Глава I. §2. п.4 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — с. 27
89. Докажите, что при всех допустимых значениях y значение выражения не зависит от y: а) (5y + 3)/(2y + 2) − (7y + 4)/(3y + 3); б) (11y + 13)/(3y − 3) + (15y + 17)/(4 − 4y).
а) 2y + 2 = 2(y + 1), 3y + 3 = 3(y + 1); общий знаменатель 6(y + 1): (3(5y + 3) − 2(7y + 4))/(6(y + 1)) = (15y + 9 − 14y − 8)/(6(y + 1)) = (y + 1)/(6(y + 1)) = 1/6. Значение не зависит от y.
б) 3y − 3 = 3(y − 1), 4 − 4y = −4(y − 1); выражение равно (11y + 13)/(3(y − 1)) − (15y + 17)/(4(y − 1)) = (4(11y + 13) − 3(15y + 17))/(12(y − 1)) = (44y + 52 − 45y − 51)/(12(y − 1)) = (1 − y)/(12(y − 1)) = −1/12. Значение не зависит от y.
Ответ: а) 1/6; б) −1/12.
б) 3y − 3 = 3(y − 1), 4 − 4y = −4(y − 1); выражение равно (11y + 13)/(3(y − 1)) − (15y + 17)/(4(y − 1)) = (4(11y + 13) − 3(15y + 17))/(12(y − 1)) = (44y + 52 − 45y − 51)/(12(y − 1)) = (1 − y)/(12(y − 1)) = −1/12. Значение не зависит от y.
Ответ: а) 1/6; б) −1/12.
90. Выполните действие: а) a²/(ax − x²) + x/(x − a); б) (b² − 4by)/(2y² − by) − 4y/(b − 2y).
а) ax − x² = x(a − x). Так как x − a = −(a − x), выражение равно a²/(x(a − x)) − x/(a − x) = (a² − x²)/(x(a − x)) = (a − x)(a + x)/(x(a − x)) = (a + x)/x.
б) 2y² − by = y(2y − b); b − 2y = −(2y − b). Выражение равно (b² − 4by)/(y(2y − b)) + 4y/(2y − b) = (b² − 4by + 4y²)/(y(2y − b)) = (b − 2y)²/(y(2y − b)) = (2y − b)²/(y(2y − b)) = (2y − b)/y.
Ответ: а) (a + x)/x; б) (2y − b)/y.
б) 2y² − by = y(2y − b); b − 2y = −(2y − b). Выражение равно (b² − 4by)/(y(2y − b)) + 4y/(2y − b) = (b² − 4by + 4y²)/(y(2y − b)) = (b − 2y)²/(y(2y − b)) = (2y − b)²/(y(2y − b)) = (2y − b)/y.
Ответ: а) (a + x)/x; б) (2y − b)/y.
91. Выполните действие: а) 1/(a² + ab) + 1/(ab + b²); б) 1/(b² − ab) − 1/(ab − a²).
а) a² + ab = a(a + b), ab + b² = b(a + b); общий знаменатель ab(a + b): (b + a)/(ab(a + b)) = 1/(ab).
б) b² − ab = b(b − a), ab − a² = a(b − a); общий знаменатель ab(b − a): (a − b)/(ab(b − a)) = −(b − a)/(ab(b − a)) = −1/(ab).
Ответ: а) 1/(ab); б) −1/(ab).
б) b² − ab = b(b − a), ab − a² = a(b − a); общий знаменатель ab(b − a): (a − b)/(ab(b − a)) = −(b − a)/(ab(b − a)) = −1/(ab).
Ответ: а) 1/(ab); б) −1/(ab).
92. Преобразуйте в дробь выражение: а) 1 − (a + b)/(a − b); б) (a² + b²)/(a − b) − a; в) m − n + n²/(m + n); г) a + b − (a² + b²)/(a + b); д) x − 9/(x − 3) − 3; е) a² − (a^4 + 1)/(a² − 1) + 1.
а) (a − b − a − b)/(a − b) = −2b/(a − b).
б) (a² + b² − a(a − b))/(a − b) = (a² + b² − a² + ab)/(a − b) = (b² + ab)/(a − b) = b(a + b)/(a − b).
