y)².
а) (2a − 2b)² = 4(a − b)², поэтому 4(a − b)²/(a − b) = 4(a − b) = 4a − 4b.
б) (3c + 9d)² = 9(c + 3d)², поэтому 9(c + 3d)²/(c + 3d) = 9(c + 3d) = 9c + 27d.
в) (3x + 6y)² = 9(x + 2y)², 5x + 10y = 5(x + 2y); дробь равна 9(x + 2y)²/(5(x + 2y)) = 9(x + 2y)/5 = (9x + 18y)/5.
г) 4x² − y² = (2x − y)(2x + y), (10x + 5y)² = 25(2x + y)²; дробь равна (2x − y)(2x + y)/(25(2x + y)²) = (2x − y)/(25(2x + y)) = (2x − y)/(50x + 25y).
Ответ: а) 4(a − b); б) 9c + 27d; в) (9x + 18y)/5; г) (2x − y)/(50x + 25y).
б) (3c + 9d)² = 9(c + 3d)², поэтому 9(c + 3d)²/(c + 3d) = 9(c + 3d) = 9c + 27d.
в) (3x + 6y)² = 9(x + 2y)², 5x + 10y = 5(x + 2y); дробь равна 9(x + 2y)²/(5(x + 2y)) = 9(x + 2y)/5 = (9x + 18y)/5.
г) 4x² − y² = (2x − y)(2x + y), (10x + 5y)² = 25(2x + y)²; дробь равна (2x − y)(2x + y)/(25(2x + y)²) = (2x − y)/(25(2x + y)) = (2x − y)/(50x + 25y).
Ответ: а) 4(a − b); б) 9c + 27d; в) (9x + 18y)/5; г) (2x − y)/(50x + 25y).
47. (Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях a, отличных от −2 и 2, значение дроби (a² − 4)/(12 + a² − a^4) является отрицательным числом?
1. Выберите произвольное значение a, отличное от −2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
2. Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
3. Выполните это преобразование и сделайте вывод.
1) Возьмём a = 0: (0 − 4)/(12 + 0 − 0) = −4/12 = −1/3 < 0. Возьмём a = 3: (9 − 4)/(12 + 9 − 81) = 5/(−60) = −1/12 < 0. В обоих случаях значение отрицательно.
2) Чтобы понять знак дроби при любом a, надо разложить на множители знаменатель и сократить дробь.
3) Знаменатель: 12 + a² − a^4 = −(a^4 − a² − 12) = −(a² − 4)(a² + 3) (проверка: (a² − 4)(a² + 3) = a^4 − a² − 12). Тогда (a² − 4)/(12 + a² − a^4) = (a² − 4)/(−(a² − 4)(a² + 3)) = −1/(a² + 3). Так как a² + 3 > 0 при любом a, дробь −1/(a² + 3) отрицательна.
Вывод: утверждение верно: при всех a ≠ −2 и a ≠ 2 значение дроби отрицательно.
Ответ: да, верно.
2) Чтобы понять знак дроби при любом a, надо разложить на множители знаменатель и сократить дробь.
3) Знаменатель: 12 + a² − a^4 = −(a^4 − a² − 12) = −(a² − 4)(a² + 3) (проверка: (a² − 4)(a² + 3) = a^4 − a² − 12). Тогда (a² − 4)/(12 + a² − a^4) = (a² − 4)/(−(a² − 4)(a² + 3)) = −1/(a² + 3). Так как a² + 3 > 0 при любом a, дробь −1/(a² + 3) отрицательна.
Вывод: утверждение верно: при всех a ≠ −2 и a ≠ 2 значение дроби отрицательно.
Ответ: да, верно.
48. Докажите, что значение дроби не зависит от n, где n — натуральное число: а) (3^(n+2) − 3^n)/(3^(n+2) + 3^(n+1) + 3^n); б) (16^(n+1) − 2^(n+4))/(4 · 2^n(2^(3n) − 1)).
а) Вынесем 3^n: числитель 3^(n+2) − 3^n = 3^n(9 − 1) = 8 · 3^n; знаменатель 3^(n+2) + 3^(n+1) + 3^n = 3^n(9 + 3 + 1) = 13 · 3^n. Дробь равна 8 · 3^n/(13 · 3^n) = 8/13 при любом n, то есть от n не зависит.
б) 16^(n+1) = 2^(4n+4) = 2^(n+4) · 2^(3n). Числитель: 2^(n+4) · 2^(3n) − 2^(n+4) = 2^(n+4)(2^(3n) − 1) = 16 · 2^n(2^(3n) − 1). Знаменатель: 4 · 2^n(2^(3n) − 1). Сокращаем на 2^n(2^(3n) − 1) (оно не равно 0 при n ≥ 1): получаем 16/4 = 4. Значение дроби равно 4 при любом n.
Ответ: а) 8/13; б) 4.
Оговорка: в скане показатель во втором слагаемом числителя б) плохо читается; принято 2^(n+4) (при 2^(n−4) значение дроби зависело бы от n и доказываемое утверждение было бы неверным).
б) 16^(n+1) = 2^(4n+4) = 2^(n+4) · 2^(3n). Числитель: 2^(n+4) · 2^(3n) − 2^(n+4) = 2^(n+4)(2^(3n) − 1) = 16 · 2^n(2^(3n) − 1). Знаменатель: 4 · 2^n(2^(3n) − 1). Сокращаем на 2^n(2^(3n) − 1) (оно не равно 0 при n ≥ 1): получаем 16/4 = 4. Значение дроби равно 4 при любом n.
Ответ: а) 8/13; б) 4.
Оговорка: в скане показатель во втором слагаемом числителя б) плохо читается; принято 2^(n+4) (при 2^(n−4) значение дроби зависело бы от n и доказываемое утверждение было бы неверным).
49. Приведите к знаменателю 24a³b² следующие дроби: 5b/(8a³), 7a/(3b²), 1/(2ab), 2/(a²b²).
Находим дополнительный множитель: делим 24a³b² на знаменатель дроби.
24a³b² : 8a³ = 3b², поэтому 5b/(8a³) = 5b · 3b²/(8a³ · 3b²) = 15b³/(24a³b²).
24a³b² : 3b² = 8a³, поэтому 7a/(3b²) = 7a · 8a³/(24a³b²) = 56a^4/(24a³b²).
24a³b² : 2ab = 12a²b, поэтому 1/(2ab) = 12a²b/(24a³b²).
24a³b² : a²b² = 24a, поэтому 2/(a²b²) = 48a/(24a³b²).
Ответ: 15b³/(24a³b²); 56a^4/(24a³b²); 12a²b/(24a³b²); 48a/(24a³b²).
24a³b² : 8a³ = 3b², поэтому 5b/(8a³) = 5b · 3b²/(8a³ · 3b²) = 15b³/(24a³b²).
24a³b² : 3b² = 8a³, поэтому 7a/(3b²) = 7a · 8a³/(24a³b²) = 56a^4/(24a³b²).
24a³b² : 2ab = 12a²b, поэтому 1/(2ab) = 12a²b/(24a³b²).
24a³b² : a²b² = 24a, поэтому 2/(a²b²) = 48a/(24a³b²).
Ответ: 15b³/(24a³b²); 56a^4/(24a³b²); 12a²b/(24a³b²); 48a/(24a³b²).