Глава II. §4. п.14 Функция y=√x и её график — с. 84
349. С помощью графика функции y = √x найдите: а) значение функции при x = 0,5; 1,5; 6,5; 7,2; б) значение аргумента, которому соответствует значение y = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3.
Значения находим по графику (рис. 18) приближённо; для контроля используем калькулятор или возведение в квадрат.
а) √0,5 ≈ 0,7; √1,5 ≈ 1,2; √6,5 ≈ 2,5; √7,2 ≈ 2,7.
б) Если √x = y, то x = y²: при y = 0,5 имеем x ≈ 0,25; при y = 1,5 — x ≈ 2,25; при y = 1,8 — x ≈ 3,2; при y = 2,3 — x ≈ 5,3.
Ответ: а) ≈ 0,7; ≈ 1,2; ≈ 2,5; ≈ 2,7; б) ≈ 0,25; ≈ 2,25; ≈ 3,2; ≈ 5,3.
а) √0,5 ≈ 0,7; √1,5 ≈ 1,2; √6,5 ≈ 2,5; √7,2 ≈ 2,7.
б) Если √x = y, то x = y²: при y = 0,5 имеем x ≈ 0,25; при y = 1,5 — x ≈ 2,25; при y = 1,8 — x ≈ 3,2; при y = 2,3 — x ≈ 5,3.
Ответ: а) ≈ 0,7; ≈ 1,2; ≈ 2,5; ≈ 2,7; б) ≈ 0,25; ≈ 2,25; ≈ 3,2; ≈ 5,3.
350. Принадлежит ли графику функции y = √x точка A(64; 8)? точка B(10 000; 100)? точка C(−81; 9)? точка D(25; −5)?
Точка принадлежит графику, если её координаты удовлетворяют равенству y = √x.
A(64; 8): √64 = 8, равенство верно, принадлежит.
B(10 000; 100): √10 000 = 100, принадлежит.
C(−81; 9): при x = −81 выражение √x не имеет смысла (область определения x ≥ 0), не принадлежит.
D(25; −5): √25 = 5 ≠ −5 (корень не может быть отрицательным), не принадлежит.
Ответ: A и B принадлежат; C и D не принадлежат.
A(64; 8): √64 = 8, равенство верно, принадлежит.
B(10 000; 100): √10 000 = 100, принадлежит.
C(−81; 9): при x = −81 выражение √x не имеет смысла (область определения x ≥ 0), не принадлежит.
D(25; −5): √25 = 5 ≠ −5 (корень не может быть отрицательным), не принадлежит.
Ответ: A и B принадлежат; C и D не принадлежат.
351. Пересекает ли график функции y = √x прямая: а) y = 1; б) y = 10; в) y = 100; г) y = −100?
Если пересекает, то в какой точке?
Прямая y = a пересекает график, если уравнение √x = a имеет решение, то есть при a ≥ 0; тогда x = a².
а) √x = 1, x = 1: точка (1; 1).
б) √x = 10, x = 100: точка (100; 10).
в) √x = 100, x = 10 000: точка (10 000; 100).
г) √x = −100 решений не имеет (корень неотрицателен): график не пересекается с прямой y = −100.
Ответ: а) (1; 1); б) (100; 10); в) (10 000; 100); г) не пересекает.
а) √x = 1, x = 1: точка (1; 1).
б) √x = 10, x = 100: точка (100; 10).
в) √x = 100, x = 10 000: точка (10 000; 100).
г) √x = −100 решений не имеет (корень неотрицателен): график не пересекается с прямой y = −100.
Ответ: а) (1; 1); б) (100; 10); в) (10 000; 100); г) не пересекает.
352. Докажите, что графики функций y = √x и y = x + 0,5 не имеют общих точек.
Общая точка существовала бы при √x = x + 0,5, где x ≥ 0. Рассмотрим разность (x + 0,5) − √x. Так как x = (√x)², то
(x + 0,5) − √x = (√x)² − √x + 0,5 = (√x)² − 2 · √x · 0,5 + 0,25 + 0,25 = (√x − 0,5)² + 0,25.
Это выражение не меньше 0,25, то есть всегда положительно. Значит, x + 0,5 > √x при любом x ≥ 0, равенство невозможно, и графики общих точек не имеют. Что и требовалось доказать.
(x + 0,5) − √x = (√x)² − √x + 0,5 = (√x)² − 2 · √x · 0,5 + 0,25 + 0,25 = (√x − 0,5)² + 0,25.