в) ((m − n)(m + n) + n²)/(m + n) = (m² − n² + n²)/(m + n) = m²/(m + n).
г) ((a + b)² − a² − b²)/(a + b) = 2ab/(a + b).
д) x − 3 − 9/(x − 3) = ((x − 3)² − 9)/(x − 3) = (x² − 6x)/(x − 3) = x(x − 6)/(x − 3).
е) a² + 1 − (a^4 + 1)/(a² − 1) = ((a² + 1)(a² − 1) − a^4 − 1)/(a² − 1) = (a^4 − 1 − a^4 − 1)/(a² − 1) = −2/(a² − 1).
Ответ: а) −2b/(a − b); б) b(a + b)/(a − b); в) m²/(m + n); г) 2ab/(a + b); д) (x² − 6x)/(x − 3); е) −2/(a² − 1).
б) (a² + b² − a(a − b))/(a − b) = (a² + b² − a² + ab)/(a − b) = (b² + ab)/(a − b) = b(a + b)/(a − b).
в) ((m − n)(m + n) + n²)/(m + n) = (m² − n² + n²)/(m + n) = m²/(m + n).
г) ((a + b)² − a² − b²)/(a + b) = 2ab/(a + b).
д) x − 3 − 9/(x − 3) = ((x − 3)² − 9)/(x − 3) = (x² − 6x)/(x − 3) = x(x − 6)/(x − 3).
е) a² + 1 − (a^4 + 1)/(a² − 1) = ((a² + 1)(a² − 1) − a^4 − 1)/(a² − 1) = (a^4 − 1 − a^4 − 1)/(a² − 1) = −2/(a² − 1).
Ответ: а) −2b/(a − b); б) b(a + b)/(a − b); в) m²/(m + n); г) 2ab/(a + b); д) (x² − 6x)/(x − 3); е) −2/(a² − 1).
93. Выполните вычитание дробей: а) (a² + 3a)/(ab − 5b + 8a − 40) − a/(b + 8); б) y/(3x − 2) − 3y/(6xy + 9x − 4y − 6).
а) Знаменатель: ab − 5b + 8a − 40 = b(a − 5) + 8(a − 5) = (a − 5)(b + 8). Выражение: (a² + 3a − a(a − 5))/((a − 5)(b + 8)) = (a² + 3a − a² + 5a)/((a − 5)(b + 8)) = 8a/((a − 5)(b + 8)).
б) Знаменатель: 6xy + 9x − 4y − 6 = 3x(2y + 3) − 2(2y + 3) = (3x − 2)(2y + 3). Выражение: (y(2y + 3) − 3y)/((3x − 2)(2y + 3)) = (2y² + 3y − 3y)/((3x − 2)(2y + 3)) = 2y²/((3x − 2)(2y + 3)).
Ответ: а) 8a/((a − 5)(b + 8)); б) 2y²/((2y + 3)(3x − 2)).
б) Знаменатель: 6xy + 9x − 4y − 6 = 3x(2y + 3) − 2(2y + 3) = (3x − 2)(2y + 3). Выражение: (y(2y + 3) − 3y)/((3x − 2)(2y + 3)) = (2y² + 3y − 3y)/((3x − 2)(2y + 3)) = 2y²/((3x − 2)(2y + 3)).
Ответ: а) 8a/((a − 5)(b + 8)); б) 2y²/((2y + 3)(3x − 2)).
94. Выполните действие: а) c/(b − c) + (b² − 3bc)/(b² − c²); б) (a + 3)/(a² − 1) − 1/(a² + a).
а) b² − c² = (b − c)(b + c). Числитель: c(b + c) + b² − 3bc = bc + c² + b² − 3bc = (b − c)². Дробь: (b − c)²/((b − c)(b + c)) = (b − c)/(b + c).
б) a² − 1 = (a − 1)(a + 1), a² + a = a(a + 1). Общий знаменатель a(a − 1)(a + 1). Числитель: a(a + 3) − (a − 1) = a² + 2a + 1 = (a + 1)². Дробь: (a + 1)²/(a(a − 1)(a + 1)) = (a + 1)/(a(a − 1)) = (a + 1)/(a² − a).
