Глава I. §2. п.4 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — с. 29
103. Учащимся была поставлена задача: «Представить дробь (x² + 7x − 25)/(x − 5) в виде суммы целого выражения и дроби». Были получены ответы: 1. x + 5 + 7x/(x − 5); 2. x + 12 + 35/(x − 5); 3. −x + (2x − 25)/(x − 5); 4. x + (12x − 25)/(x − 5). Укажите неверный ответ.
Проверим каждый ответ: приведём сумму к общему знаменателю x − 5 и сравним числитель с x² + 7x − 25.
1) (x + 5)(x − 5) + 7x = x² − 25 + 7x = x² + 7x − 25 — верно.
2) (x + 12)(x − 5) + 35 = x² + 7x − 60 + 35 = x² + 7x − 25 — верно.
3) −x(x − 5) + 2x − 25 = −x² + 5x + 2x − 25 = −x² + 7x − 25 — это не x² + 7x − 25, ответ неверный.
4) x(x − 5) + 12x − 25 = x² − 5x + 12x − 25 = x² + 7x − 25 — верно.
Ответ: неверен ответ 3.
1) (x + 5)(x − 5) + 7x = x² − 25 + 7x = x² + 7x − 25 — верно.
2) (x + 12)(x − 5) + 35 = x² + 7x − 60 + 35 = x² + 7x − 25 — верно.
3) −x(x − 5) + 2x − 25 = −x² + 5x + 2x − 25 = −x² + 7x − 25 — это не x² + 7x − 25, ответ неверный.
4) x(x − 5) + 12x − 25 = x² − 5x + 12x − 25 = x² + 7x − 25 — верно.
Ответ: неверен ответ 3.
104. Докажите тождество 1/(x + n) − 1/(x + n + 1) = 1/((x + n)(x + n + 1)). Используя это тождество, упростите выражение 1/((x + 1)(x + 2)) + 1/((x + 2)(x + 3)) + 1/((x + 3)(x + 4)).
Доказательство. Приведём левую часть к общему знаменателю (x + n)(x + n + 1):
1/(x + n) − 1/(x + n + 1) = ((x + n + 1) − (x + n))/((x + n)(x + n + 1)) = 1/((x + n)(x + n + 1)).
Получена правая часть, тождество доказано.
Упрощение. По тождеству при n = 1, 2, 3 имеем:
1/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) − 1/(x + 2);
1/((x + 2)(x + 3)) = 1/(x + 2) − 1/(x + 3);
1/((x + 3)(x + 4)) = 1/(x + 3) − 1/(x + 4).
Сложим: промежуточные дроби взаимно уничтожаются, остаётся 1/(x + 1) − 1/(x + 4) = ((x + 4) − (x + 1))/((x + 1)(x + 4)) = 3/((x + 1)(x + 4)).
Ответ: 3/((x + 1)(x + 4)).
1/(x + n) − 1/(x + n + 1) = ((x + n + 1) − (x + n))/((x + n)(x + n + 1)) = 1/((x + n)(x + n + 1)).
Получена правая часть, тождество доказано.
Упрощение. По тождеству при n = 1, 2, 3 имеем:
1/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) − 1/(x + 2);
1/((x + 2)(x + 3)) = 1/(x + 2) − 1/(x + 3);
1/((x + 3)(x + 4)) = 1/(x + 3) − 1/(x + 4).
Сложим: промежуточные дроби взаимно уничтожаются, остаётся 1/(x + 1) − 1/(x + 4) = ((x + 4) − (x + 1))/((x + 1)(x + 4)) = 3/((x + 1)(x + 4)).
Ответ: 3/((x + 1)(x + 4)).
105. Две речные пристани A и B расположены на расстоянии s км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна v км/ч. Сколько времени t ч потребуется катеру на путь от A до B и обратно, если скорость течения реки равна 5 км/ч?
Найдите t при: а) s = 50, v = 25; б) s = 105, v = 40. [рисунок: катер]
В одну сторону катер идёт по течению со скоростью (v + 5) км/ч, в другую — против течения со скоростью (v − 5) км/ч. Тогда
t = s/(v + 5) + s/(v − 5) = (s(v − 5) + s(v + 5))/((v + 5)(v − 5)) = 2sv/(v² − 25).
а) s = 50, v = 25: t = 2 · 50 · 25/(625 − 25) = 2500/600 = 25/6 = 4 1/6 ч, то есть 4 ч 10 мин.
б) s = 105, v = 40: t = 2 · 105 · 40/(1600 − 25) = 8400/1575 = 16/3 = 5 1/3 ч, то есть 5 ч 20 мин.
Ответ: t = 2sv/(v² − 25); а) 4 ч 10 мин; б) 5 ч 20 мин.
t = s/(v + 5) + s/(v − 5) = (s(v − 5) + s(v + 5))/((v + 5)(v − 5)) = 2sv/(v² − 25).
а) s = 50, v = 25: t = 2 · 50 · 25/(625 − 25) = 2500/600 = 25/6 = 4 1/6 ч, то есть 4 ч 10 мин.
б) s = 105, v = 40: t = 2 · 105 · 40/(1600 − 25) = 8400/1575 = 16/3 = 5 1/3 ч, то есть 5 ч 20 мин.
Ответ: t = 2sv/(v² − 25); а) 4 ч 10 мин; б) 5 ч 20 мин.
106. Туристы прошли s км по шоссе со скоростью v км/ч и вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t ч затратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе?
