Глава I. §2. п.4 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — с. 28
98. Представьте в виде дроби: а) 4/(y + 2) − 3/(y − 2) + 12/(y² − 4); б) a/(a − 6) − 3/(a + 6) + a²/(36 − a²); в) x²/(x − y)² − (x + y)/(2x − 2y); г) b/(a − b)² − (a + b)/(b² − ab).
а) Общий знаменатель y² − 4: (4(y − 2) − 3(y + 2) + 12)/(y² − 4) = (4y − 8 − 3y − 6 + 12)/(y² − 4) = (y − 2)/((y − 2)(y + 2)) = 1/(y + 2).
б) 36 − a² = −(a − 6)(a + 6). Общий знаменатель a² − 36: (a(a + 6) − 3(a − 6) − a²)/(a² − 36) = (a² + 6a − 3a + 18 − a²)/(a² − 36) = (3a + 18)/((a − 6)(a + 6)) = 3/(a − 6).
в) 2x − 2y = 2(x − y). Общий знаменатель 2(x − y)²: (2x² − (x + y)(x − y))/(2(x − y)²) = (2x² − x² + y²)/(2(x − y)²) = (x² + y²)/(2(x − y)²).
г) b² − ab = −b(a − b). Выражение: b/(a − b)² + (a + b)/(b(a − b)). Общий знаменатель b(a − b)²: (b² + (a + b)(a − b))/(b(a − b)²) = (b² + a² − b²)/(b(a − b)²) = a²/(b(a − b)²).
Ответ: а) 1/(y + 2); б) 3/(a − 6); в) (x² + y²)/(2(x − y)²); г) a²/(b(a − b)²).
б) 36 − a² = −(a − 6)(a + 6). Общий знаменатель a² − 36: (a(a + 6) − 3(a − 6) − a²)/(a² − 36) = (a² + 6a − 3a + 18 − a²)/(a² − 36) = (3a + 18)/((a − 6)(a + 6)) = 3/(a − 6).
в) 2x − 2y = 2(x − y). Общий знаменатель 2(x − y)²: (2x² − (x + y)(x − y))/(2(x − y)²) = (2x² − x² + y²)/(2(x − y)²) = (x² + y²)/(2(x − y)²).
г) b² − ab = −b(a − b). Выражение: b/(a − b)² + (a + b)/(b(a − b)). Общий знаменатель b(a − b)²: (b² + (a + b)(a − b))/(b(a − b)²) = (b² + a² − b²)/(b(a − b)²) = a²/(b(a − b)²).
Ответ: а) 1/(y + 2); б) 3/(a − 6); в) (x² + y²)/(2(x − y)²); г) a²/(b(a − b)²).
99. Преобразуйте в дробь выражение: а) (2a + b)/(2a² − ab) − 16a/(4a² − b²) − (2a − b)/(2a² + ab); б) 1/(a − 3)² − 2/(a² − 9) + 1/(a + 3)²; в) (x − 2)/(x² + 2x + 4) − 6x/(x³ − 8) + 1/(x − 2); г) (2a² + 7a + 3)/(a³ − 1) − (1 − 2a)/(a² + a + 1) − 3/(a − 1).
а) 2a² − ab = a(2a − b), 4a² − b² = (2a − b)(2a + b), 2a² + ab = a(2a + b). Общий знаменатель a(2a − b)(2a + b). Числитель: (2a + b)² − 16a² − (2a − b)² = 4a² + 4ab + b² − 16a² − 4a² + 4ab − b² = 8ab − 16a² = −8a(2a − b). Результат: −8a(2a − b)/(a(2a − b)(2a + b)) = −8/(2a + b).
б) Общий знаменатель (a − 3)²(a + 3)². Числитель: (a + 3)² − 2(a − 3)(a + 3) + (a − 3)² = ((a + 3) − (a − 3))² = 6² = 36. Результат: 36/((a − 3)²(a + 3)²).
в) x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4); общий знаменатель x³ − 8. Числитель: (x − 2)² − 6x + x² + 2x + 4 = x² − 4x + 4 − 6x + x² + 2x + 4 = 2x² − 8x + 8 = 2(x − 2)². Результат: 2(x − 2)²/((x − 2)(x² + 2x + 4)) = 2(x − 2)/(x² + 2x + 4) = (2x − 4)/(x² + 2x + 4).
