Глава II. §5. п.15 Квадратный корень из произведения и дроби — с. 89
366. Найдите значение корня: а) √(0,04 · 81 · 25); б) √(0,09 · 16 · 0,04); в) √(1 7/9 · 4/25); г) √(121/144 · 2 1/4).
Применяем √(ab) = √a · √b.
а) √0,04 · √81 · √25 = 0,2 · 9 · 5 = 9.
б) √0,09 · √16 · √0,04 = 0,3 · 4 · 0,2 = 0,24.
в) 1 7/9 = 16/9, поэтому √(16/9 · 4/25) = 4/3 · 2/5 = 8/15.
г) 2 1/4 = 9/4, поэтому √(121/144 · 9/4) = 11/12 · 3/2 = 33/24 = 11/8 = 1 3/8.
Ответ: а) 9; б) 0,24; в) 8/15; г) 1 3/8.
а) √0,04 · √81 · √25 = 0,2 · 9 · 5 = 9.
б) √0,09 · √16 · √0,04 = 0,3 · 4 · 0,2 = 0,24.
в) 1 7/9 = 16/9, поэтому √(16/9 · 4/25) = 4/3 · 2/5 = 8/15.
г) 2 1/4 = 9/4, поэтому √(121/144 · 9/4) = 11/12 · 3/2 = 33/24 = 11/8 = 1 3/8.
Ответ: а) 9; б) 0,24; в) 8/15; г) 1 3/8.
367. Вычислите значение корня: а) √(810 · 40); б) √(10 · 250); в) √(72 · 32); г) √(8 · 98); д) √(50 · 18); е) √(2,5 · 14,4); ж) √(90 · 6,4); з) √(16,9 · 0,4).
Сначала перемножаем числа под корнем так, чтобы получился квадрат.
а) 810 · 40 = 81 · 400, √ = 9 · 20 = 180.
б) 10 · 250 = 2500, √ = 50.
в) 72 · 32 = 2304 = 48², √ = 48.
г) 8 · 98 = 784 = 28², √ = 28.
д) 50 · 18 = 900, √ = 30.
е) 2,5 · 14,4 = 36, √ = 6.
ж) 90 · 6,4 = 576, √ = 24.
з) 16,9 · 0,4 = 6,76, √ = 2,6.
Ответ: а) 180; б) 50; в) 48; г) 28; д) 30; е) 6; ж) 24; з) 2,6.
а) 810 · 40 = 81 · 400, √ = 9 · 20 = 180.
б) 10 · 250 = 2500, √ = 50.
в) 72 · 32 = 2304 = 48², √ = 48.
г) 8 · 98 = 784 = 28², √ = 28.
д) 50 · 18 = 900, √ = 30.
е) 2,5 · 14,4 = 36, √ = 6.
ж) 90 · 6,4 = 576, √ = 24.
з) 16,9 · 0,4 = 6,76, √ = 2,6.
Ответ: а) 180; б) 50; в) 48; г) 28; д) 30; е) 6; ж) 24; з) 2,6.
368. Найдите значение выражения: а) √(75 · 48); б) √(45 · 80); в) √(4,9 · 360); г) √(160 · 6,4).
а) 75 · 48 = 3600, √ = 60.
б) 45 · 80 = 3600, √ = 60.
в) 4,9 · 360 = 1764 = 42², √ = 42.
г) 160 · 6,4 = 1024 = 32², √ = 32.
Ответ: а) 60; б) 60; в) 42; г) 32.
б) 45 · 80 = 3600, √ = 60.
в) 4,9 · 360 = 1764 = 42², √ = 42.
г) 160 · 6,4 = 1024 = 32², √ = 32.
Ответ: а) 60; б) 60; в) 42; г) 32.
369. Вычислите значение выражения: а) √(13² − 12²); б) √(8² + 6²); в) √(313² − 312²); г) √(122² − 22²); д) √(45,8² − 44,2²); е) √(21,8² − 18,2²).
Разность квадратов раскладываем на множители: a² − b² = (a − b)(a + b).
а) √((13 − 12)(13 + 12)) = √25 = 5.
б) √(64 + 36) = √100 = 10.
в) √((313 − 312)(313 + 312)) = √625 = 25.
г) √((122 − 22)(122 + 22)) = √(100 · 144) = 10 · 12 = 120.
д) √((45,8 − 44,2)(45,8 + 44,2)) = √(1,6 · 90) = √144 = 12.
е) √((21,8 − 18,2)(21,8 + 18,2)) = √(3,6 · 40) = √144 = 12.
Ответ: а) 5; б) 10; в) 25; г) 120; д) 12; е) 12.
а) √((13 − 12)(13 + 12)) = √25 = 5.
б) √(64 + 36) = √100 = 10.
в) √((313 − 312)(313 + 312)) = √625 = 25.
г) √((122 − 22)(122 + 22)) = √(100 · 144) = 10 · 12 = 120.
д) √((45,8 − 44,2)(45,8 + 44,2)) = √(1,6 · 90) = √144 = 12.
е) √((21,8 − 18,2)(21,8 + 18,2)) = √(3,6 · 40) = √144 = 12.
Ответ: а) 5; б) 10; в) 25; г) 120; д) 12; е) 12.
