Глава I. §2. п.4 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — с. 26
82. Преобразуйте в дробь выражение: а) x + 1/y; б) 1/a − a; в) 3a − a/4; г) 5b − 2/b; д) (a² + b)/a − a; е) 2p − (4p² + 1)/(2p); ж) (a − b)²/(2a) + b; з) c − (b + c)²/(2b).
Целое выражение записываем дробью со знаменателем 1 и приводим к общему знаменателю.
а) x + 1/y = (xy + 1)/y.
б) 1/a − a = (1 − a²)/a.
в) 3a − a/4 = (12a − a)/4 = 11a/4.
г) 5b − 2/b = (5b² − 2)/b.
д) (a² + b − a²)/a = b/a.
е) (4p² − 4p² − 1)/(2p) = −1/(2p).
ж) ((a − b)² + 2ab)/(2a) = (a² − 2ab + b² + 2ab)/(2a) = (a² + b²)/(2a).
з) (2bc − (b + c)²)/(2b) = (2bc − b² − 2bc − c²)/(2b) = −(b² + c²)/(2b).
Ответ: а) (xy + 1)/y; б) (1 − a²)/a; в) 11a/4; г) (5b² − 2)/b; д) b/a; е) −1/(2p); ж) (a² + b²)/(2a); з) −(b² + c²)/(2b).
а) x + 1/y = (xy + 1)/y.
б) 1/a − a = (1 − a²)/a.
в) 3a − a/4 = (12a − a)/4 = 11a/4.
г) 5b − 2/b = (5b² − 2)/b.
д) (a² + b − a²)/a = b/a.
е) (4p² − 4p² − 1)/(2p) = −1/(2p).
ж) ((a − b)² + 2ab)/(2a) = (a² − 2ab + b² + 2ab)/(2a) = (a² + b²)/(2a).
з) (2bc − (b + c)²)/(2b) = (2bc − b² − 2bc − c²)/(2b) = −(b² + c²)/(2b).
Ответ: а) (xy + 1)/y; б) (1 − a²)/a; в) 11a/4; г) (5b² − 2)/b; д) b/a; е) −1/(2p); ж) (a² + b²)/(2a); з) −(b² + c²)/(2b).
83. Преобразуйте в дробь выражение: а) 5 − c/2; б) 5y² − (15y² − 1)/3; в) a + b − (a − 3)/3; г) (2b² − 1)/b − b + 5.
а) 5 − c/2 = (10 − c)/2.
б) (15y² − (15y² − 1))/3 = (15y² − 15y² + 1)/3 = 1/3.
в) (3(a + b) − (a − 3))/3 = (3a + 3b − a + 3)/3 = (2a + 3b + 3)/3.
г) ((2b² − 1) − b² + 5b)/b = (b² + 5b − 1)/b.
Ответ: а) (10 − c)/2; б) 1/3; в) (2a + 3b + 3)/3; г) (b² + 5b − 1)/b.
б) (15y² − (15y² − 1))/3 = (15y² − 15y² + 1)/3 = 1/3.
в) (3(a + b) − (a − 3))/3 = (3a + 3b − a + 3)/3 = (2a + 3b + 3)/3.
г) ((2b² − 1) − b² + 5b)/b = (b² + 5b − 1)/b.
Ответ: а) (10 − c)/2; б) 1/3; в) (2a + 3b + 3)/3; г) (b² + 5b − 1)/b.
84. Представьте в виде дроби: а) 1 − a/5 − b/4; б) 12 − 1/a − 1/b; в) (a − 2)/2 − 1 − (a − 3)/3; г) 4a − (a − 1)/4 − (a + 2)/3; д) (a + b)/4 − a + b; е) a + b − (a² + b²)/a.
а) Общий знаменатель 20: (20 − 4a − 5b)/20.
б) Общий знаменатель ab: (12ab − b − a)/(ab).
в) Общий знаменатель 6: (3(a − 2) − 6 − 2(a − 3))/6 = (3a − 6 − 6 − 2a + 6)/6 = (a − 6)/6.
г) Общий знаменатель 12: (48a − 3(a − 1) − 4(a + 2))/12 = (48a − 3a + 3 − 4a − 8)/12 = (41a − 5)/12.
д) Общий знаменатель 4: (a + b − 4a + 4b)/4 = (5b − 3a)/4.
е) Общий знаменатель a: (a² + ab − a² − b²)/a = (ab − b²)/a = b(a − b)/a.
Ответ: а) (20 − 4a − 5b)/20; б) (12ab − a − b)/(ab); в) (a − 6)/6; г) (41a − 5)/12; д) (5b − 3a)/4; е) (ab − b²)/a.
б) Общий знаменатель ab: (12ab − b − a)/(ab).
в) Общий знаменатель 6: (3(a − 2) − 6 − 2(a − 3))/6 = (3a − 6 − 6 − 2a + 6)/6 = (a − 6)/6.
г) Общий знаменатель 12: (48a − 3(a − 1) − 4(a + 2))/12 = (48a − 3a + 3 − 4a − 8)/12 = (41a − 5)/12.
