Глава II. §4. п.13 Нахождение приближённых значений квадратного корня — с. 80
334. Выберите из отмеченных точек те, которые соответствуют числам √159 и √127 (рис. 16). [рисунок 16: координатная прямая на клетчатой сетке, отмечены 11, 12, 13; единичный отрезок равен 4 клеткам; точки M и N между 11 и 12, точки P и Q между 12 и 13]
Оценим числа: 11² = 121 < 127 < 144 = 12², значит, √127 лежит между 11 и 12; более точно, 11,2² = 125,44 < 127 < 11,3² = 127,69, то есть √127 ≈ 11,3 — чуть правее 11 (примерно на одну клетку, то есть на четверть единицы; точка M).
12² = 144 < 159 < 169 = 13²; 12,6² = 158,76 < 159 < 12,7² = 161,29, то есть √159 ≈ 12,6 — между 12 и 13, ближе к 13 (на рисунке это точка Q, расположенная правее P).
Ответ: √127 соответствует точка M; √159 — точка Q.
Оговорка: ответ получен по рисунку, где точки отмечены приближённо.
12² = 144 < 159 < 169 = 13²; 12,6² = 158,76 < 159 < 12,7² = 161,29, то есть √159 ≈ 12,6 — между 12 и 13, ближе к 13 (на рисунке это точка Q, расположенная правее P).
Ответ: √127 соответствует точка M; √159 — точка Q.
Оговорка: ответ получен по рисунку, где точки отмечены приближённо.
335. Сравните с нулём значение выражения: а) √7 − 3; б) 11 − √107; в) √85 − 4; г) 19 − √326; д) 15 − √225; е) √625 − 25.
а) 3 = √9 и 7 < 9, поэтому √7 < 3, разность отрицательна: √7 − 3 < 0.
б) 11 = √121 и 107 < 121, поэтому √107 < 11, значит, 11 − √107 > 0.
в) 4 = √16 и 85 > 16, поэтому √85 > 4, значит, √85 − 4 > 0.
г) 19 = √361 и 326 < 361, поэтому √326 < 19, значит, 19 − √326 > 0.
д) √225 = 15, поэтому 15 − √225 = 0.
е) √625 = 25, поэтому √625 − 25 = 0.
Ответ: а) меньше нуля; б) больше нуля; в) больше нуля; г) больше нуля; д) равно нулю; е) равно нулю.
б) 11 = √121 и 107 < 121, поэтому √107 < 11, значит, 11 − √107 > 0.
в) 4 = √16 и 85 > 16, поэтому √85 > 4, значит, √85 − 4 > 0.
г) 19 = √361 и 326 < 361, поэтому √326 < 19, значит, 19 − √326 > 0.
д) √225 = 15, поэтому 15 − √225 = 0.
е) √625 = 25, поэтому √625 − 25 = 0.
Ответ: а) меньше нуля; б) больше нуля; в) больше нуля; г) больше нуля; д) равно нулю; е) равно нулю.
336. Имеет ли смысл выражение: а) √(√5 − 3); б) √(4 − √12)?
Выражение имеет смысл, если подкоренное число неотрицательно.
а) 3 = √9 > √5, поэтому √5 − 3 < 0. Подкоренное число отрицательно, выражение смысла не имеет.
б) 4 = √16 > √12, поэтому 4 − √12 > 0. Выражение имеет смысл.
Ответ: а) не имеет; б) имеет.
а) 3 = √9 > √5, поэтому √5 − 3 < 0. Подкоренное число отрицательно, выражение смысла не имеет.
б) 4 = √16 > √12, поэтому 4 − √12 > 0. Выражение имеет смысл.
Ответ: а) не имеет; б) имеет.
337. Площадь квадрата равна 18 см². Найдите с помощью калькулятора его сторону с точностью до 0,1 см.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны: a² = 18, откуда a = √18 (a > 0).
Калькулятор даёт √18 ≈ 4,2426, с точностью до 0,1 это 4,2.
Ответ: ≈ 4,2 см.
Калькулятор даёт √18 ≈ 4,2426, с точностью до 0,1 это 4,2.
Ответ: ≈ 4,2 см.
338. Длина стороны a₈ правильного восьмиугольника, вписанного в круг радиуса R, вычисляется по формуле a₈ = R√(2 − √2). Найдите a₈ с помощью калькулятора (с точностью до 0,1), если: а) R = 9,4 см; б) R = 10,5 см.
