Глава II. §4. п.11 Квадратные корни. Арифметический квадратный корень — с. 73
297. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, найдите: а) √225, √169, √324, √361; б) √1,44, √3,24, √2,56, √2,25; в) √576, √1764, √3721, √7396; г) √7,29, √13,69, √56,25, √77,44.
Находим числа, квадраты которых равны подкоренным выражениям (по таблице квадратов).
а) √225 = 15 (15² = 225); √169 = 13; √324 = 18; √361 = 19.
б) √1,44 = 1,2; √3,24 = 1,8; √2,56 = 1,6; √2,25 = 1,5 (так как 12² = 144, 18² = 324, 16² = 256, 15² = 225, а запятая сдвигается на два знака).
в) √576 = 24; √1764 = 42; √3721 = 61; √7396 = 86.
г) √7,29 = 2,7 (27² = 729); √13,69 = 3,7 (37² = 1369); √56,25 = 7,5 (75² = 5625); √77,44 = 8,8 (88² = 7744).
а) √225 = 15 (15² = 225); √169 = 13; √324 = 18; √361 = 19.
б) √1,44 = 1,2; √3,24 = 1,8; √2,56 = 1,6; √2,25 = 1,5 (так как 12² = 144, 18² = 324, 16² = 256, 15² = 225, а запятая сдвигается на два знака).
в) √576 = 24; √1764 = 42; √3721 = 61; √7396 = 86.
г) √7,29 = 2,7 (27² = 729); √13,69 = 3,7 (37² = 1369); √56,25 = 7,5 (75² = 5625); √77,44 = 8,8 (88² = 7744).
298. Какие из чисел √0,04; √0,025; √0,4; √1,21; √6,4; √0,0036; √0,256; √0,16; √0,000001; √52,9 являются рациональными, а какие — иррациональными?
Корень из положительного числа рационален, если подкоренное число является квадратом рационального числа (записав его несократимой дробью, получаем дробь, у которой числитель и знаменатель — точные квадраты).
√0,04 = 0,2 — рациональное.
√0,025: 0,025 = 1/40, 40 не точный квадрат — иррациональное.
√0,4: 0,4 = 2/5 — иррациональное.
√1,21 = 1,1 — рациональное.
√6,4: 6,4 = 32/5 — иррациональное.
√0,0036 = 0,06 — рациональное.
√0,256: 0,256 = 32/125 — иррациональное.
√0,16 = 0,4 — рациональное.
√0,000001 = 0,001 — рациональное.
√52,9: 52,9 = 529/10, где 529 = 23², но 10 не точный квадрат — иррациональное.
Ответ: рациональные — √0,04; √1,21; √0,0036; √0,16; √0,000001; иррациональные — √0,025; √0,4; √6,4; √0,256; √52,9.
√0,04 = 0,2 — рациональное.
√0,025: 0,025 = 1/40, 40 не точный квадрат — иррациональное.
√0,4: 0,4 = 2/5 — иррациональное.
√1,21 = 1,1 — рациональное.
√6,4: 6,4 = 32/5 — иррациональное.
√0,0036 = 0,06 — рациональное.
√0,256: 0,256 = 32/125 — иррациональное.
√0,16 = 0,4 — рациональное.
√0,000001 = 0,001 — рациональное.
√52,9: 52,9 = 529/10, где 529 = 23², но 10 не точный квадрат — иррациональное.
Ответ: рациональные — √0,04; √1,21; √0,0036; √0,16; √0,000001; иррациональные — √0,025; √0,4; √6,4; √0,256; √52,9.
299. Приведите контрпример для утверждения: а) при любом натуральном значении n значение выражения √(11 − n) является иррациональным числом; б) при любом натуральном значении n значение выражения √(25 − n) является иррациональным числом.
Контрпример — значение n, при котором утверждение неверно, т. е. корень равен рациональному числу.
а) При n = 2: √(11 − 2) = √9 = 3 — рациональное число. (Подходят также n = 7: √4 = 2; n = 10: √1 = 1.)
б) При n = 9: √(25 − 9) = √16 = 4 — рациональное число. (Подходят также n = 16: √9 = 3; n = 21: √4 = 2; n = 24: √1 = 1.)
а) При n = 2: √(11 − 2) = √9 = 3 — рациональное число. (Подходят также n = 7: √4 = 2; n = 10: √1 = 1.)
б) При n = 9: √(25 − 9) = √16 = 4 — рациональное число. (Подходят также n = 16: √9 = 3; n = 21: √4 = 2; n = 24: √1 = 1.)
300. Какая из точек — A или B — координатной прямой ближе к точке с координатой нуль, если: а) A(√15,21), B(−√16); б) A(√(2 7/9)), B(−√(1 13/36))?
Расстояние до нуля равно модулю координаты.
а) √15,21 = 3,9 (3,9² = 15,21), поэтому A(3,9); √16 = 4, B(−4). OA = 3,9, OB = 4. Так как 3,9 < 4, ближе точка A.
