Глава I. §2. п.3 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями — с. 22
64. Выполните действие: а) 10p/(p − q) + 3p/(q − p); б) 5a/(a − b) + 5b/(b − a); в) (x − 3)/(x − 1) − 2/(1 − x); г) a/(2a − b) + (3a − b)/(b − 2a); д) a/(a² − 9) + 3/(9 − a²); е) y²/(y − 1) + 1/(1 − y).
а) 10p/(p − q) − 3p/(p − q) = 7p/(p − q).
б) 5a/(a − b) − 5b/(a − b) = 5(a − b)/(a − b) = 5.
в) (x − 3)/(x − 1) + 2/(x − 1) = (x − 1)/(x − 1) = 1.
г) a/(2a − b) − (3a − b)/(2a − b) = (a − 3a + b)/(2a − b) = (b − 2a)/(2a − b) = −1.
д) a/(a² − 9) − 3/(a² − 9) = (a − 3)/((a − 3)(a + 3)) = 1/(a + 3).
е) y²/(y − 1) − 1/(y − 1) = (y² − 1)/(y − 1) = (y − 1)(y + 1)/(y − 1) = y + 1.
Ответ: а) 7p/(p − q); б) 5; в) 1; г) −1; д) 1/(a + 3); е) y + 1.
б) 5a/(a − b) − 5b/(a − b) = 5(a − b)/(a − b) = 5.
в) (x − 3)/(x − 1) + 2/(x − 1) = (x − 1)/(x − 1) = 1.
г) a/(2a − b) − (3a − b)/(2a − b) = (a − 3a + b)/(2a − b) = (b − 2a)/(2a − b) = −1.
д) a/(a² − 9) − 3/(a² − 9) = (a − 3)/((a − 3)(a + 3)) = 1/(a + 3).
е) y²/(y − 1) − 1/(y − 1) = (y² − 1)/(y − 1) = (y − 1)(y + 1)/(y − 1) = y + 1.
Ответ: а) 7p/(p − q); б) 5; в) 1; г) −1; д) 1/(a + 3); е) y + 1.
65. Докажите, что при всех допустимых значениях x значение выражения не зависит от x: а) (3x + 5)/(2x − 1) + (7x + 3)/(1 − 2x); б) (5x + 1)/(5x − 20) + (x + 17)/(20 − 5x).
а) (3x + 5)/(2x − 1) − (7x + 3)/(2x − 1) = (3x + 5 − 7x − 3)/(2x − 1) = (2 − 4x)/(2x − 1) = −2(2x − 1)/(2x − 1) = −2 при x ≠ 1/2. Значение не зависит от x.
б) (5x + 1)/(5(x − 4)) − (x + 17)/(5(x − 4)) = (5x + 1 − x − 17)/(5(x − 4)) = (4x − 16)/(5(x − 4)) = 4(x − 4)/(5(x − 4)) = 4/5 при x ≠ 4. Значение не зависит от x.
Ответ: а) −2; б) 4/5.
б) (5x + 1)/(5(x − 4)) − (x + 17)/(5(x − 4)) = (5x + 1 − x − 17)/(5(x − 4)) = (4x − 16)/(5(x − 4)) = 4(x − 4)/(5(x − 4)) = 4/5 при x ≠ 4. Значение не зависит от x.
Ответ: а) −2; б) 4/5.
66. Выполните действие: а) x²/(x − 5)² − 25/(5 − x)²; б) (x² + 25)/(x − 5)³ + 10x/(5 − x)³.
а) (5 − x)² = (x − 5)², поэтому (x² − 25)/(x − 5)² = (x − 5)(x + 5)/(x − 5)² = (x + 5)/(x − 5).
б) (5 − x)³ = −(x − 5)³, поэтому выражение равно (x² + 25)/(x − 5)³ − 10x/(x − 5)³ = (x² − 10x + 25)/(x − 5)³ = (x − 5)²/(x − 5)³ = 1/(x − 5).
Ответ: а) (x + 5)/(x − 5); б) 1/(x − 5).
б) (5 − x)³ = −(x − 5)³, поэтому выражение равно (x² + 25)/(x − 5)³ − 10x/(x − 5)³ = (x² − 10x + 25)/(x − 5)³ = (x − 5)²/(x − 5)³ = 1/(x − 5).
Ответ: а) (x + 5)/(x − 5); б) 1/(x − 5).
67. Преобразуйте в дробь выражение: а) x²/(x² − 16) − 8(x − 2)/(x² − 16); б) (64 − 2ab)/(a − 8)² + (2ab − a²)/(8 − a)².
а) (x² − 8(x − 2))/(x² − 16) = (x² − 8x + 16)/(x² − 16) = (x − 4)²/((x − 4)(x + 4)) = (x − 4)/(x + 4).
б) (8 − a)² = (a − 8)², поэтому (64 − 2ab + 2ab − a²)/(a − 8)² = (64 − a²)/(8 − a)² = (8 − a)(8 + a)/(8 − a)² = (8 + a)/(8 − a).
Ответ: а) (x − 4)/(x + 4); б) (8 + a)/(8 − a).
б) (8 − a)² = (a − 8)², поэтому (64 − 2ab + 2ab − a²)/(a − 8)² = (64 − a²)/(8 − a)² = (8 − a)(8 + a)/(8 − a)² = (8 + a)/(8 − a).
Ответ: а) (x − 4)/(x + 4); б) (8 + a)/(8 − a).
68. Пользуясь тождеством (a + b)/c = a/c + b/c, представьте дробь в виде суммы дробей: а) (a + b)/x; б) (2a² + a)/y; в) (x² + 6y²)/(2xy); г) (12a + y²)/(6ay).