г) a³ − 1 = (a − 1)(a² + a + 1); общий знаменатель a³ − 1. Числитель: 2a² + 7a + 3 − (1 − 2a)(a − 1) − 3(a² + a + 1) = 2a² + 7a + 3 + 2a² − 3a + 1 − 3a² − 3a − 3 = a² + a + 1. Результат: (a² + a + 1)/((a − 1)(a² + a + 1)) = 1/(a − 1).
Ответ: а) −8/(2a + b); б) 36/((a − 3)²(a + 3)²); в) (2x − 4)/(x² + 2x + 4); г) 1/(a − 1).
б) Общий знаменатель (a − 3)²(a + 3)². Числитель: (a + 3)² − 2(a − 3)(a + 3) + (a − 3)² = ((a + 3) − (a − 3))² = 6² = 36. Результат: 36/((a − 3)²(a + 3)²).
в) x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4); общий знаменатель x³ − 8. Числитель: (x − 2)² − 6x + x² + 2x + 4 = x² − 4x + 4 − 6x + x² + 2x + 4 = 2x² − 8x + 8 = 2(x − 2)². Результат: 2(x − 2)²/((x − 2)(x² + 2x + 4)) = 2(x − 2)/(x² + 2x + 4) = (2x − 4)/(x² + 2x + 4).
г) a³ − 1 = (a − 1)(a² + a + 1); общий знаменатель a³ − 1. Числитель: 2a² + 7a + 3 − (1 − 2a)(a − 1) − 3(a² + a + 1) = 2a² + 7a + 3 + 2a² − 3a + 1 − 3a² − 3a − 3 = a² + a + 1. Результат: (a² + a + 1)/((a − 1)(a² + a + 1)) = 1/(a − 1).
Ответ: а) −8/(2a + b); б) 36/((a − 3)²(a + 3)²); в) (2x − 4)/(x² + 2x + 4); г) 1/(a − 1).
100. Выполните действие: а) 1/(a − 4b) − 1/(a + 4b) − 2a/(16b² − a²); б) 1/(2b − 2a) + 1/(2b + 2a) + a²/(a²b − b³).
а) 16b² − a² = −(a² − 16b²). Выражение: 1/(a − 4b) − 1/(a + 4b) + 2a/(a² − 16b²) = ((a + 4b) − (a − 4b) + 2a)/(a² − 16b²) = (2a + 8b)/((a − 4b)(a + 4b)) = 2(a + 4b)/((a − 4b)(a + 4b)) = 2/(a − 4b).
б) Сумма первых двух дробей: 1/(2(b − a)) + 1/(2(b + a)) = (b + a + b − a)/(2(b − a)(b + a)) = b/(b² − a²). Третья: a²b − b³ = b(a² − b²) = −b(b² − a²), поэтому a²/(a²b − b³) = −a²/(b(b² − a²)). Сумма: (b² − a²)/(b(b² − a²)) = 1/b.
Ответ: а) 2/(a − 4b); б) 1/b.
б) Сумма первых двух дробей: 1/(2(b − a)) + 1/(2(b + a)) = (b + a + b − a)/(2(b − a)(b + a)) = b/(b² − a²). Третья: a²b − b³ = b(a² − b²) = −b(b² − a²), поэтому a²/(a²b − b³) = −a²/(b(b² − a²)). Сумма: (b² − a²)/(b(b² − a²)) = 1/b.
Ответ: а) 2/(a − 4b); б) 1/b.
101. Докажите, что тождественно равны выражения: а) 3/(a² − 3a) + a²/(a − 3) и a + 3 + (9a + 3)/(a² − 3a); б) a³/(a² − 4) − a/(a − 2) − 2/(a + 2) и a − 1.
