Глава I. §1. п.2 Основное свойство дроби. Сокращение дробей — с. 15
34. Найдите значение дроби: а) (15a² − 10ab)/(3ab − 2b²) при a = −2, b = −0,1; б) (9c² − 4d²)/(18c²d − 12cd²) при c = 2/3, d = 1/2; в) (6x² + 12xy)/(5xy + 10y²) при x = 2/3, y = −0,4; г) (x² + 6xy + 9y²)/(4x² + 12xy) при x = −0,2, y = −0,6.
Сначала сократим дробь.
а) 5a(3a − 2b)/(b(3a − 2b)) = 5a/b. При a = −2, b = −0,1: 5·(−2)/(−0,1) = −10/(−0,1) = 100.
б) (3c − 2d)(3c + 2d)/(6cd(3c − 2d)) = (3c + 2d)/(6cd). При c = 2/3, d = 1/2: числитель 2 + 1 = 3, знаменатель 6·(2/3)·(1/2) = 2; значение 3/2 = 1,5.
в) 6x(x + 2y)/(5y(x + 2y)) = 6x/(5y). При x = 2/3, y = −0,4: 6·(2/3) = 4, 5·(−0,4) = −2; значение 4/(−2) = −2.
г) (x + 3y)²/(4x(x + 3y)) = (x + 3y)/(4x). При x = −0,2, y = −0,6: числитель −0,2 − 1,8 = −2, знаменатель 4·(−0,2) = −0,8; значение −2/(−0,8) = 2,5.
Ответ: а) 100; б) 1,5; в) −2; г) 2,5.
а) 5a(3a − 2b)/(b(3a − 2b)) = 5a/b. При a = −2, b = −0,1: 5·(−2)/(−0,1) = −10/(−0,1) = 100.
б) (3c − 2d)(3c + 2d)/(6cd(3c − 2d)) = (3c + 2d)/(6cd). При c = 2/3, d = 1/2: числитель 2 + 1 = 3, знаменатель 6·(2/3)·(1/2) = 2; значение 3/2 = 1,5.
в) 6x(x + 2y)/(5y(x + 2y)) = 6x/(5y). При x = 2/3, y = −0,4: 6·(2/3) = 4, 5·(−0,4) = −2; значение 4/(−2) = −2.
г) (x + 3y)²/(4x(x + 3y)) = (x + 3y)/(4x). При x = −0,2, y = −0,6: числитель −0,2 − 1,8 = −2, знаменатель 4·(−0,2) = −0,8; значение −2/(−0,8) = 2,5.
Ответ: а) 100; б) 1,5; в) −2; г) 2,5.
35. Сократите дробь: а) (x² − 4x + 4)/(x² − 2x); б) (3y² + 24y)/(y² + 16y + 64); в) (a² + a + 1)/(a³ − 1); г) (b + 2)/(b³ + 8).
а) (x − 2)²/(x(x − 2)) = (x − 2)/x.
б) 3y(y + 8)/(y + 8)² = 3y/(y + 8).
в) a³ − 1 = (a − 1)(a² + a + 1); дробь равна 1/(a − 1).
г) b³ + 8 = (b + 2)(b² − 2b + 4); дробь равна 1/(b² − 2b + 4).
Ответ: а) (x − 2)/x; б) 3y/(y + 8); в) 1/(a − 1); г) 1/(b² − 2b + 4).
б) 3y(y + 8)/(y + 8)² = 3y/(y + 8).
в) a³ − 1 = (a − 1)(a² + a + 1); дробь равна 1/(a − 1).
г) b³ + 8 = (b + 2)(b² − 2b + 4); дробь равна 1/(b² − 2b + 4).
Ответ: а) (x − 2)/x; б) 3y/(y + 8); в) 1/(a − 1); г) 1/(b² − 2b + 4).
36. Представьте частное в виде дроби и сократите её: а) (9x² − y²) : (3x + y); б) (2ab − a) : (4b² − 4b + 1); в) (x² + 2x + 4) : (x³ − 8); г) (1 + a³) : (1 + a).
а) (3x − y)(3x + y)/(3x + y) = 3x − y.
б) 2ab − a = a(2b − 1), 4b² − 4b + 1 = (2b − 1)²; a(2b − 1)/(2b − 1)² = a/(2b − 1).
в) x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4); дробь равна 1/(x − 2).
г) 1 + a³ = (1 + a)(1 − a + a²); дробь равна 1 − a + a².
Ответ: а) 3x − y; б) a/(2b − 1); в) 1/(x − 2); г) 1 − a + a².
