Глава II. §4. п.13 Нахождение приближённых значений квадратного корня — с. 79
329. Подберите два последовательных целых числа, между которыми заключено число: а) √27; б) √40; в) √120; г) √9,2; д) √0,4; е) √15; ж) √167; з) √288.
Находим два последовательных квадрата целых чисел, между которыми лежит подкоренное число.
а) 25 < 27 < 36, значит, 5 < √27 < 6.
б) 36 < 40 < 49, значит, 6 < √40 < 7.
в) 100 < 120 < 121, значит, 10 < √120 < 11.
г) 9 < 9,2 < 16, значит, 3 < √9,2 < 4.
д) 0 < 0,4 < 1, значит, 0 < √0,4 < 1.
е) 9 < 15 < 16, значит, 3 < √15 < 4.
ж) 144 < 167 < 169, значит, 12 < √167 < 13.
з) 256 < 288 < 289, значит, 16 < √288 < 17.
Ответ: а) 5 и 6; б) 6 и 7; в) 10 и 11; г) 3 и 4; д) 0 и 1; е) 3 и 4; ж) 12 и 13; з) 16 и 17.
а) 25 < 27 < 36, значит, 5 < √27 < 6.
б) 36 < 40 < 49, значит, 6 < √40 < 7.
в) 100 < 120 < 121, значит, 10 < √120 < 11.
г) 9 < 9,2 < 16, значит, 3 < √9,2 < 4.
д) 0 < 0,4 < 1, значит, 0 < √0,4 < 1.
е) 9 < 15 < 16, значит, 3 < √15 < 4.
ж) 144 < 167 < 169, значит, 12 < √167 < 13.
з) 256 < 288 < 289, значит, 16 < √288 < 17.
Ответ: а) 5 и 6; б) 6 и 7; в) 10 и 11; г) 3 и 4; д) 0 и 1; е) 3 и 4; ж) 12 и 13; з) 16 и 17.
330. Найдите цифры разрядов единиц, десятых, сотых в десятичной записи иррациональных чисел √3, √5, √6.
Подбираем десятичные дроби, квадраты которых «зажимают» число.
√3: 1² = 1 < 3 < 4 = 2², единицы: 1. 1,7² = 2,89 < 3 < 3,24 = 1,8², десятые: 7. 1,73² = 2,9929 < 3 < 3,0276 = 1,74², сотые: 3. Итак, √3 = 1,73...
√5: 2² = 4 < 5 < 9, единицы: 2. 2,2² = 4,84 < 5 < 5,29 = 2,3², десятые: 2. 2,23² = 4,9729 < 5 < 5,0176 = 2,24², сотые: 3. Итак, √5 = 2,23...
√6: 2² = 4 < 6 < 9, единицы: 2. 2,4² = 5,76 < 6 < 6,25 = 2,5², десятые: 4. 2,44² = 5,9536 < 6 < 6,0025 = 2,45², сотые: 4. Итак, √6 = 2,44...
Ответ: √3 = 1,73...; √5 = 2,23...; √6 = 2,44... (цифры единиц, десятых, сотых: 1, 7, 3; 2, 2, 3; 2, 4, 4).
√3: 1² = 1 < 3 < 4 = 2², единицы: 1. 1,7² = 2,89 < 3 < 3,24 = 1,8², десятые: 7. 1,73² = 2,9929 < 3 < 3,0276 = 1,74², сотые: 3. Итак, √3 = 1,73...
√5: 2² = 4 < 5 < 9, единицы: 2. 2,2² = 4,84 < 5 < 5,29 = 2,3², десятые: 2. 2,23² = 4,9729 < 5 < 5,0176 = 2,24², сотые: 3. Итак, √5 = 2,23...
√6: 2² = 4 < 6 < 9, единицы: 2. 2,4² = 5,76 < 6 < 6,25 = 2,5², десятые: 4. 2,44² = 5,9536 < 6 < 6,0025 = 2,45², сотые: 4. Итак, √6 = 2,44...
Ответ: √3 = 1,73...; √5 = 2,23...; √6 = 2,44... (цифры единиц, десятых, сотых: 1, 7, 3; 2, 2, 3; 2, 4, 4).
