Глава II. §4. п.14 Функция y=√x и её график — с. 85
357. Сравните числа: а) √27 и √28; б) √1,3 и √1,5; в) √7 и 3; г) √6,25 и 2,5; д) √(1/5) и √(1/6); е) √0,8 и 1; ж) √0,18 и 0,4; з) √(4/5) и √(5/6); и) √3,5 и √(3 2/3).
Для неотрицательных чисел знак сравнения корней совпадает со знаком сравнения подкоренных чисел.
а) 27 < 28, поэтому √27 < √28.
б) 1,3 < 1,5, поэтому √1,3 < √1,5.
в) 3 = √9 и 7 < 9, поэтому √7 < 3.
г) 2,5² = 6,25, поэтому √6,25 = 2,5.
д) 1/5 > 1/6, поэтому √(1/5) > √(1/6).
е) 1 = √1 и 0,8 < 1, поэтому √0,8 < 1.
ж) 0,4² = 0,16 < 0,18, поэтому √0,18 > 0,4.
з) 4/5 = 24/30 < 25/30 = 5/6, поэтому √(4/5) < √(5/6).
и) 3,5 < 3 2/3, поэтому √3,5 < √(3 2/3).
Ответ: а) <; б) <; в) <; г) =; д) >; е) <; ж) >; з) <; и) <.
а) 27 < 28, поэтому √27 < √28.
б) 1,3 < 1,5, поэтому √1,3 < √1,5.
в) 3 = √9 и 7 < 9, поэтому √7 < 3.
г) 2,5² = 6,25, поэтому √6,25 = 2,5.
д) 1/5 > 1/6, поэтому √(1/5) > √(1/6).
е) 1 = √1 и 0,8 < 1, поэтому √0,8 < 1.
ж) 0,4² = 0,16 < 0,18, поэтому √0,18 > 0,4.
з) 4/5 = 24/30 < 25/30 = 5/6, поэтому √(4/5) < √(5/6).
и) 3,5 < 3 2/3, поэтому √3,5 < √(3 2/3).
Ответ: а) <; б) <; в) <; г) =; д) >; е) <; ж) >; з) <; и) <.
358. Расположите в порядке возрастания числа: а) √2,3, √16,4, √19,5, √0,6, √0,07; б) √0,5, 1/9, √(1/3), 2 1/7, √(2 1/9).
а) Корни расположены в том же порядке, что и подкоренные числа: 0,07 < 0,6 < 2,3 < 16,4 < 19,5. Ответ: √0,07; √0,6; √2,3; √16,4; √19,5.
б) Оценим числа: 1/9 ≈ 0,11; √(1/3) ≈ 0,58 (так как 1/3 < 1/2); √0,5 ≈ 0,71; √(2 1/9) = √(19/9) ≈ 1,45 (1² < 19/9 < 2²); 2 1/7 ≈ 2,14. Сравним строго: 1/9 = √(1/81) < √(1/3) < √(1/2) = √0,5 < √(19/9), а √(19/9) < 2 < 2 1/7.
Ответ: 1/9; √(1/3); √0,5; √(2 1/9); 2 1/7.
б) Оценим числа: 1/9 ≈ 0,11; √(1/3) ≈ 0,58 (так как 1/3 < 1/2); √0,5 ≈ 0,71; √(2 1/9) = √(19/9) ≈ 1,45 (1² < 19/9 < 2²); 2 1/7 ≈ 2,14. Сравним строго: 1/9 = √(1/81) < √(1/3) < √(1/2) = √0,5 < √(19/9), а √(19/9) < 2 < 2 1/7.
Ответ: 1/9; √(1/3); √0,5; √(2 1/9); 2 1/7.
359. Найдите значение выражения: а) 0,5√121 + 3√0,81; б) (−3√(1/3))² − 10√0,64; в) √400 − (4√0,5)²; г) √144 · √900 · √0,01; д) (−√(1/11))² − 5√0,16; е) (−6√(1/6))² − 4√0,36.
а) 0,5 · 11 + 3 · 0,9 = 5,5 + 2,7 = 8,2.
б) (−3√(1/3))² = 9 · 1/3 = 3; 10√0,64 = 10 · 0,8 = 8; 3 − 8 = −5.
в) √400 = 20; (4√0,5)² = 16 · 0,5 = 8; 20 − 8 = 12.
г) 12 · 30 · 0,1 = 36.
д) (−√(1/11))² = 1/11; 5√0,16 = 5 · 0,4 = 2; 1/11 − 2 = −1 10/11.
е) (−6√(1/6))² = 36 · 1/6 = 6; 4√0,36 = 4 · 0,6 = 2,4; 6 − 2,4 = 3,6.
Ответ: а) 8,2; б) −5; в) 12; г) 36; д) −1 10/11; е) 3,6.
б) (−3√(1/3))² = 9 · 1/3 = 3; 10√0,64 = 10 · 0,8 = 8; 3 − 8 = −5.
в) √400 = 20; (4√0,5)² = 16 · 0,5 = 8; 20 − 8 = 12.