Делим каждое слагаемое числителя на знаменатель.
а) (a + b)/x = a/x + b/x.
б) (2a² + a)/y = 2a²/y + a/y.
в) (x² + 6y²)/(2xy) = x²/(2xy) + 6y²/(2xy) = x/(2y) + 3y/x.
г) (12a + y²)/(6ay) = 12a/(6ay) + y²/(6ay) = 2/y + y/(6a).
Ответ: а) a/x + b/x; б) 2a²/y + a/y; в) x/(2y) + 3y/x; г) 2/y + y/(6a).
Оговорка: в пункте г) числитель читается плохо (рядом стоит значок сайта); принято 12a + y².
а) (a + b)/x = a/x + b/x.
б) (2a² + a)/y = 2a²/y + a/y.
в) (x² + 6y²)/(2xy) = x²/(2xy) + 6y²/(2xy) = x/(2y) + 3y/x.
г) (12a + y²)/(6ay) = 12a/(6ay) + y²/(6ay) = 2/y + y/(6a).
Ответ: а) a/x + b/x; б) 2a²/y + a/y; в) x/(2y) + 3y/x; г) 2/y + y/(6a).
Оговорка: в пункте г) числитель читается плохо (рядом стоит значок сайта); принято 12a + y².
69. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей: а) (x² + y²)/x^4; б) (2x − y)/b; в) (a² + 1)/(2a); г) (a² − 3ab)/a³.
а) (x² + y²)/x^4 = x²/x^4 + y²/x^4 = 1/x² + y²/x^4.
б) (2x − y)/b = 2x/b − y/b.
в) (a² + 1)/(2a) = a²/(2a) + 1/(2a) = a/2 + 1/(2a).
г) (a² − 3ab)/a³ = a²/a³ − 3ab/a³ = 1/a − 3b/a².
Ответ: а) 1/x² + y²/x^4; б) 2x/b − y/b; в) a/2 + 1/(2a); г) 1/a − 3b/a².
б) (2x − y)/b = 2x/b − y/b.
в) (a² + 1)/(2a) = a²/(2a) + 1/(2a) = a/2 + 1/(2a).
г) (a² − 3ab)/a³ = a²/a³ − 3ab/a³ = 1/a − 3b/a².
Ответ: а) 1/x² + y²/x^4; б) 2x/b − y/b; в) a/2 + 1/(2a); г) 1/a − 3b/a².
70. Представьте дробь (5n² + 3n + 6)/n в виде суммы двучлена и дроби. Выясните, при каких натуральных n данная дробь принимает натуральные значения.
(5n² + 3n + 6)/n = 5n²/n + 3n/n + 6/n = 5n + 3 + 6/n, то есть сумма двучлена 5n + 3 и дроби 6/n.
При натуральном n число 5n + 3 натуральное, значит, вся сумма натуральна тогда и только тогда, когда 6/n — натуральное число, то есть n — делитель числа 6. Это n = 1, 2, 3, 6.
Ответ: 5n + 3 + 6/n; при n = 1, 2, 3, 6.
При натуральном n число 5n + 3 натуральное, значит, вся сумма натуральна тогда и только тогда, когда 6/n — натуральное число, то есть n — делитель числа 6. Это n = 1, 2, 3, 6.
Ответ: 5n + 3 + 6/n; при n = 1, 2, 3, 6.
71. При каких целых значениях m дробь ((m − 1)(m + 1) − 10)/m принимает целые значения?
((m − 1)(m + 1) − 10)/m = (m² − 1 − 10)/m = (m² − 11)/m = m − 11/m.
При целом m число m целое, поэтому дробь целая тогда и только тогда, когда 11/m целое, то есть m — делитель числа 11: m = −11, −1, 1, 11.
Ответ: при m = ±1 и m = ±11.
При целом m число m целое, поэтому дробь целая тогда и только тогда, когда 11/m целое, то есть m — делитель числа 11: m = −11, −1, 1, 11.
Ответ: при m = ±1 и m = ±11.
72. Решите уравнение: а) 3(5x − 4) − 8x = 4x + 9; б) 19x − 8(x − 3) = 66 − 3x; в) 0,2(0,7x − 5) + 0,02 = 1,4(x − 1,6); г) 2,7(0,1x + 3,2) + 0,6(1,3 − x) = 16,02.
а) 15x − 12 − 8x = 4x + 9; 7x − 12 = 4x + 9; 3x = 21; x = 7.
б) 19x − 8x + 24 = 66 − 3x; 11x + 24 = 66 − 3x; 14x = 42; x = 3.
в) 0,14x − 1 + 0,02 = 1,4x − 2,24; 0,14x − 0,98 = 1,4x − 2,24; 2,24 − 0,98 = 1,4x − 0,14x; 1,26 = 1,26x; x = 1.
г) 0,27x + 8,64 + 0,78 − 0,6x = 16,02; −0,33x + 9,42 = 16,02; −0,33x = 6,6; x = −20.
Ответ: а) 7; б) 3; в) 1; г) −20.
б) 19x − 8x + 24 = 66 − 3x; 11x + 24 = 66 − 3x; 14x = 42; x = 3.
в) 0,14x − 1 + 0,02 = 1,4x − 2,24; 0,14x − 0,98 = 1,4x − 2,24; 2,24 − 0,98 = 1,4x − 0,14x; 1,26 = 1,26x; x = 1.
г) 0,27x + 8,64 + 0,78 − 0,6x = 16,02; −0,33x + 9,42 = 16,02; −0,33x = 6,6; x = −20.
Ответ: а) 7; б) 3; в) 1; г) −20.