331. Верно ли утверждение: а) число √5 больше 2; б) число √5,2 меньше 2; в) число √170 меньше 13; г) число √39 больше числа √38?
Сравниваем числа, сравнивая подкоренные выражения (у неотрицательных чисел большему числу соответствует больший корень); число k можно записать как √(k²).
а) 2 = √4, а 5 > 4, поэтому √5 > 2. Утверждение верно.
б) 5,2 > 4, поэтому √5,2 > 2. Утверждение неверно.
в) 13 = √169, а 170 > 169, поэтому √170 > 13. Утверждение неверно.
г) 39 > 38, поэтому √39 > √38. Утверждение верно.
Ответ: а) верно; б) неверно; в) неверно; г) верно.
а) 2 = √4, а 5 > 4, поэтому √5 > 2. Утверждение верно.
б) 5,2 > 4, поэтому √5,2 > 2. Утверждение неверно.
в) 13 = √169, а 170 > 169, поэтому √170 > 13. Утверждение неверно.
г) 39 > 38, поэтому √39 > √38. Утверждение верно.
Ответ: а) верно; б) неверно; в) неверно; г) верно.
332. Какое из чисел √1,4; √2; √7; √5,2 отмечено на координатной прямой точкой A; точкой B (рис. 14)? [рисунок 14: координатная прямая на клетчатой сетке, отмечены 0, 1, 2; единичный отрезок равен 4 клеткам; точка A между 1 и 2 правее середины отрезка, точка B правее 2]
Оценим числа: √1,4 ≈ 1,2 (1 < 1,4 < 4); √2 ≈ 1,4 (1,4² = 1,96, 1,5² = 2,25); √5,2 ≈ 2,3 (2,2² = 4,84, 2,3² = 5,29); √7 ≈ 2,6 (2,6² = 6,76, 2,7² = 7,29).
Точка A лежит между 1 и 2 примерно в 1,4–1,5 от нуля, это √2 (√1,4 ≈ 1,2 было бы заметно ближе к единице).
Точка B лежит между 2 и 3, ближе к 2, чем к 3 (примерно 2,3), это √5,2 (√7 ≈ 2,6 было бы правее середины отрезка от 2 до 3).
Ответ: точкой A отмечено число √2; точкой B — число √5,2.
Оговорка: ответ получен по рисунку, где точки отмечены приближённо.
Точка A лежит между 1 и 2 примерно в 1,4–1,5 от нуля, это √2 (√1,4 ≈ 1,2 было бы заметно ближе к единице).
Точка B лежит между 2 и 3, ближе к 2, чем к 3 (примерно 2,3), это √5,2 (√7 ≈ 2,6 было бы правее середины отрезка от 2 до 3).
Ответ: точкой A отмечено число √2; точкой B — число √5,2.
Оговорка: ответ получен по рисунку, где точки отмечены приближённо.
333. Какое из чисел 0,6; 142/29; 3; √33 отмечено на координатной прямой точкой A (рис. 15)? [рисунок 15: координатная прямая на клетчатой сетке, отмечены 0 и 8; единичный отрезок равен одной клетке; точка A между 5 и 8, ближе к 6]
Оценим числа: 0,6 < 1; 142/29 = 4 26/29 ≈ 4,9; 3; √33: 5² = 25 < 33 < 36 = 6², поэтому 5 < √33 < 6 (√33 ≈ 5,7).
На рисунке единичный отрезок равен одной клетке: 0 отмечен, 8 отмечено на расстоянии восьми клеток. Точка A находится примерно в шести клетках от нуля, то есть между 5 и 6, ближе к 6. Этому подходит только √33.
Ответ: √33.
Оговорка: ответ получен по рисунку, где точка отмечена приближённо.
На рисунке единичный отрезок равен одной клетке: 0 отмечен, 8 отмечено на расстоянии восьми клеток. Точка A находится примерно в шести клетках от нуля, то есть между 5 и 6, ближе к 6. Этому подходит только √33.
Ответ: √33.
Оговорка: ответ получен по рисунку, где точка отмечена приближённо.