Глава I. §2. п.4 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — с. 25
75. Представьте в виде дроби: а) x/2 + y/3; б) c/4 − d/12; в) a/b − b²/a; г) 3/(2x) − 2/(3x); д) 5x/(8y) + x/(4y); е) 17y/(24c) − 25y/(36c); ж) 1/(5a) − 8/(25a); з) 3b/(4c) + c/(2b).
Приводим дроби к общему знаменателю.
а) x/2 + y/3 = (3x + 2y)/6.
б) c/4 − d/12 = (3c − d)/12.
в) a/b − b²/a = (a · a − b² · b)/(ab) = (a² − b³)/(ab).
г) 3/(2x) − 2/(3x) = (9 − 4)/(6x) = 5/(6x).
д) 5x/(8y) + x/(4y) = (5x + 2x)/(8y) = 7x/(8y).
е) общий знаменатель 72c: 17y/(24c) − 25y/(36c) = (51y − 50y)/(72c) = y/(72c).
ж) 1/(5a) − 8/(25a) = (5 − 8)/(25a) = −3/(25a).
з) 3b/(4c) + c/(2b) = (3b · b + c · 2c)/(4bc) = (3b² + 2c²)/(4bc).
Ответ: а) (3x + 2y)/6; б) (3c − d)/12; в) (a² − b³)/(ab); г) 5/(6x); д) 7x/(8y); е) y/(72c); ж) −3/(25a); з) (3b² + 2c²)/(4bc).
а) x/2 + y/3 = (3x + 2y)/6.
б) c/4 − d/12 = (3c − d)/12.
в) a/b − b²/a = (a · a − b² · b)/(ab) = (a² − b³)/(ab).
г) 3/(2x) − 2/(3x) = (9 − 4)/(6x) = 5/(6x).
д) 5x/(8y) + x/(4y) = (5x + 2x)/(8y) = 7x/(8y).
е) общий знаменатель 72c: 17y/(24c) − 25y/(36c) = (51y − 50y)/(72c) = y/(72c).
ж) 1/(5a) − 8/(25a) = (5 − 8)/(25a) = −3/(25a).
з) 3b/(4c) + c/(2b) = (3b · b + c · 2c)/(4bc) = (3b² + 2c²)/(4bc).
Ответ: а) (3x + 2y)/6; б) (3c − d)/12; в) (a² − b³)/(ab); г) 5/(6x); д) 7x/(8y); е) y/(72c); ж) −3/(25a); з) (3b² + 2c²)/(4bc).
76. Выполните действие: а) (5y − 3)/(6y) + (y + 2)/(4y); б) (3x + 5)/(35x) + (x − 3)/(21x); в) (b + 2)/(15b) − (3c − 5)/(45c); г) (8b + y)/(40b) − (6y + b)/(30y).
а) Общий знаменатель 12y: (2(5y − 3) + 3(y + 2))/(12y) = (10y − 6 + 3y + 6)/(12y) = 13y/(12y) = 13/12.
б) Общий знаменатель 105x: (3(3x + 5) + 5(x − 3))/(105x) = (9x + 15 + 5x − 15)/(105x) = 14x/(105x) = 2/15.
в) Общий знаменатель 45bc: (3c(b + 2) − b(3c − 5))/(45bc) = (3bc + 6c − 3bc + 5b)/(45bc) = (5b + 6c)/(45bc).
г) Общий знаменатель 120by: (3y(8b + y) − 4b(6y + b))/(120by) = (24by + 3y² − 24by − 4b²)/(120by) = (3y² − 4b²)/(120by).
Ответ: а) 13/12; б) 2/15; в) (5b + 6c)/(45bc); г) (3y² − 4b²)/(120by).
б) Общий знаменатель 105x: (3(3x + 5) + 5(x − 3))/(105x) = (9x + 15 + 5x − 15)/(105x) = 14x/(105x) = 2/15.
в) Общий знаменатель 45bc: (3c(b + 2) − b(3c − 5))/(45bc) = (3bc + 6c − 3bc + 5b)/(45bc) = (5b + 6c)/(45bc).
г) Общий знаменатель 120by: (3y(8b + y) − 4b(6y + b))/(120by) = (24by + 3y² − 24by − 4b²)/(120by) = (3y² − 4b²)/(120by).
Ответ: а) 13/12; б) 2/15; в) (5b + 6c)/(45bc); г) (3y² − 4b²)/(120by).
77. Преобразуйте в дробь выражение: а) (15a − b)/(12a) − (a − 4b)/(9a); б) (7x + 4)/(8y) − (3x − 1)/(6y).
а) Общий знаменатель 36a: (3(15a − b) − 4(a − 4b))/(36a) = (45a − 3b − 4a + 16b)/(36a) = (41a + 13b)/(36a).