д) Общий знаменатель 4: (a + b − 4a + 4b)/4 = (5b − 3a)/4.
е) Общий знаменатель a: (a² + ab − a² − b²)/a = (ab − b²)/a = b(a − b)/a.
Ответ: а) (20 − 4a − 5b)/20; б) (12ab − a − b)/(ab); в) (a − 6)/6; г) (41a − 5)/12; д) (5b − 3a)/4; е) (ab − b²)/a.
85. Представьте выражение в виде дроби: а) x − (x − y)/2 + (x + y)/4; б) 3/x − 2 − 5/x; в) 3 − (2x − y)/4 + (x + 4y)/12; г) (6a − 4b)/5 − (b + 7a)/3 − 2.
а) Общий знаменатель 4: (4x − 2(x − y) + x + y)/4 = (4x − 2x + 2y + x + y)/4 = (3x + 3y)/4.
б) Общий знаменатель x: (3 − 2x − 5)/x = (−2x − 2)/x = −2(x + 1)/x.
в) Общий знаменатель 12: (36 − 3(2x − y) + x + 4y)/12 = (36 − 6x + 3y + x + 4y)/12 = (36 − 5x + 7y)/12.
г) Общий знаменатель 15: (3(6a − 4b) − 5(b + 7a) − 30)/15 = (18a − 12b − 5b − 35a − 30)/15 = (−17a − 17b − 30)/15.
Ответ: а) (3x + 3y)/4; б) −(2x + 2)/x; в) (36 − 5x + 7y)/12; г) −(17a + 17b + 30)/15.
б) Общий знаменатель x: (3 − 2x − 5)/x = (−2x − 2)/x = −2(x + 1)/x.
в) Общий знаменатель 12: (36 − 3(2x − y) + x + 4y)/12 = (36 − 6x + 3y + x + 4y)/12 = (36 − 5x + 7y)/12.
г) Общий знаменатель 15: (3(6a − 4b) − 5(b + 7a) − 30)/15 = (18a − 12b − 5b − 35a − 30)/15 = (−17a − 17b − 30)/15.
Ответ: а) (3x + 3y)/4; б) −(2x + 2)/x; в) (36 − 5x + 7y)/12; г) −(17a + 17b + 30)/15.
86. Представьте выражение в виде дроби: а) (b − c)/b + b/(b + c); б) (x + 1)/(x − 2) − (x + 3)/x; в) m/(m − n) − n/(m + n); г) 2a/(2a − 1) − 1/(2a + 1); д) a/(a + 2) − a/(a − 2); е) p/(3p − 1) − p/(1 + 3p).
а) Общий знаменатель b(b + c): ((b − c)(b + c) + b²)/(b(b + c)) = (b² − c² + b²)/(b(b + c)) = (2b² − c²)/(b(b + c)).
б) Общий знаменатель x(x − 2): (x(x + 1) − (x + 3)(x − 2))/(x(x − 2)) = (x² + x − x² − x + 6)/(x(x − 2)) = 6/(x(x − 2)).
в) Общий знаменатель (m − n)(m + n) = m² − n²: (m(m + n) − n(m − n))/(m² − n²) = (m² + mn − mn + n²)/(m² − n²) = (m² + n²)/(m² − n²).
г) Общий знаменатель (2a − 1)(2a + 1) = 4a² − 1: (2a(2a + 1) − (2a − 1))/(4a² − 1) = (4a² + 2a − 2a + 1)/(4a² − 1) = (4a² + 1)/(4a² − 1).
д) Общий знаменатель a² − 4: (a(a − 2) − a(a + 2))/(a² − 4) = (a² − 2a − a² − 2a)/(a² − 4) = −4a/(a² − 4).
е) Общий знаменатель 9p² − 1: (p(3p + 1) − p(3p − 1))/(9p² − 1) = (3p² + p − 3p² + p)/(9p² − 1) = 2p/(9p² − 1).
Ответ: а) (2b² − c²)/(b(b + c)); б) 6/(x(x − 2)); в) (m² + n²)/(m² − n²); г) (4a² + 1)/(4a² − 1); д) −4a/(a² − 4); е) 2p/(9p² − 1).
б) Общий знаменатель x(x − 2): (x(x + 1) − (x + 3)(x − 2))/(x(x − 2)) = (x² + x − x² − x + 6)/(x(x − 2)) = 6/(x(x − 2)).
в) Общий знаменатель (m − n)(m + n) = m² − n²: (m(m + n) − n(m − n))/(m² − n²) = (m² + mn − mn + n²)/(m² − n²) = (m² + n²)/(m² − n²).
г) Общий знаменатель (2a − 1)(2a + 1) = 4a² − 1: (2a(2a + 1) − (2a − 1))/(4a² − 1) = (4a² + 2a − 2a + 1)/(4a² − 1) = (4a² + 1)/(4a² − 1).
