Глава I. §2. п.3 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями — с. 21
57. Представьте выражение в виде дроби: а) (2x − 3y)/(4xy) + (11y − 2x)/(4xy); б) (5a + b)/(8b) − (5a − 7b)/(8b); в) (a − 2)/(8a) + (2a + 5)/(8a) − (3 − a)/(8a); г) (11a − 2b)/(4a) + (2a − 3b)/(4a) − (a − b)/(4a).
а) (2x − 3y + 11y − 2x)/(4xy) = 8y/(4xy) = 2/x.
б) (5a + b − (5a − 7b))/(8b) = (5a + b − 5a + 7b)/(8b) = 8b/(8b) = 1.
в) (a − 2 + 2a + 5 − (3 − a))/(8a) = (a − 2 + 2a + 5 − 3 + a)/(8a) = 4a/(8a) = 1/2.
г) (11a − 2b + 2a − 3b − (a − b))/(4a) = (11a − 2b + 2a − 3b − a + b)/(4a) = (12a − 4b)/(4a) = 4(3a − b)/(4a) = (3a − b)/a.
Ответ: а) 2/x; б) 1; в) 1/2; г) (3a − b)/a.
Оговорка: в скане числители в б) и г) немного искажены наложенными значками; прочитано (5a + b), (5a − 7b) и (2a − 3b).
б) (5a + b − (5a − 7b))/(8b) = (5a + b − 5a + 7b)/(8b) = 8b/(8b) = 1.
в) (a − 2 + 2a + 5 − (3 − a))/(8a) = (a − 2 + 2a + 5 − 3 + a)/(8a) = 4a/(8a) = 1/2.
г) (11a − 2b + 2a − 3b − (a − b))/(4a) = (11a − 2b + 2a − 3b − a + b)/(4a) = (12a − 4b)/(4a) = 4(3a − b)/(4a) = (3a − b)/a.
Ответ: а) 2/x; б) 1; в) 1/2; г) (3a − b)/a.
Оговорка: в скане числители в б) и г) немного искажены наложенными значками; прочитано (5a + b), (5a − 7b) и (2a − 3b).
58. Представьте выражение в виде дроби: а) (17 − 12x)/x − (10 − x)/x; б) (12p − 1)/(3p²) − (1 − 3p)/(3p²); в) (6y − 3)/(5y) − (y + 2)/(5y); г) (3p − q)/(5p) − (2p + 6q)/(5p) + (p − 4q)/(5p); д) (5c − 2d)/(4c) − 3d/(4c) + (d − 5c)/(4c); е) 2a/b − (1 − 6a)/b + (13 − 8a)/b.
а) (17 − 12x − 10 + x)/x = (7 − 11x)/x.
б) (12p − 1 − 1 + 3p)/(3p²) = (15p − 2)/(3p²).
в) (6y − 3 − y − 2)/(5y) = (5y − 5)/(5y) = 5(y − 1)/(5y) = (y − 1)/y.
г) (3p − q − 2p − 6q + p − 4q)/(5p) = (2p − 11q)/(5p).
д) (5c − 2d − 3d + d − 5c)/(4c) = −4d/(4c) = −d/c.
е) (2a − 1 + 6a + 13 − 8a)/b = 12/b.
Ответ: а) (7 − 11x)/x; б) (15p − 2)/(3p²); в) (y − 1)/y; г) (2p − 11q)/(5p); д) −d/c; е) 12/b.
б) (12p − 1 − 1 + 3p)/(3p²) = (15p − 2)/(3p²).
в) (6y − 3 − y − 2)/(5y) = (5y − 5)/(5y) = 5(y − 1)/(5y) = (y − 1)/y.
г) (3p − q − 2p − 6q + p − 4q)/(5p) = (2p − 11q)/(5p).
д) (5c − 2d − 3d + d − 5c)/(4c) = −4d/(4c) = −d/c.
е) (2a − 1 + 6a + 13 − 8a)/b = 12/b.
Ответ: а) (7 − 11x)/x; б) (15p − 2)/(3p²); в) (y − 1)/y; г) (2p − 11q)/(5p); д) −d/c; е) 12/b.
