Алгебра · 8 КЛАСС

Упражнения 320–327 — Глава II. §4. п.12 Уравнение x²=a

Страница 77 · Алгебра Макарычев 8 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 16-е издание, переработанное

Оглавление

Глава II. §4. п.12 Уравнение x²=a — с. 77

320. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение: а) √(2x); б) √(−x)?
Арифметический квадратный корень имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
а) 2x ≥ 0, откуда x ≥ 0.
б) −x ≥ 0, откуда x ≤ 0.
Ответ: а) при x ≥ 0; б) при x ≤ 0.
321. Найдите квадрат числа: √25; √81; √2; √3; −√4; √5; −√6; √(1/2); √1,3.
Квадрат арифметического корня из неотрицательного числа a равен a: (√a)² = a; квадрат противоположного числа равен квадрату самого числа.
(√25)² = 25; (√81)² = 81; (√2)² = 2; (√3)² = 3; (−√4)² = (√4)² = 4; (√5)² = 5; (−√6)² = 6; (√(1/2))² = 1/2; (√1,3)² = 1,3.
Ответ: 25; 81; 2; 3; 4; 5; 6; 1/2; 1,3.
322. Найдите значение выражения: а) (√7)²; б) (−√26)²; в) −2√14 · √14; г) (3√5)²; д) 0,5(−√8)²; е) (−2√15)²; ж) (√3/2)²; з) (√3/√6)².
Используем (√a)² = a и (ab)² = a²b².
а) (√7)² = 7.
б) (−√26)² = 26.
в) −2√14 · √14 = −2 · (√14)² = −2 · 14 = −28.
г) (3√5)² = 3² · (√5)² = 9 · 5 = 45.
д) 0,5(−√8)² = 0,5 · 8 = 4.
е) (−2√15)² = 4 · 15 = 60.
ж) (√3/2)² = (√3)²/2² = 3/4.
з) (√3/√6)² = 3/6 = 1/2.
Ответ: а) 7; б) 26; в) −28; г) 45; д) 4; е) 60; ж) 3/4; з) 1/2.
323. Вычислите: а) 0,49 + 2(√0,4)²; б) (3√11)² − √6400; в) (2√6)² + (−3√2)²; г) −0,1(√120)² − ((1/2)√20)².
а) 0,49 + 2 · 0,4 = 0,49 + 0,8 = 1,29.
б) (3√11)² = 9 · 11 = 99; √6400 = 80; 99 − 80 = 19.
в) (2√6)² = 4 · 6 = 24; (−3√2)² = 9 · 2 = 18; 24 + 18 = 42.
г) −0,1 · 120 − (1/4) · 20 = −12 − 5 = −17.
Ответ: а) 1,29; б) 19; в) 42; г) −17.
324. Вычислите: а) (2 − √5)² + 4√5; б) (5 + √3)² − 10√3; в) (2 − √5)² + (2 + √5)²; г) (5 + √3)² + (5 − √3)².
Раскрываем квадраты по формулам сокращённого умножения, (√a)² = a.
а) (2 − √5)² + 4√5 = 4 − 4√5 + 5 + 4√5 = 9.
б) (5 + √3)² − 10√3 = 25 + 10√3 + 3 − 10√3 = 28.
в) (4 − 4√5 + 5) + (4 + 4√5 + 5) = 9 + 9 = 18.
г) (25 + 10√3 + 3) + (25 − 10√3 + 3) = 28 + 28 = 56.
Ответ: а) 9; б) 28; в) 18; г) 56.
325. Найдите значение выражения: а) 2√6 · (−√6); б) −(3√5)²; в) √1,44 − 2(√0,6)²; г) (0,1√70)² + √1,69.
а) 2√6 · (−√6) = −2 · 6 = −12.
б) −(3√5)² = −9 · 5 = −45.
в) √1,44 = 1,2; 2(√0,6)² = 2 · 0,6 = 1,2; 1,2 − 1,2 = 0.
г) (0,1√70)² = 0,01 · 70 = 0,7; √1,69 = 1,3; 0,7 + 1,3 = 2.
Ответ: а) −12; б) −45; в) 0; г) 2.
326. Найдите значение выражения: а) (1 − 1/x)/(1 + 1/x) при x = −0,5; б) 1/(1 + 1/(1 + 1/x)) при x = −0,4.
а) Упростим: (1 − 1/x)/(1 + 1/x) = ((x − 1)/x) : ((x + 1)/x) = (x − 1)/(x + 1). При x = −0,5: (−0,5 − 1)/(−0,5 + 1) = −1,5/0,5 = −3.
б) Упростим снизу вверх: 1 + 1/x = (x + 1)/x; 1/(1 + 1/x) = x/(x + 1); 1 + x/(x + 1) = (2x + 1)/(x + 1); значит, всё выражение равно (x + 1)/(2x + 1). При x = −0,4: (−0,4 + 1)/(−0,8 + 1) = 0,6/0,2 = 3.
Ответ: а) −3; б) 3.
327. Найдите значение выражения: а) (x − |x − 1|)/(x + 2) при x, равном 4; 38; −42; б) (2|3 − x| − 1)/4 при x, равном 2; 11; −6.
а) x = 4: |4 − 1| = 3, (4 − 3)/(4 + 2) = 1/6.
x = 38: |38 − 1| = 37, (38 − 37)/(38 + 2) = 1/40.
x = −42: |−42 − 1| = 43, (−42 − 43)/(−42 + 2) = −85/(−40) = 85/40 = 17/8 = 2 1/8.
б) x = 2: |3 − 2| = 1, (2 · 1 − 1)/4 = 1/4.
x = 11: |3 − 11| = 8, (2 · 8 − 1)/4 = 15/4 = 3 3/4.
x = −6: |3 + 6| = 9, (2 · 9 − 1)/4 = 17/4 = 4 1/4.
Ответ: а) 1/6; 1/40; 2 1/8; б) 1/4; 3 3/4; 4 1/4.