370. Извлеките корень: а) √(17² − 8²); б) √(3² + 4²); в) √(82² − 18²); г) √(117² − 108²); д) √(6,8² − 3,2²); е) √((1 1/16)² − (1/2)²).
а) √((17 − 8)(17 + 8)) = √(9 · 25) = 3 · 5 = 15.
б) √(9 + 16) = √25 = 5.
в) √((82 − 18)(82 + 18)) = √(64 · 100) = 80.
г) √((117 − 108)(117 + 108)) = √(9 · 225) = 3 · 15 = 45.
д) √((6,8 − 3,2)(6,8 + 3,2)) = √(3,6 · 10) = √36 = 6.
е) 1 1/16 = 17/16, 1/2 = 8/16: √((17/16 − 8/16)(17/16 + 8/16)) = √(9/16 · 25/16) = 3/4 · 5/4 = 15/16.
Ответ: а) 15; б) 5; в) 80; г) 45; д) 6; е) 15/16.
б) √(9 + 16) = √25 = 5.
в) √((82 − 18)(82 + 18)) = √(64 · 100) = 80.
г) √((117 − 108)(117 + 108)) = √(9 · 225) = 3 · 15 = 45.
д) √((6,8 − 3,2)(6,8 + 3,2)) = √(3,6 · 10) = √36 = 6.
е) 1 1/16 = 17/16, 1/2 = 8/16: √((17/16 − 8/16)(17/16 + 8/16)) = √(9/16 · 25/16) = 3/4 · 5/4 = 15/16.
Ответ: а) 15; б) 5; в) 80; г) 45; д) 6; е) 15/16.
371. Представьте выражение в виде произведения корней: а) √15; б) √21; в) √(7a); г) √(3c).
Используем √(ab) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0).
а) √15 = √3 · √5.
б) √21 = √3 · √7.
в) √(7a) = √7 · √a (a ≥ 0).
г) √(3c) = √3 · √c (c ≥ 0).
а) √15 = √3 · √5.
б) √21 = √3 · √7.
в) √(7a) = √7 · √a (a ≥ 0).
г) √(3c) = √3 · √c (c ≥ 0).
372. Представьте выражение в виде частного корней: а) √(2/7); б) √(3/10); в) √(5/a); г) √(b/3).
Используем √(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0).
а) √(2/7) = √2/√7.
б) √(3/10) = √3/√10.
в) √(5/a) = √5/√a (a > 0).
г) √(b/3) = √b/√3 (b ≥ 0).
а) √(2/7) = √2/√7.
б) √(3/10) = √3/√10.
в) √(5/a) = √5/√a (a > 0).
г) √(b/3) = √b/√3 (b ≥ 0).
373. Докажите, что при любом неотрицательном a: а) 10√(a/100) = √a; б) √a = 1/10 · √(100a).
а) По теореме о корне из дроби √(a/100) = √a/√100 = √a/10. Тогда 10√(a/100) = 10 · √a/10 = √a.
б) По теореме о корне из произведения √(100a) = √100 · √a = 10√a. Тогда 1/10 · √(100a) = 1/10 · 10√a = √a.
Тождества доказаны для любого a ≥ 0.
б) По теореме о корне из произведения √(100a) = √100 · √a = 10√a. Тогда 1/10 · √(100a) = 1/10 · 10√a = √a.
Тождества доказаны для любого a ≥ 0.
374. Укажите натуральные значения n, при которых √(n² − 75) является натуральным числом.
Пусть √(n² − 75) = k, где k — натуральное число. Тогда n² − k² = 75, то есть (n − k)(n + k) = 75, причём n − k < n + k, оба множителя натуральные.
Разложения 75 на два множителя: 1 · 75, 3 · 25, 5 · 15.
1) n − k = 1, n + k = 75: n = 38, k = 37.
2) n − k = 3, n + k = 25: n = 14, k = 11.
3) n − k = 5, n + k = 15: n = 10, k = 5.
Проверка: 38² − 75 = 1369 = 37²; 14² − 75 = 121 = 11²; 10² − 75 = 25 = 5².
Ответ: n = 10; 14; 38.
Разложения 75 на два множителя: 1 · 75, 3 · 25, 5 · 15.
1) n − k = 1, n + k = 75: n = 38, k = 37.
2) n − k = 3, n + k = 25: n = 14, k = 11.
3) n − k = 5, n + k = 15: n = 10, k = 5.
Проверка: 38² − 75 = 1369 = 37²; 14² − 75 = 121 = 11²; 10² − 75 = 25 = 5².
Ответ: n = 10; 14; 38.
375. Используя приближённое равенство √75 ≈ 8,7, найдите приближённое значение выражения: а) √7500; б) √750 000; в) √0,75; г) √0,0075.
а) √7500 = √(75 · 100) = 10√75 ≈ 87.
б) √750 000 = √(75 · 10 000) = 100√75 ≈ 870.
в) √0,75 = √(75/100) = √75/10 ≈ 0,87.
г) √0,0075 = √(75/10 000) = √75/100 ≈ 0,087.
Ответ: а) 87; б) 870; в) 0,87; г) 0,087.
б) √750 000 = √(75 · 10 000) = 100√75 ≈ 870.
в) √0,75 = √(75/100) = √75/10 ≈ 0,87.
г) √0,0075 = √(75/10 000) = √75/100 ≈ 0,087.
Ответ: а) 87; б) 870; в) 0,87; г) 0,087.