59. Выполните действие: а) 16/(x − 4) − x²/(x − 4); б) 25/(a + 5) − a²/(a + 5); в) (3a − 1)/(a² − b²) − (3b − 1)/(a² − b²); г) (x − 3)/(x² − 64) + 11/(x² − 64); д) (2a + b)/(a − b)² − (2b − 5a)/(a − b)²; е) (13x + 6y)/(x + y)² − (11x + 4y)/(x + y)².
а) (16 − x²)/(x − 4) = (4 − x)(4 + x)/(x − 4) = −(x − 4)(x + 4)/(x − 4) = −(x + 4) = −x − 4.
б) (25 − a²)/(a + 5) = (5 − a)(5 + a)/(a + 5) = 5 − a.
в) (3a − 1 − 3b + 1)/(a² − b²) = 3(a − b)/((a − b)(a + b)) = 3/(a + b).
г) (x − 3 + 11)/(x² − 64) = (x + 8)/((x − 8)(x + 8)) = 1/(x − 8).
д) (2a + b − (2b − 5a))/(a − b)² = (2a + b − 2b + 5a)/(a − b)² = (7a − b)/(a − b)².
е) (13x + 6y − 11x − 4y)/(x + y)² = (2x + 2y)/(x + y)² = 2(x + y)/(x + y)² = 2/(x + y).
Ответ: а) −x − 4; б) 5 − a; в) 3/(a + b); г) 1/(x − 8); д) (7a − b)/(a − b)²; е) 2/(x + y).
б) (25 − a²)/(a + 5) = (5 − a)(5 + a)/(a + 5) = 5 − a.
в) (3a − 1 − 3b + 1)/(a² − b²) = 3(a − b)/((a − b)(a + b)) = 3/(a + b).
г) (x − 3 + 11)/(x² − 64) = (x + 8)/((x − 8)(x + 8)) = 1/(x − 8).
д) (2a + b − (2b − 5a))/(a − b)² = (2a + b − 2b + 5a)/(a − b)² = (7a − b)/(a − b)².
е) (13x + 6y − 11x − 4y)/(x + y)² = (2x + 2y)/(x + y)² = 2(x + y)/(x + y)² = 2/(x + y).
Ответ: а) −x − 4; б) 5 − a; в) 3/(a + b); г) 1/(x − 8); д) (7a − b)/(a − b)²; е) 2/(x + y).
60. Докажите, что: а) выражение (a + b)²/(ab) − (a − b)²/(ab) тождественно равно 4; б) выражение (a + b)²/(a² + b²) + (a − b)²/(a² + b²) тождественно равно 2.
а) ((a + b)² − (a − b)²)/(ab) = (a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b²)/(ab) = 4ab/(ab) = 4 (при a ≠ 0, b ≠ 0). Тождество доказано.
б) ((a + b)² + (a − b)²)/(a² + b²) = (a² + 2ab + b² + a² − 2ab + b²)/(a² + b²) = (2a² + 2b²)/(a² + b²) = 2(a² + b²)/(a² + b²) = 2 (знаменатель отличен от нуля, если a и b не равны нулю одновременно). Тождество доказано.
б) ((a + b)² + (a − b)²)/(a² + b²) = (a² + 2ab + b² + a² − 2ab + b²)/(a² + b²) = (2a² + 2b²)/(a² + b²) = 2(a² + b²)/(a² + b²) = 2 (знаменатель отличен от нуля, если a и b не равны нулю одновременно). Тождество доказано.
61. Найдите значение выражения: а) (a² − 43)/(a − 6) + 7/(a − 6) при a = 10,25; б) (9b − 1)/(b² − 9) − (6b − 10)/(b² − 9) при b = 3,5.
а) (a² − 43 + 7)/(a − 6) = (a² − 36)/(a − 6) = (a − 6)(a + 6)/(a − 6) = a + 6. При a = 10,25 получаем 16,25.
б) (9b − 1 − (6b − 10))/(b² − 9) = (3b + 9)/(b² − 9) = 3(b + 3)/((b − 3)(b + 3)) = 3/(b − 3). При b = 3,5 получаем 3/0,5 = 6.