б) 2ab − a = a(2b − 1), 4b² − 4b + 1 = (2b − 1)²; a(2b − 1)/(2b − 1)² = a/(2b − 1).
в) x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4); дробь равна 1/(x − 2).
г) 1 + a³ = (1 + a)(1 − a + a²); дробь равна 1 − a + a².
Ответ: а) 3x − y; б) a/(2b − 1); в) 1/(x − 2); г) 1 − a + a².
37. Сократите дробь: а) (2x + bx − 2y − by)/(7x − 7y); б) (8a + 4b)/(2ab + b² − 2ad − bd); в) (xy − x + y − y²)/(x² − y²); г) (a² + 2ac + c²)/(a² + ac − ax − cx).
а) Числитель: 2(x − y) + b(x − y) = (x − y)(2 + b); знаменатель 7(x − y). Дробь равна (2 + b)/7.
б) Числитель 4(2a + b); знаменатель b(2a + b) − d(2a + b) = (2a + b)(b − d). Дробь равна 4/(b − d).
в) Числитель: x(y − 1) − y(y − 1) = (y − 1)(x − y); знаменатель (x − y)(x + y). Дробь равна (y − 1)/(x + y).
г) Числитель (a + c)²; знаменатель a(a + c) − x(a + c) = (a + c)(a − x). Дробь равна (a + c)/(a − x).
Ответ: а) (b + 2)/7; б) 4/(b − d); в) (y − 1)/(x + y); г) (a + c)/(a − x).
Оговорка: в числителе пункта г) на скане знак перед c² читается неотчётливо; принято a² + 2ac + c², как в ответе учебника.
б) Числитель 4(2a + b); знаменатель b(2a + b) − d(2a + b) = (2a + b)(b − d). Дробь равна 4/(b − d).
в) Числитель: x(y − 1) − y(y − 1) = (y − 1)(x − y); знаменатель (x − y)(x + y). Дробь равна (y − 1)/(x + y).
г) Числитель (a + c)²; знаменатель a(a + c) − x(a + c) = (a + c)(a − x). Дробь равна (a + c)/(a − x).
Ответ: а) (b + 2)/7; б) 4/(b − d); в) (y − 1)/(x + y); г) (a + c)/(a − x).
Оговорка: в числителе пункта г) на скане знак перед c² читается неотчётливо; принято a² + 2ac + c², как в ответе учебника.
38. (Для работы в парах.) Постройте график функции: а) y = (x² − 25)/(2x + 10); б) y = (x³ − 9x)/(x² − 9).
1. Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков?
2. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки.
1) В обеих дробях числитель и знаменатель имеют общий множитель, который обращается в нуль при некоторых значениях x. После сокращения получается линейная функция, но исходная функция определена не при всех x. Поэтому график — прямая, из которой нужно «выколоть» точки с недопустимыми значениями x.
2) а) Область определения: 2x + 10 ≠ 0, x ≠ −5. Сократим: (x − 5)(x + 5)/(2(x + 5)) = (x − 5)/2. График — прямая y = (x − 5)/2 (точки (5; 0) и (−5; −5), (1; −2)), из которой выколота точка с абсциссой −5: (−5; −5).
б) Область определения: x² − 9 ≠ 0, x ≠ 3 и x ≠ −3. Сократим: x(x − 3)(x + 3)/((x − 3)(x + 3)) = x. График — прямая y = x с выколотыми точками (3; 3) и (−3; −3).
3) Проверка: подставьте в исходную формулу значения, не равные выколотым, и убедитесь, что они дают точки построенных прямых; выколотые точки при этом не принадлежат графику.
Ответ: а) прямая y = (x − 5)/2 без точки (−5; −5); б) прямая y = x без точек (3; 3) и (−3; −3).
2) а) Область определения: 2x + 10 ≠ 0, x ≠ −5. Сократим: (x − 5)(x + 5)/(2(x + 5)) = (x − 5)/2. График — прямая y = (x − 5)/2 (точки (5; 0) и (−5; −5), (1; −2)), из которой выколота точка с абсциссой −5: (−5; −5).
б) Область определения: x² − 9 ≠ 0, x ≠ 3 и x ≠ −3. Сократим: x(x − 3)(x + 3)/((x − 3)(x + 3)) = x. График — прямая y = x с выколотыми точками (3; 3) и (−3; −3).
3) Проверка: подставьте в исходную формулу значения, не равные выколотым, и убедитесь, что они дают точки построенных прямых; выколотые точки при этом не принадлежат графику.
Ответ: а) прямая y = (x − 5)/2 без точки (−5; −5); б) прямая y = x без точек (3; 3) и (−3; −3).