Это выражение не меньше 0,25, то есть всегда положительно. Значит, x + 0,5 > √x при любом x ≥ 0, равенство невозможно, и графики общих точек не имеют. Что и требовалось доказать.
353. (Для работы в парах.) Имеют ли общие точки графики функций: а) y = √x и y = x; б) y = √x и y = 1000; в) y = √x и y = x + 10; г) y = √x и y = −x + 1,5?
При положительном ответе укажите координаты этих точек.
1. Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.
3. Приведите примеры линейных функций, графики которых: не пересекают график функции y = √x; пересекают его в одной точке; пересекают его в двух точках. Обсудите правильность этих примеров.
Общие точки — решения уравнения √x = (правая часть), x ≥ 0. Обозначим t = √x ≥ 0, тогда x = t².
а) √x = x: t = t², t(t − 1) = 0, t = 0 или t = 1; x = 0 или x = 1. Общие точки: (0; 0) и (1; 1).
б) √x = 1000, x = 1 000 000. Одна общая точка: (1 000 000; 1000).
в) √x = x + 10: t = t² + 10, t² − t + 10 = 0, D = 1 − 40 < 0, корней нет. Общих точек нет.
г) √x = −x + 1,5: t = −t² + 1,5, t² + t − 1,5 = 0, D = 1 + 6 = 7, t = (−1 ± √7)/2. Условию t ≥ 0 удовлетворяет только t = (√7 − 1)/2 ≈ 0,82. Тогда x = t² = (8 − 2√7)/4 = (4 − √7)/2 ≈ 0,68. Одна общая точка: ((4 − √7)/2; (√7 − 1)/2) ≈ (0,68; 0,82). Проверка: x + y = (4 − √7 + √7 − 1)/2 = 1,5.
Примеры к пункту 3): не пересекает — y = −1 (или y = x + 10); пересекает в одной точке — y = 2 (точка (4; 2)); пересекает в двух точках — y = x (точки (0; 0) и (1; 1)).
Ответ: а) две точки (0; 0) и (1; 1); б) одна точка (1 000 000; 1000); в) нет; г) одна точка ((4 − √7)/2; (√7 − 1)/2).
а) √x = x: t = t², t(t − 1) = 0, t = 0 или t = 1; x = 0 или x = 1. Общие точки: (0; 0) и (1; 1).
б) √x = 1000, x = 1 000 000. Одна общая точка: (1 000 000; 1000).
в) √x = x + 10: t = t² + 10, t² − t + 10 = 0, D = 1 − 40 < 0, корней нет. Общих точек нет.
г) √x = −x + 1,5: t = −t² + 1,5, t² + t − 1,5 = 0, D = 1 + 6 = 7, t = (−1 ± √7)/2. Условию t ≥ 0 удовлетворяет только t = (√7 − 1)/2 ≈ 0,82. Тогда x = t² = (8 − 2√7)/4 = (4 − √7)/2 ≈ 0,68. Одна общая точка: ((4 − √7)/2; (√7 − 1)/2) ≈ (0,68; 0,82). Проверка: x + y = (4 − √7 + √7 − 1)/2 = 1,5.
Примеры к пункту 3): не пересекает — y = −1 (или y = x + 10); пересекает в одной точке — y = 2 (точка (4; 2)); пересекает в двух точках — y = x (точки (0; 0) и (1; 1)).
Ответ: а) две точки (0; 0) и (1; 1); б) одна точка (1 000 000; 1000); в) нет; г) одна точка ((4 − √7)/2; (√7 − 1)/2).
354. Какой из графиков линейных функций не пересекает графика функции y = √x? 1. y = −x + 2; 2. y = −x; 3. y = −x + 0,1; 4. y = −x − 0,1.
Обозначим t = √x ≥ 0 и решим уравнение √x = (правая часть).
1) t = −t² + 2: t² + t − 2 = 0, t = 1 (или t = −2, не подходит); x = 1, точка (1; 1) общая.
2) t = −t²: t(t + 1) = 0, t = 0; x = 0, точка (0; 0) общая.
3) t = −t² + 0,1: t² + t − 0,1 = 0, t = (−1 + √1,4)/2 ≈ 0,09 > 0; общая точка есть.
4) t = −t² − 0,1, то есть t² + t + 0,1 = 0. Корни этого уравнения имеют сумму −1 и произведение 0,1, значит, оба отрицательны. Поэтому неотрицательных t нет. Другое объяснение: при x ≥ 0 значение −x − 0,1 ≤ −0,1 < 0, а √x ≥ 0.