Ответ: а) 16,25; б) 6.
б) (9b − 1 − (6b − 10))/(b² − 9) = (3b + 9)/(b² − 9) = 3(b + 3)/((b − 3)(b + 3)) = 3/(b − 3). При b = 3,5 получаем 3/0,5 = 6.
Ответ: а) 16,25; б) 6.
62. Найдите значение выражения (a² − 12b)/(a² − 3ab) − (3ab − 4a)/(a² − 3ab) при a = −0,8, b = −1,75. Нет ли в задаче лишних данных?
Вычитаем дроби: (a² − 12b − 3ab + 4a)/(a² − 3ab). Числитель: a² + 4a − 3ab − 12b = a(a + 4) − 3b(a + 4) = (a + 4)(a − 3b). Знаменатель: a² − 3ab = a(a − 3b). Дробь равна (a + 4)(a − 3b)/(a(a − 3b)) = (a + 4)/a.
При a = −0,8: (−0,8 + 4)/(−0,8) = 3,2/(−0,8) = −4.
Ответ: −4. Лишних данных нет: значение b не влияет на результат, но оно нужно, чтобы убедиться, что выражение имеет смысл: a² − 3ab = a(a − 3b) = −0,8 · (−0,8 + 5,25) ≠ 0.
При a = −0,8: (−0,8 + 4)/(−0,8) = 3,2/(−0,8) = −4.
Ответ: −4. Лишних данных нет: значение b не влияет на результат, но оно нужно, чтобы убедиться, что выражение имеет смысл: a² − 3ab = a(a − 3b) = −0,8 · (−0,8 + 5,25) ≠ 0.
63. Выполните действие: а) x/(y − 1) + 5/(1 − y); б) a/(c − 3) − 6/(3 − c); в) 2m/(m − n) + 2n/(n − m); г) 5p/(2q − p) + 10q/(p − 2q); д) (a² + 16)/(a − 4) + 8a/(4 − a); е) (x² + 9y²)/(x − 3y) + 6xy/(3y − x).
Приводим знаменатели к одинаковым, меняя знак у знаменателя второй дроби и перед дробью.
а) x/(y − 1) − 5/(y − 1) = (x − 5)/(y − 1).
б) a/(c − 3) + 6/(c − 3) = (a + 6)/(c − 3).
в) 2m/(m − n) − 2n/(m − n) = 2(m − n)/(m − n) = 2.
г) 5p/(2q − p) − 10q/(2q − p) = (5p − 10q)/(2q − p) = −5(2q − p)/(2q − p) = −5.
д) (a² + 16)/(a − 4) − 8a/(a − 4) = (a² − 8a + 16)/(a − 4) = (a − 4)²/(a − 4) = a − 4.
е) (x² + 9y²)/(x − 3y) − 6xy/(x − 3y) = (x² − 6xy + 9y²)/(x − 3y) = (x − 3y)²/(x − 3y) = x − 3y.
Ответ: а) (x − 5)/(y − 1); б) (a + 6)/(c − 3); в) 2; г) −5; д) a − 4; е) x − 3y.
а) x/(y − 1) − 5/(y − 1) = (x − 5)/(y − 1).
б) a/(c − 3) + 6/(c − 3) = (a + 6)/(c − 3).
в) 2m/(m − n) − 2n/(m − n) = 2(m − n)/(m − n) = 2.
г) 5p/(2q − p) − 10q/(2q − p) = (5p − 10q)/(2q − p) = −5(2q − p)/(2q − p) = −5.
д) (a² + 16)/(a − 4) − 8a/(a − 4) = (a² − 8a + 16)/(a − 4) = (a − 4)²/(a − 4) = a − 4.
е) (x² + 9y²)/(x − 3y) − 6xy/(x − 3y) = (x² − 6xy + 9y²)/(x − 3y) = (x − 3y)²/(x − 3y) = x − 3y.
Ответ: а) (x − 5)/(y − 1); б) (a + 6)/(c − 3); в) 2; г) −5; д) a − 4; е) x − 3y.