Найдите t при s = 10, v = 6.
По шоссе туристы шли s/v ч. По просёлочной дороге они прошли 2s км со скоростью (v − 2) км/ч, на это ушло 2s/(v − 2) ч. Значит,
t = s/v + 2s/(v − 2) = (s(v − 2) + 2sv)/(v(v − 2)) = (3sv − 2s)/(v(v − 2)).
При s = 10, v = 6: t = 10/6 + 20/4 = 5/3 + 5 = 20/3 = 6 2/3 ч, то есть 6 ч 40 мин.
Ответ: t = (3sv − 2s)/(v(v − 2)); при s = 10, v = 6 t = 6 ч 40 мин.
t = s/v + 2s/(v − 2) = (s(v − 2) + 2sv)/(v(v − 2)) = (3sv − 2s)/(v(v − 2)).
При s = 10, v = 6: t = 10/6 + 20/4 = 5/3 + 5 = 20/3 = 6 2/3 ч, то есть 6 ч 40 мин.
Ответ: t = (3sv − 2s)/(v(v − 2)); при s = 10, v = 6 t = 6 ч 40 мин.
107. Функция задана формулой y = (2x − 5)/3. Найдите значение функции при x, равном −2; 0;
16. При каком x значение функции равно 3; 0; −9?
Значения функции:
x = −2: y = (2 · (−2) − 5)/3 = −9/3 = −3;
x = 0: y = (0 − 5)/3 = −5/3 = −1 2/3;
x = 16: y = (32 − 5)/3 = 27/3 = 9.
Найдём x по значению y, решая уравнение (2x − 5)/3 = y:
y = 3: 2x − 5 = 9, 2x = 14, x = 7;
y = 0: 2x − 5 = 0, x = 2,5;
y = −9: 2x − 5 = −27, 2x = −22, x = −11.
Ответ: −3; −5/3; 9; значение 3 при x = 7, значение 0 при x = 2,5, значение −9 при x = −11.
x = −2: y = (2 · (−2) − 5)/3 = −9/3 = −3;
x = 0: y = (0 − 5)/3 = −5/3 = −1 2/3;
x = 16: y = (32 − 5)/3 = 27/3 = 9.
Найдём x по значению y, решая уравнение (2x − 5)/3 = y:
y = 3: 2x − 5 = 9, 2x = 14, x = 7;
y = 0: 2x − 5 = 0, x = 2,5;
y = −9: 2x − 5 = −27, 2x = −22, x = −11.
Ответ: −3; −5/3; 9; значение 3 при x = 7, значение 0 при x = 2,5, значение −9 при x = −11.
108. Постройте графики функций y = −4x + 1 и y = 2x − 3 и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы.
Построение. Каждый график — прямая, достаточно двух точек.
y = −4x + 1: при x = 0 y = 1; при x = 1 y = −3. Точки (0; 1) и (1; −3).
y = 2x − 3: при x = 0 y = −3; при x = 2 y = 1. Точки (0; −3) и (2; 1).
По рисунку прямые пересекаются в точке с абсциссой около 0,7 и ординатой около −1,7.
Аналитически. В точке пересечения значения y равны: −4x + 1 = 2x − 3, откуда 4 = 6x, x = 2/3. Тогда y = 2 · 2/3 − 3 = 4/3 − 3 = −5/3.
Проверка по первой формуле: −4 · 2/3 + 1 = −8/3 + 1 = −5/3 — совпало.
Ответ: точка пересечения (2/3; −5/3). Ответы совпадают: график даёт приближённое значение, вычисление — точное.
y = −4x + 1: при x = 0 y = 1; при x = 1 y = −3. Точки (0; 1) и (1; −3).
y = 2x − 3: при x = 0 y = −3; при x = 2 y = 1. Точки (0; −3) и (2; 1).
По рисунку прямые пересекаются в точке с абсциссой около 0,7 и ординатой около −1,7.
Аналитически. В точке пересечения значения y равны: −4x + 1 = 2x − 3, откуда 4 = 6x, x = 2/3. Тогда y = 2 · 2/3 − 3 = 4/3 − 3 = −5/3.
Проверка по первой формуле: −4 · 2/3 + 1 = −8/3 + 1 = −5/3 — совпало.
Ответ: точка пересечения (2/3; −5/3). Ответы совпадают: график даёт приближённое значение, вычисление — точное.
109. В одну силосную яму заложили 90 т силоса, а в другую — 75 т. Когда из первой ямы взяли силоса в 3 раза больше, чем из второй, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Сколько тонн силоса взяли из первой ямы?
Пусть из второй ямы взяли x т силоса, тогда из первой взяли 3x т. В первой яме осталось (90 − 3x) т, во второй — (75 − x) т. По условию во второй яме осталось вдвое больше, чем в первой:
75 − x = 2(90 − 3x),
75 − x = 180 − 6x,
5x = 105, x = 21.
Из первой ямы взяли 3 · 21 = 63 т.
Проверка: в первой осталось 90 − 63 = 27 т, во второй 75 − 21 = 54 т, 54 = 2 · 27.
Ответ: 63 т.
75 − x = 2(90 − 3x),
75 − x = 180 − 6x,
5x = 105, x = 21.
Из первой ямы взяли 3 · 21 = 63 т.
Проверка: в первой осталось 90 − 63 = 27 т, во второй 75 − 21 = 54 т, 54 = 2 · 27.
Ответ: 63 т.