б) Общий знаменатель 24y: (3(7x + 4) − 4(3x − 1))/(24y) = (21x + 12 − 12x + 4)/(24y) = (9x + 16)/(24y).
Ответ: а) (41a + 13b)/(36a); б) (9x + 16)/(24y).
б) Общий знаменатель 24y: (3(7x + 4) − 4(3x − 1))/(24y) = (21x + 12 − 12x + 4)/(24y) = (9x + 16)/(24y).
Ответ: а) (41a + 13b)/(36a); б) (9x + 16)/(24y).
78. Выполните действие: а) b/a² − 1/a; б) (1 − x)/x³ + 1/x²; в) 1/(2a^7) + (4 − 2a³)/a^10; г) (a + b)/a² + (a − b)/(ab); д) (2a − 3b)/(a²b) − (4a − 5b)/(ab²); е) (x − 2y)/(xy²) − (2y − x)/(x²y).
а) Общий знаменатель a²: (b − a)/a².
б) Общий знаменатель x³: (1 − x + x)/x³ = 1/x³.
в) Общий знаменатель 2a^10 (дополнительные множители a³ и 2): (a³ + 2(4 − 2a³))/(2a^10) = (a³ + 8 − 4a³)/(2a^10) = (8 − 3a³)/(2a^10).
г) Общий знаменатель a²b: (b(a + b) + a(a − b))/(a²b) = (ab + b² + a² − ab)/(a²b) = (a² + b²)/(a²b).
д) Общий знаменатель a²b²: (b(2a − 3b) − a(4a − 5b))/(a²b²) = (2ab − 3b² − 4a² + 5ab)/(a²b²) = (7ab − 4a² − 3b²)/(a²b²).
е) Общий знаменатель x²y²: (x(x − 2y) − y(2y − x))/(x²y²) = (x² − 2xy − 2y² + xy)/(x²y²) = (x² − xy − 2y²)/(x²y²).
Ответ: а) (b − a)/a²; б) 1/x³; в) (8 − 3a³)/(2a^10); г) (a² + b²)/(a²b); д) (7ab − 4a² − 3b²)/(a²b²); е) (x² − xy − 2y²)/(x²y²).
Оговорка: в ответах учебника для пункта д) указано (4a² − 3ab − 3b²)/(a²b²); этот результат получается, если между дробями стоит знак «+». При знаке «−», как напечатано в условии, верен приведённый выше ответ (проверено дважды).
б) Общий знаменатель x³: (1 − x + x)/x³ = 1/x³.
в) Общий знаменатель 2a^10 (дополнительные множители a³ и 2): (a³ + 2(4 − 2a³))/(2a^10) = (a³ + 8 − 4a³)/(2a^10) = (8 − 3a³)/(2a^10).
г) Общий знаменатель a²b: (b(a + b) + a(a − b))/(a²b) = (ab + b² + a² − ab)/(a²b) = (a² + b²)/(a²b).
д) Общий знаменатель a²b²: (b(2a − 3b) − a(4a − 5b))/(a²b²) = (2ab − 3b² − 4a² + 5ab)/(a²b²) = (7ab − 4a² − 3b²)/(a²b²).
е) Общий знаменатель x²y²: (x(x − 2y) − y(2y − x))/(x²y²) = (x² − 2xy − 2y² + xy)/(x²y²) = (x² − xy − 2y²)/(x²y²).
Ответ: а) (b − a)/a²; б) 1/x³; в) (8 − 3a³)/(2a^10); г) (a² + b²)/(a²b); д) (7ab − 4a² − 3b²)/(a²b²); е) (x² − xy − 2y²)/(x²y²).
Оговорка: в ответах учебника для пункта д) указано (4a² − 3ab − 3b²)/(a²b²); этот результат получается, если между дробями стоит знак «+». При знаке «−», как напечатано в условии, верен приведённый выше ответ (проверено дважды).
79. Представьте в виде дроби: а) (2xy − 1)/(4x³) − (3y − x)/(6x²); б) (1 − b²)/(3ab) + (2b³ − 1)/(6ab²); в) 1/(3a³) − 2/(5a^5); г) b²/(6x^5) − b/(3x^6).
а) Общий знаменатель 12x³: (3(2xy − 1) − 2x(3y − x))/(12x³) = (6xy − 3 − 6xy + 2x²)/(12x³) = (2x² − 3)/(12x³).
б) Общий знаменатель 6ab²: (2b(1 − b²) + 2b³ − 1)/(6ab²) = (2b − 2b³ + 2b³ − 1)/(6ab²) = (2b − 1)/(6ab²).
в) Общий знаменатель 15a^5: (5a² − 6)/(15a^5).
г) Общий знаменатель 6x^6: (b²x − 2b)/(6x^6).