Ответ: а) (b − c)/(b + c); б) (a + 1)/(a² − a).
б) a² − 1 = (a − 1)(a + 1), a² + a = a(a + 1). Общий знаменатель a(a − 1)(a + 1). Числитель: a(a + 3) − (a − 1) = a² + 2a + 1 = (a + 1)². Дробь: (a + 1)²/(a(a − 1)(a + 1)) = (a + 1)/(a(a − 1)) = (a + 1)/(a² − a).
Ответ: а) (b − c)/(b + c); б) (a + 1)/(a² − a).
95. Преобразуйте в дробь выражение: а) (b − 6)/(4 − b²) + 2/(2b − b²); б) b/(ab − 5a²) − (15b − 25a)/(b² − 25a²); в) (x − 12a)/(x² − 16a²) − 4a/(4ax − x²); г) (a − 30y)/(a² − 100y²) − 10y/(10ay − a²).
а) 4 − b² = (2 − b)(2 + b), 2b − b² = b(2 − b). Общий знаменатель b(2 − b)(2 + b). Числитель: b(b − 6) + 2(2 + b) = b² − 4b + 4 = (2 − b)². Результат: (2 − b)/(b(2 + b)) = (2 − b)/(b² + 2b).
б) ab − 5a² = a(b − 5a), b² − 25a² = (b − 5a)(b + 5a). Общий знаменатель a(b − 5a)(b + 5a). Числитель: b(b + 5a) − a(15b − 25a) = b² + 5ab − 15ab + 25a² = (b − 5a)². Результат: (b − 5a)/(a(b + 5a)) = (b − 5a)/(ab + 5a²).
в) x² − 16a² = (x − 4a)(x + 4a), 4ax − x² = −x(x − 4a). Выражение: (x − 12a)/((x − 4a)(x + 4a)) + 4a/(x(x − 4a)). Общий знаменатель x(x − 4a)(x + 4a). Числитель: x(x − 12a) + 4a(x + 4a) = x² − 8ax + 16a² = (x − 4a)². Результат: (x − 4a)/(x(x + 4a)) = (x − 4a)/(x² + 4ax).
г) a² − 100y² = (a − 10y)(a + 10y), 10ay − a² = −a(a − 10y). Выражение: (a − 30y)/((a − 10y)(a + 10y)) + 10y/(a(a − 10y)). Числитель при общем знаменателе a(a − 10y)(a + 10y): a(a − 30y) + 10y(a + 10y) = a² − 20ay + 100y² = (a − 10y)². Результат: (a − 10y)/(a(a + 10y)) = (a − 10y)/(a² + 10ay).
Ответ: а) (2 − b)/(b² + 2b); б) (b − 5a)/(ab + 5a²); в) (x − 4a)/(x² + 4ax); г) (a − 10y)/(a² + 10ay).
б) ab − 5a² = a(b − 5a), b² − 25a² = (b − 5a)(b + 5a). Общий знаменатель a(b − 5a)(b + 5a). Числитель: b(b + 5a) − a(15b − 25a) = b² + 5ab − 15ab + 25a² = (b − 5a)². Результат: (b − 5a)/(a(b + 5a)) = (b − 5a)/(ab + 5a²).
в) x² − 16a² = (x − 4a)(x + 4a), 4ax − x² = −x(x − 4a). Выражение: (x − 12a)/((x − 4a)(x + 4a)) + 4a/(x(x − 4a)). Общий знаменатель x(x − 4a)(x + 4a). Числитель: x(x − 12a) + 4a(x + 4a) = x² − 8ax + 16a² = (x − 4a)². Результат: (x − 4a)/(x(x + 4a)) = (x − 4a)/(x² + 4ax).
г) a² − 100y² = (a − 10y)(a + 10y), 10ay − a² = −a(a − 10y). Выражение: (a − 30y)/((a − 10y)(a + 10y)) + 10y/(a(a − 10y)). Числитель при общем знаменателе a(a − 10y)(a + 10y): a(a − 30y) + 10y(a + 10y) = a² − 20ay + 100y² = (a − 10y)². Результат: (a − 10y)/(a(a + 10y)) = (a − 10y)/(a² + 10ay).