д) Общий знаменатель a² − 4: (a(a − 2) − a(a + 2))/(a² − 4) = (a² − 2a − a² − 2a)/(a² − 4) = −4a/(a² − 4).
е) Общий знаменатель 9p² − 1: (p(3p + 1) − p(3p − 1))/(9p² − 1) = (3p² + p − 3p² + p)/(9p² − 1) = 2p/(9p² − 1).
Ответ: а) (2b² − c²)/(b(b + c)); б) 6/(x(x − 2)); в) (m² + n²)/(m² − n²); г) (4a² + 1)/(4a² − 1); д) −4a/(a² − 4); е) 2p/(9p² − 1).
87. Преобразуйте в дробь выражение: а) 3x/(5(x + y)) − 2y/(3(x + y)); б) a²/(5(a − b)) − b²/(4(a − b)); в) 3/(ax − ay) + 2/(by − bx); г) 13c/(bm − bn) − 12b/(cn − cm).
а) Общий знаменатель 15(x + y): (3 · 3x − 5 · 2y)/(15(x + y)) = (9x − 10y)/(15(x + y)).
б) Общий знаменатель 20(a − b): (4a² − 5b²)/(20(a − b)).
в) ax − ay = a(x − y), by − bx = −b(x − y). Выражение: 3/(a(x − y)) − 2/(b(x − y)) = (3b − 2a)/(ab(x − y)).
г) bm − bn = b(m − n), cn − cm = −c(m − n). Выражение: 13c/(b(m − n)) + 12b/(c(m − n)) = (13c² + 12b²)/(bc(m − n)).
Ответ: а) (9x − 10y)/(15(x + y)); б) (4a² − 5b²)/(20(a − b)); в) (3b − 2a)/(ab(x − y)); г) (13c² + 12b²)/(bc(m − n)).
б) Общий знаменатель 20(a − b): (4a² − 5b²)/(20(a − b)).
в) ax − ay = a(x − y), by − bx = −b(x − y). Выражение: 3/(a(x − y)) − 2/(b(x − y)) = (3b − 2a)/(ab(x − y)).
г) bm − bn = b(m − n), cn − cm = −c(m − n). Выражение: 13c/(b(m − n)) + 12b/(c(m − n)) = (13c² + 12b²)/(bc(m − n)).
Ответ: а) (9x − 10y)/(15(x + y)); б) (4a² − 5b²)/(20(a − b)); в) (3b − 2a)/(ab(x − y)); г) (13c² + 12b²)/(bc(m − n)).
88. Выполните действие: а) p/(2x + 1) − p/(3x − 2); б) 6a/(x − 2y) + 2a/(x + y); в) a/(5x − 10) + a/(6x − 12); г) 5b/(12a − 36) − b/(48 − 16a).
а) Общий знаменатель (2x + 1)(3x − 2): (p(3x − 2) − p(2x + 1))/((2x + 1)(3x − 2)) = (3px − 2p − 2px − p)/(6x² − x − 2) = (px − 3p)/(6x² − x − 2) = p(x − 3)/(6x² − x − 2).
б) Общий знаменатель (x − 2y)(x + y): (6a(x + y) + 2a(x − 2y))/((x − 2y)(x + y)) = (6ax + 6ay + 2ax − 4ay)/(x² − xy − 2y²) = (8ax + 2ay)/(x² − xy − 2y²).
в) 5x − 10 = 5(x − 2), 6x − 12 = 6(x − 2); общий знаменатель 30(x − 2): (6a + 5a)/(30(x − 2)) = 11a/(30x − 60).
г) 12a − 36 = 12(a − 3), 48 − 16a = −16(a − 3); выражение равно 5b/(12(a − 3)) + b/(16(a − 3)) = (20b + 3b)/(48(a − 3)) = 23b/(48a − 144).
Ответ: а) (px − 3p)/(6x² − x − 2); б) (8ax + 2ay)/(x² − xy − 2y²); в) 11a/(30x − 60); г) 23b/(48a − 144).
Оговорка: в пункте а) знаменатель первой дроби читается как 2x + 1.
б) Общий знаменатель (x − 2y)(x + y): (6a(x + y) + 2a(x − 2y))/((x − 2y)(x + y)) = (6ax + 6ay + 2ax − 4ay)/(x² − xy − 2y²) = (8ax + 2ay)/(x² − xy − 2y²).
в) 5x − 10 = 5(x − 2), 6x − 12 = 6(x − 2); общий знаменатель 30(x − 2): (6a + 5a)/(30(x − 2)) = 11a/(30x − 60).
г) 12a − 36 = 12(a − 3), 48 − 16a = −16(a − 3); выражение равно 5b/(12(a − 3)) + b/(16(a − 3)) = (20b + 3b)/(48(a − 3)) = 23b/(48a − 144).
Ответ: а) (px − 3p)/(6x² − x − 2); б) (8ax + 2ay)/(x² − xy − 2y²); в) 11a/(30x − 60); г) 23b/(48a − 144).
Оговорка: в пункте а) знаменатель первой дроби читается как 2x + 1.