г) 12 · 30 · 0,1 = 36.
д) (−√(1/11))² = 1/11; 5√0,16 = 5 · 0,4 = 2; 1/11 − 2 = −1 10/11.
е) (−6√(1/6))² = 36 · 1/6 = 6; 4√0,36 = 4 · 0,6 = 2,4; 6 − 2,4 = 3,6.
Ответ: а) 8,2; б) −5; в) 12; г) 36; д) −1 10/11; е) 3,6.
360. Имеет ли смысл выражение: а) √((−9)²); б) (√−9)²; в) −√(9²); г) −√((−9)²)?
а) (−9)² = 81 ≥ 0, √81 = 9, выражение имеет смысл.
б) Под знаком корня стоит −9 < 0, корень из отрицательного числа не определён, выражение смысла не имеет.
в) 9² = 81 ≥ 0, −√81 = −9, выражение имеет смысл.
г) (−9)² = 81 ≥ 0, −√81 = −9, выражение имеет смысл.
Ответ: а) имеет; б) не имеет; в) имеет; г) имеет.
б) Под знаком корня стоит −9 < 0, корень из отрицательного числа не определён, выражение смысла не имеет.
в) 9² = 81 ≥ 0, −√81 = −9, выражение имеет смысл.
г) (−9)² = 81 ≥ 0, −√81 = −9, выражение имеет смысл.
Ответ: а) имеет; б) не имеет; в) имеет; г) имеет.
361. Решите уравнения: а) x² = 11 и √x = 11; б) 2x² = 1/2 и 2√x = 1/2.
а) x² = 11 имеет два корня: x = √11 и x = −√11. Уравнение √x = 11: по определению корня x = 11² = 121 (121 ≥ 0, подходит).
б) 2x² = 1/2, x² = 1/4, x = ±1/2. Уравнение 2√x = 1/2: √x = 1/4, x = 1/16.
Ответ: а) ±√11; 121; б) ±1/2; 1/16.
б) 2x² = 1/2, x² = 1/4, x = ±1/2. Уравнение 2√x = 1/2: √x = 1/4, x = 1/16.
Ответ: а) ±√11; 121; б) ±1/2; 1/16.
Вопрос 1. Какие числа образуют множество действительных чисел?
Множество действительных чисел образуют все рациональные и все иррациональные числа. Иначе: это все числа, записываемые бесконечными десятичными дробями (периодические дроби дают рациональные числа, непериодические — иррациональные).
Вопрос 2. Какие действительные числа можно и какие нельзя представить в виде отношения целого числа к натуральному?
В виде отношения m/n, где m — целое, n — натуральное, можно представить рациональные числа (например, 0,75 = 3/4, 0,(3) = 1/3). Иррациональные числа (например, √2, π) так представить нельзя.
Вопрос 3. Приведите пример бесконечной десятичной дроби, которая является: а) рациональным числом; б) иррациональным числом?
а) Бесконечная периодическая дробь — рациональное число, например 0,(3) = 0,333... = 1/3.
б) Бесконечная непериодическая дробь — иррациональное число, например 1,41421356... = √2 или 0,1010010001... (число единиц-нулей не повторяется с периодом).
б) Бесконечная непериодическая дробь — иррациональное число, например 1,41421356... = √2 или 0,1010010001... (число единиц-нулей не повторяется с периодом).
Вопрос 4. Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. При каких значениях a выражение √a имеет смысл?
Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a. Выражение √a имеет смысл при a ≥ 0 (для отрицательных чисел арифметический квадратный корень не определён).
Вопрос 5. Имеет ли уравнение x² = a корни при a > 0, a = 0, a < 0, и если имеет, то сколько?
При a > 0 уравнение x² = a имеет два корня: √a и −√a. При a = 0 — один корень x = 0. При a < 0 корней нет, так как квадрат любого числа неотрицателен.
Вопрос 6. Какова область определения функции y = √x?
Выражение √x имеет смысл при x ≥ 0, поэтому область определения функции y = √x — множество всех неотрицательных чисел, то есть промежуток [0; +∞).
Вопрос 7. Как расположен график функции y = √x в координатной плоскости?
Пересекает ли этот график прямую y = 25; y = 100; y = 10 000?
График функции y = √x — ветвь параболы, симметричная правой ветви параболы y = x² относительно прямой y = x. Он начинается в начале координат, расположен в первой координатной четверти и идёт вверх: большему значению x соответствует большее значение y.
Прямая y = a при a ≥ 0 пересекает график в точке (a²; a):
y = 25: √x = 25, x = 625, точка (625; 25);
y = 100: x = 10 000, точка (10 000; 100);
y = 10 000: x = 100 000 000, точка (100 000 000; 10 000).
Ответ: пересекает все три прямые.
Прямая y = a при a ≥ 0 пересекает график в точке (a²; a):
y = 25: √x = 25, x = 625, точка (625; 25);
y = 100: x = 10 000, точка (10 000; 100);
y = 10 000: x = 100 000 000, точка (100 000 000; 10 000).
Ответ: пересекает все три прямые.