б) 2 7/9 = 25/9, √(25/9) = 5/3, A(5/3); 1 13/36 = 49/36, √(49/36) = 7/6, B(−7/6). OA = 5/3 = 10/6, OB = 7/6. Так как 7/6 < 10/6, ближе точка B.
а) √15,21 = 3,9 (3,9² = 15,21), поэтому A(3,9); √16 = 4, B(−4). OA = 3,9, OB = 4. Так как 3,9 < 4, ближе точка A.
б) 2 7/9 = 25/9, √(25/9) = 5/3, A(5/3); 1 13/36 = 49/36, √(49/36) = 7/6, B(−7/6). OA = 5/3 = 10/6, OB = 7/6. Так как 7/6 < 10/6, ближе точка B.
301. Имеет ли смысл выражение: а) √100; б) √−100; в) −√100; г) √((−10)²); д) √((−25) · (−4)); е) √(−25 · 4)?
Выражение √a имеет смысл при a ≥ 0.
а) √100 имеет смысл (= 10).
б) √−100: подкоренное число отрицательно — не имеет смысла.
в) −√100 = −10 — имеет смысл.
г) (−10)² = 100 ≥ 0 — имеет смысл (√100 = 10).
д) (−25) · (−4) = 100 ≥ 0 — имеет смысл.
е) −25 · 4 = −100 < 0 — не имеет смысла.
а) √100 имеет смысл (= 10).
б) √−100: подкоренное число отрицательно — не имеет смысла.
в) −√100 = −10 — имеет смысл.
г) (−10)² = 100 ≥ 0 — имеет смысл (√100 = 10).
д) (−25) · (−4) = 100 ≥ 0 — имеет смысл.
е) −25 · 4 = −100 < 0 — не имеет смысла.
302. Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен 0; 1; 3; 10; 0,6.
Если √a = b, то a = b². Поэтому: √a = 0 → a = 0; √a = 1 → a = 1; √a = 3 → a = 9; √a = 10 → a = 100; √a = 0,6 → a = 0,36.
Ответ: 0; 1; 9; 100; 0,36.
Ответ: 0; 1; 9; 100; 0,36.
303. Найдите значение переменной x, при котором: а) √x = 4; б) √x = 0,5; в) 2√x = 0; г) 4√x = 1; д) √x − 8 = 0; е) 3√x − 2 = 0.
а) x = 4² = 16.
б) x = 0,5² = 0,25.
в) √x = 0, x = 0.
г) √x = 1/4, x = 1/16.
д) √x = 8, x = 64.
е) 3√x = 2, √x = 2/3, x = 4/9.
б) x = 0,5² = 0,25.
в) √x = 0, x = 0.
г) √x = 1/4, x = 1/16.
д) √x = 8, x = 64.
е) 3√x = 2, √x = 2/3, x = 4/9.
304. Существует ли значение переменной x, при котором: а) √x = 0,1; б) √x = −10; в) √x + 1 = 0; г) √x − 3 = 0?
Арифметический квадратный корень неотрицателен.
а) √x = 0,1 → x = 0,01. Существует.
б) √x = −10 — отрицательное число, такого значения нет.
в) √x + 1 = 0 → √x = −1 < 0. Не существует.
г) √x = 3 → x = 9. Существует.
а) √x = 0,1 → x = 0,01. Существует.
б) √x = −10 — отрицательное число, такого значения нет.
в) √x + 1 = 0 → √x = −1 < 0. Не существует.
г) √x = 3 → x = 9. Существует.
305. (Для работы в парах.) При каком значении переменной x верно равенство: а) √x = 11; б) 10√x = 3; в) √x = −20; г) 2√x − 1 = 0; д) 5 − √x = 0; е) 2 + √x = 0?
1. Обсудите, о каких равенствах можно сразу сказать, что они не являются верными ни при каких значениях x. Исключите их из рассмотрения.
2. Распределите, кто выполняет оставшиеся задания из первой строки, а кто — из второй строки, и выполните их.
3. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.
1) Равенства в) √x = −20 и е) 2 + √x = 0 (т. е. √x = −2) неверны ни при каких x, так как арифметический корень не может быть отрицательным.
2) Остальные:
а) √x = 11, x = 121.
б) √x = 0,3, x = 0,09.
г) √x = 1/2, x = 1/4.
д) √x = 5, x = 25.
3) Проверка: √121 = 11; 10 · √0,09 = 10 · 0,3 = 3; 2 · √0,25 − 1 = 1 − 1 = 0; 5 − √25 = 0 — все равенства верны.
Ответ: а) 121; б) 0,09; в) нет таких x; г) 0,25; д) 25; е) нет таких x.
2) Остальные:
а) √x = 11, x = 121.
б) √x = 0,3, x = 0,09.
г) √x = 1/2, x = 1/4.
д) √x = 5, x = 25.
3) Проверка: √121 = 11; 10 · √0,09 = 10 · 0,3 = 3; 2 · √0,25 − 1 = 1 − 1 = 0; 5 − √25 = 0 — все равенства верны.
Ответ: а) 121; б) 0,09; в) нет таких x; г) 0,25; д) 25; е) нет таких x.