Сначала найдём множитель: √2 ≈ 1,41421, 2 − √2 ≈ 0,58579, √0,58579 ≈ 0,76537.
а) a₈ ≈ 9,4 · 0,76537 ≈ 7,19 ≈ 7,2 см.
б) a₈ ≈ 10,5 · 0,76537 ≈ 8,04 ≈ 8,0 см.
Ответ: а) ≈ 7,2 см; б) ≈ 8,0 см.
а) a₈ ≈ 9,4 · 0,76537 ≈ 7,19 ≈ 7,2 см.
б) a₈ ≈ 10,5 · 0,76537 ≈ 8,04 ≈ 8,0 см.
Ответ: а) ≈ 7,2 см; б) ≈ 8,0 см.
339. Свободно падающее тело в безвоздушном пространстве проходит s см за t с, где t = √(2s/g), g — ускорение свободного падения, g ≈ 10 м/с². Пользуясь калькулятором, вычислите t с точностью до 0,1 с, если: а) s = 175; б) s = 225.
Расстояние s дано в сантиметрах, поэтому ускорение тоже выразим в сантиметрах: g ≈ 10 м/с² = 1000 см/с².
а) t = √(2 · 175/1000) = √0,35 ≈ 0,59 ≈ 0,6 с.
б) t = √(2 · 225/1000) = √0,45 ≈ 0,67 ≈ 0,7 с.
Ответ: а) ≈ 0,6 с; б) ≈ 0,7 с.
а) t = √(2 · 175/1000) = √0,35 ≈ 0,59 ≈ 0,6 с.
б) t = √(2 · 225/1000) = √0,45 ≈ 0,67 ≈ 0,7 с.
Ответ: а) ≈ 0,6 с; б) ≈ 0,7 с.
340. Время t (с) полного колебания маятника вычисляется по формуле t = 2π√(l/g), где l (см) — длина маятника, g ≈ 10 м/с², π ≈ 3,14. Найдите t с помощью калькулятора с точностью до 0,1 с, если l равно: а) 22; б) 126.
Длина дана в сантиметрах, поэтому g ≈ 10 м/с² = 1000 см/с²; 2π ≈ 6,28.
а) t = 6,28 · √(22/1000) = 6,28 · √0,022 ≈ 6,28 · 0,1483 ≈ 0,93 ≈ 0,9 с.
б) t = 6,28 · √(126/1000) = 6,28 · √0,126 ≈ 6,28 · 0,3550 ≈ 2,23 ≈ 2,2 с.
Ответ: а) ≈ 0,9 с; б) ≈ 2,2 с.
а) t = 6,28 · √(22/1000) = 6,28 · √0,022 ≈ 6,28 · 0,1483 ≈ 0,93 ≈ 0,9 с.
б) t = 6,28 · √(126/1000) = 6,28 · √0,126 ≈ 6,28 · 0,3550 ≈ 2,23 ≈ 2,2 с.
Ответ: а) ≈ 0,9 с; б) ≈ 2,2 с.
341. Решите данные уравнения и укажите те из них, у которых оба корня не превосходят числа 2: а) x² = 30; б) 7x² = 10; в) 0,2x² = 3.
а) x² = 30, x = ±√30. Так как 30 > 25, то √30 > 5, и корень √30 больше 2.
б) 7x² = 10, x² = 10/7, x = ±√(10/7). Так как 10/7 < 4, то √(10/7) < 2 (≈ 1,2); оба корня, −√(10/7) и √(10/7), не превосходят 2.
в) 0,2x² = 3, x² = 15, x = ±√15. Так как 15 > 4, то √15 > 2 (≈ 3,9).
Ответ: а) ±√30; б) ±√(10/7); в) ±√15; условию удовлетворяет только уравнение б).
б) 7x² = 10, x² = 10/7, x = ±√(10/7). Так как 10/7 < 4, то √(10/7) < 2 (≈ 1,2); оба корня, −√(10/7) и √(10/7), не превосходят 2.
в) 0,2x² = 3, x² = 15, x = ±√15. Так как 15 > 4, то √15 > 2 (≈ 3,9).
Ответ: а) ±√30; б) ±√(10/7); в) ±√15; условию удовлетворяет только уравнение б).