Ответ: 4.
1) t = −t² + 2: t² + t − 2 = 0, t = 1 (или t = −2, не подходит); x = 1, точка (1; 1) общая.
2) t = −t²: t(t + 1) = 0, t = 0; x = 0, точка (0; 0) общая.
3) t = −t² + 0,1: t² + t − 0,1 = 0, t = (−1 + √1,4)/2 ≈ 0,09 > 0; общая точка есть.
4) t = −t² − 0,1, то есть t² + t + 0,1 = 0. Корни этого уравнения имеют сумму −1 и произведение 0,1, значит, оба отрицательны. Поэтому неотрицательных t нет. Другое объяснение: при x ≥ 0 значение −x − 0,1 ≤ −0,1 < 0, а √x ≥ 0.
Ответ: 4.
355. Решите графически уравнение: а) √x = 6 − x; б) √x = 4/x; в) −x − 5 = √x.
Строим в одной системе координат график y = √x (ветвь параболы) и графики правых частей; абсциссы точек пересечения — корни уравнения.
а) Прямая y = 6 − x пересекает график y = √x в точке (4; 2). Проверка: √4 = 2 и 6 − 4 = 2. Других точек нет: √x возрастает, а 6 − x убывает. Ответ: x = 4.
б) Гипербола y = 4/x (при x > 0) пересекает график y = √x в одной точке с абсциссой примерно 2,5 (ордината примерно 1,6). Проверка: √2,5 ≈ 1,58 и 4/2,5 = 1,6. Ответ: x ≈ 2,5 (точное значение: x³ = 16, x = ∛16).
в) При x ≥ 0 прямая y = −x − 5 лежит ниже оси абсцисс (y ≤ −5), а график y = √x — на оси или выше. Общих точек нет. Ответ: корней нет.
а) Прямая y = 6 − x пересекает график y = √x в точке (4; 2). Проверка: √4 = 2 и 6 − 4 = 2. Других точек нет: √x возрастает, а 6 − x убывает. Ответ: x = 4.
б) Гипербола y = 4/x (при x > 0) пересекает график y = √x в одной точке с абсциссой примерно 2,5 (ордината примерно 1,6). Проверка: √2,5 ≈ 1,58 и 4/2,5 = 1,6. Ответ: x ≈ 2,5 (точное значение: x³ = 16, x = ∛16).
в) При x ≥ 0 прямая y = −x − 5 лежит ниже оси абсцисс (y ≤ −5), а график y = √x — на оси или выше. Общих точек нет. Ответ: корней нет.
356. Что больше: а) √10 или √11; б) √0,12 или √0,15; в) √50 или √60; г) 7 или √50; д) √60 или 8; е) √2 или 1,4; ж) √3 или 1,8; з) √28 или 5,2; и) 9 или √95?
Из двух неотрицательных чисел больше то, у которого больше подкоренное число (или квадрат). Числа без корня сравниваем с корнем, возведя в квадрат.
а) 10 < 11, поэтому √11 больше.
б) 0,12 < 0,15, поэтому √0,15 больше.
в) 50 < 60, поэтому √60 больше.
г) 7² = 49 < 50, поэтому √50 больше 7.
д) 8² = 64 > 60, поэтому 8 больше √60.
е) 1,4² = 1,96 < 2, поэтому √2 больше 1,4.
ж) 1,8² = 3,24 > 3, поэтому 1,8 больше √3.
з) 5,2² = 27,04 < 28, поэтому √28 больше 5,2.
и) 9² = 81 < 95, поэтому √95 больше 9.
Ответ: а) √11; б) √0,15; в) √60; г) √50; д) 8; е) √2; ж) 1,8; з) √28; и) √95.
а) 10 < 11, поэтому √11 больше.
б) 0,12 < 0,15, поэтому √0,15 больше.
в) 50 < 60, поэтому √60 больше.
г) 7² = 49 < 50, поэтому √50 больше 7.
д) 8² = 64 > 60, поэтому 8 больше √60.
е) 1,4² = 1,96 < 2, поэтому √2 больше 1,4.
ж) 1,8² = 3,24 > 3, поэтому 1,8 больше √3.
з) 5,2² = 27,04 < 28, поэтому √28 больше 5,2.
и) 9² = 81 < 95, поэтому √95 больше 9.
Ответ: а) √11; б) √0,15; в) √60; г) √50; д) 8; е) √2; ж) 1,8; з) √28; и) √95.