Ответ: а) (2x² − 3)/(12x³); б) (2b − 1)/(6ab²); в) (5a² − 6)/(15a^5); г) (b²x − 2b)/(6x^6).
б) Общий знаменатель 6ab²: (2b(1 − b²) + 2b³ − 1)/(6ab²) = (2b − 2b³ + 2b³ − 1)/(6ab²) = (2b − 1)/(6ab²).
в) Общий знаменатель 15a^5: (5a² − 6)/(15a^5).
г) Общий знаменатель 6x^6: (b²x − 2b)/(6x^6).
Ответ: а) (2x² − 3)/(12x³); б) (2b − 1)/(6ab²); в) (5a² − 6)/(15a^5); г) (b²x − 2b)/(6x^6).
80. Преобразуйте в дробь выражение: а) 1/(ab) + 1/(ac) + 1/(bc); б) (ab − b)/a − (ab − a)/b − (a² − b²)/(ab); в) (b − a)/(ab) + (c − b)/(bc) − (c − a)/(ac); г) (3ab + 2b²)/(ab) − (a + 2b)/a + (a − 2b)/b.
а) Общий знаменатель abc: (c + b + a)/(abc).
б) Общий знаменатель ab: (b(ab − b) − a(ab − a) − (a² − b²))/(ab) = (ab² − b² − a²b + a² − a² + b²)/(ab) = (ab² − a²b)/(ab) = ab(b − a)/(ab) = b − a.
в) Общий знаменатель abc: (c(b − a) + a(c − b) − b(c − a))/(abc) = (bc − ac + ac − ab − bc + ab)/(abc) = 0.
г) Общий знаменатель ab: (3ab + 2b² − b(a + 2b) + a(a − 2b))/(ab) = (3ab + 2b² − ab − 2b² + a² − 2ab)/(ab) = a²/(ab) = a/b.
Ответ: а) (a + b + c)/(abc); б) b − a; в) 0; г) a/b.
б) Общий знаменатель ab: (b(ab − b) − a(ab − a) − (a² − b²))/(ab) = (ab² − b² − a²b + a² − a² + b²)/(ab) = (ab² − a²b)/(ab) = ab(b − a)/(ab) = b − a.
в) Общий знаменатель abc: (c(b − a) + a(c − b) − b(c − a))/(abc) = (bc − ac + ac − ab − bc + ab)/(abc) = 0.
г) Общий знаменатель ab: (3ab + 2b² − b(a + 2b) + a(a − 2b))/(ab) = (3ab + 2b² − ab − 2b² + a² − 2ab)/(ab) = a²/(ab) = a/b.
Ответ: а) (a + b + c)/(abc); б) b − a; в) 0; г) a/b.
81. Выполните вычитание дробей: а) (x − y)/(xy) − (x − z)/(xz); б) (a − 2b)/(3b) − (b − 2a)/(3a); в) (p − q)/(p³q²) − (p + q)/(p²q³); г) (3m − n)/(3m²n) − (2n − m)/(2mn²).
а) Общий знаменатель xyz: (z(x − y) − y(x − z))/(xyz) = (xz − yz − xy + yz)/(xyz) = x(z − y)/(xyz) = (z − y)/(yz).
б) Общий знаменатель 3ab: (a(a − 2b) − b(b − 2a))/(3ab) = (a² − 2ab − b² + 2ab)/(3ab) = (a² − b²)/(3ab).
в) Общий знаменатель p³q³: (q(p − q) − p(p + q))/(p³q³) = (pq − q² − p² − pq)/(p³q³) = −(p² + q²)/(p³q³).
г) Общий знаменатель 6m²n²: (2n(3m − n) − 3m(2n − m))/(6m²n²) = (6mn − 2n² − 6mn + 3m²)/(6m²n²) = (3m² − 2n²)/(6m²n²).
Ответ: а) (z − y)/(yz); б) (a² − b²)/(3ab); в) −(p² + q²)/(p³q³); г) (3m² − 2n²)/(6m²n²).
б) Общий знаменатель 3ab: (a(a − 2b) − b(b − 2a))/(3ab) = (a² − 2ab − b² + 2ab)/(3ab) = (a² − b²)/(3ab).
в) Общий знаменатель p³q³: (q(p − q) − p(p + q))/(p³q³) = (pq − q² − p² − pq)/(p³q³) = −(p² + q²)/(p³q³).
г) Общий знаменатель 6m²n²: (2n(3m − n) − 3m(2n − m))/(6m²n²) = (6mn − 2n² − 6mn + 3m²)/(6m²n²) = (3m² − 2n²)/(6m²n²).
Ответ: а) (z − y)/(yz); б) (a² − b²)/(3ab); в) −(p² + q²)/(p³q³); г) (3m² − 2n²)/(6m²n²).