а) Левая часть: a² − 3a = a(a − 3); общий знаменатель a(a − 3): (3 + a³)/(a(a − 3)). Правая часть: (a + 3) + (9a + 3)/(a(a − 3)) = ((a + 3) · a(a − 3) + 9a + 3)/(a(a − 3)) = (a(a² − 9) + 9a + 3)/(a(a − 3)) = (a³ − 9a + 9a + 3)/(a(a − 3)) = (a³ + 3)/(a(a − 3)). Левая и правая части равны, тождество доказано.
б) Общий знаменатель a² − 4: (a³ − a(a + 2) − 2(a − 2))/(a² − 4) = (a³ − a² − 2a − 2a + 4)/(a² − 4) = (a³ − a² − 4a + 4)/(a² − 4). Числитель: a²(a − 1) − 4(a − 1) = (a − 1)(a² − 4). Значит, выражение равно (a − 1)(a² − 4)/(a² − 4) = a − 1. Тождество доказано.
б) Общий знаменатель a² − 4: (a³ − a(a + 2) − 2(a − 2))/(a² − 4) = (a³ − a² − 2a − 2a + 4)/(a² − 4) = (a³ − a² − 4a + 4)/(a² − 4). Числитель: a²(a − 1) − 4(a − 1) = (a − 1)(a² − 4). Значит, выражение равно (a − 1)(a² − 4)/(a² − 4) = a − 1. Тождество доказано.
102. (Для работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения: а) (x³ + 3x)/(x + 2) − (3x² − 14x + 16)/(x² − 4) + 2x является положительным числом; б) y + (2y² + 3y + 1)/(y² − 1) − (y³ + 2y)/(y − 1) является отрицательным числом.
1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
3. Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).
а) Общий знаменатель x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Числитель: (x³ + 3x)(x − 2) − (3x² − 14x + 16) + 2x(x² − 4) = x^4 − 2x³ + 3x² − 6x − 3x² + 14x − 16 + 2x³ − 8x = x^4 − 16. Выражение равно (x^4 − 16)/(x² − 4) = (x² − 4)(x² + 4)/(x² − 4) = x² + 4 > 0 при любом допустимом x.
б) Общий знаменатель y² − 1. Числитель: y(y² − 1) + 2y² + 3y + 1 − (y³ + 2y)(y + 1) = y³ − y + 2y² + 3y + 1 − y^4 − y³ − 2y² − 2y = 1 − y^4. Выражение равно (1 − y^4)/(y² − 1) = −(y² − 1)(y² + 1)/(y² − 1) = −(y² + 1) < 0 при любом допустимом y.
2) Проверка: подставим x = 0 в а): 0 − 16/(−4) + 0 = 4 = 0² + 4; подставим y = 0 в б): 0 + 1/(−1) − 0 = −1 = −(0 + 1). Результаты совпадают.
3) Допустимые значения нужны потому, что при сокращении дробей мы делим на выражения с переменной, а делить на нуль нельзя: преобразования и итоговое равенство верны только там, где все знаменатели исходного выражения не равны нулю. Допустимые значения: в а) x ≠ 2 и x ≠ −2; в б) y ≠ 1 и y ≠ −1.
Ответ: а) x² + 4 > 0; б) −(y² + 1) < 0.
б) Общий знаменатель y² − 1. Числитель: y(y² − 1) + 2y² + 3y + 1 − (y³ + 2y)(y + 1) = y³ − y + 2y² + 3y + 1 − y^4 − y³ − 2y² − 2y = 1 − y^4. Выражение равно (1 − y^4)/(y² − 1) = −(y² − 1)(y² + 1)/(y² − 1) = −(y² + 1) < 0 при любом допустимом y.
2) Проверка: подставим x = 0 в а): 0 − 16/(−4) + 0 = 4 = 0² + 4; подставим y = 0 в б): 0 + 1/(−1) − 0 = −1 = −(0 + 1). Результаты совпадают.
3) Допустимые значения нужны потому, что при сокращении дробей мы делим на выражения с переменной, а делить на нуль нельзя: преобразования и итоговое равенство верны только там, где все знаменатели исходного выражения не равны нулю. Допустимые значения: в а) x ≠ 2 и x ≠ −2; в б) y ≠ 1 и y ≠ −1.
Ответ: а) x² + 4 > 0; б) −(y² + 1) < 0.