Ответ: а) (2 − b)/(b² + 2b); б) (b − 5a)/(ab + 5a²); в) (x − 4a)/(x² + 4ax); г) (a − 10y)/(a² + 10ay).
96. Выполните действие: а) (a + 4)/(a² − 2a) − a/(a² − 4); б) (4 − x²)/(16 − x²) − (x + 1)/(x + 4); в) (a + b)²/(a² + ab) + (a − b)²/(a² − ab); г) (x² − 4)/(5x − 10) − (x² + 4x + 4)/(5x + 10).
а) a² − 2a = a(a − 2), a² − 4 = (a − 2)(a + 2). Общий знаменатель a(a − 2)(a + 2). Числитель: (a + 4)(a + 2) − a² = a² + 6a + 8 − a² = 6a + 8. Результат: (6a + 8)/(a(a − 2)(a + 2)) = (6a + 8)/(a³ − 4a).
б) 16 − x² = (4 − x)(4 + x). Числитель при этом знаменателе: (4 − x²) − (x + 1)(4 − x) = 4 − x² − (4x − x² + 4 − x) = 4 − x² − 3x + x² − 4 = −3x. Результат: −3x/(16 − x²) = 3x/(x² − 16).
в) (a + b)²/(a(a + b)) + (a − b)²/(a(a − b)) = (a + b)/a + (a − b)/a = 2a/a = 2.
г) (x − 2)(x + 2)/(5(x − 2)) − (x + 2)²/(5(x + 2)) = (x + 2)/5 − (x + 2)/5 = 0.
Ответ: а) (6a + 8)/(a³ − 4a); б) 3x/(x² − 16); в) 2; г) 0.
б) 16 − x² = (4 − x)(4 + x). Числитель при этом знаменателе: (4 − x²) − (x + 1)(4 − x) = 4 − x² − (4x − x² + 4 − x) = 4 − x² − 3x + x² − 4 = −3x. Результат: −3x/(16 − x²) = 3x/(x² − 16).
в) (a + b)²/(a(a + b)) + (a − b)²/(a(a − b)) = (a + b)/a + (a − b)/a = 2a/a = 2.
г) (x − 2)(x + 2)/(5(x − 2)) − (x + 2)²/(5(x + 2)) = (x + 2)/5 − (x + 2)/5 = 0.
Ответ: а) (6a + 8)/(a³ − 4a); б) 3x/(x² − 16); в) 2; г) 0.
97. Упростите выражение и найдите его значение при x = −1,5: а) (x + 1)/(x² − x) − (x + 2)/(x² − 1); б) (x + 2)/(x² + 3x) − (1 + x)/(x² − 9).
а) x² − x = x(x − 1), x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Общий знаменатель x(x − 1)(x + 1). Числитель: (x + 1)² − x(x + 2) = x² + 2x + 1 − x² − 2x = 1. Выражение равно 1/(x(x² − 1)). При x = −1,5: x² − 1 = 1,25, x(x² − 1) = −1,875, значение 1/(−1,875) = −8/15.
б) x² + 3x = x(x + 3), x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Общий знаменатель x(x − 3)(x + 3). Числитель: (x + 2)(x − 3) − x(x + 1) = x² − x − 6 − x² − x = −2x − 6 = −2(x + 3). Выражение равно −2/(x(x − 3)). При x = −1,5: x(x − 3) = −1,5 · (−4,5) = 6,75, значение −2/6,75 = −8/27.
Ответ: а) 1/(x³ − x), −8/15; б) −2/(x(x − 3)), −8/27.
б) x² + 3x = x(x + 3), x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Общий знаменатель x(x − 3)(x + 3). Числитель: (x + 2)(x − 3) − x(x + 1) = x² − x − 6 − x² − x = −2x − 6 = −2(x + 3). Выражение равно −2/(x(x − 3)). При x = −1,5: x(x − 3) = −1,5 · (−4,5) = 6,75, значение −2/6,75 = −8/27.
Ответ: а) 1/(x³ − x), −8/15; б) −2/(x(x − 3)), −8/27.