Глава II. §4. п.10 Действительные числа — с. 70
285. Упростите выражение: а) (1 − 3x²/(1 − x²)) : (x/(x + 1) + 1); б) ((a + b)/b − a/(a + b)) : ((a + b)/a − b/(a + b)); в) (3a² − a + 3)/(a³ − 1) − (a − 1)/(a² + a + 1) + 2/(1 − a); г) (2b/(1 − b) − b) : (3b + 3)/(b − 1); д) (a − x + x²/(a + x)) · (a − x)/a.
а) 1 − 3x²/(1 − x²) = (1 − x² − 3x²)/(1 − x²) = (1 − 4x²)/(1 − x²); x/(x + 1) + 1 = (x + x + 1)/(x + 1) = (2x + 1)/(x + 1).
Делим: (1 − 4x²)/(1 − x²) · (x + 1)/(2x + 1) = (1 − 2x)(1 + 2x)(x + 1)/((1 − x)(1 + x)(2x + 1)) = (1 − 2x)/(1 − x).
б) (a + b)/b − a/(a + b) = ((a + b)² − ab)/(b(a + b)) = (a² + ab + b²)/(b(a + b)); (a + b)/a − b/(a + b) = ((a + b)² − ab)/(a(a + b)) = (a² + ab + b²)/(a(a + b)).
Делим: (a² + ab + b²)/(b(a + b)) · a(a + b)/(a² + ab + b²) = a/b.
в) a³ − 1 = (a − 1)(a² + a + 1); 2/(1 − a) = −2/(a − 1) = −2(a² + a + 1)/(a³ − 1); (a − 1)/(a² + a + 1) = (a − 1)²/(a³ − 1).
Числитель: 3a² − a + 3 − (a² − 2a + 1) − 2a² − 2a − 2 = 3a² − a + 3 − a² + 2a − 1 − 2a² − 2a − 2 = −a.
Получаем −a/(a³ − 1) = a/(1 − a³).
г) 2b/(1 − b) − b = (2b − b + b²)/(1 − b) = b(1 + b)/(1 − b). Делитель: (3b + 3)/(b − 1) = 3(b + 1)/(b − 1).
b(1 + b)/(1 − b) · (b − 1)/(3(b + 1)) = −b/3, так как (b − 1)/(1 − b) = −1.
д) a − x + x²/(a + x) = ((a − x)(a + x) + x²)/(a + x) = (a² − x² + x²)/(a + x) = a²/(a + x).
Умножаем: a²/(a + x) · (a − x)/a = a(a − x)/(a + x).
Делим: (1 − 4x²)/(1 − x²) · (x + 1)/(2x + 1) = (1 − 2x)(1 + 2x)(x + 1)/((1 − x)(1 + x)(2x + 1)) = (1 − 2x)/(1 − x).
б) (a + b)/b − a/(a + b) = ((a + b)² − ab)/(b(a + b)) = (a² + ab + b²)/(b(a + b)); (a + b)/a − b/(a + b) = ((a + b)² − ab)/(a(a + b)) = (a² + ab + b²)/(a(a + b)).
Делим: (a² + ab + b²)/(b(a + b)) · a(a + b)/(a² + ab + b²) = a/b.
в) a³ − 1 = (a − 1)(a² + a + 1); 2/(1 − a) = −2/(a − 1) = −2(a² + a + 1)/(a³ − 1); (a − 1)/(a² + a + 1) = (a − 1)²/(a³ − 1).
Числитель: 3a² − a + 3 − (a² − 2a + 1) − 2a² − 2a − 2 = 3a² − a + 3 − a² + 2a − 1 − 2a² − 2a − 2 = −a.
Получаем −a/(a³ − 1) = a/(1 − a³).
г) 2b/(1 − b) − b = (2b − b + b²)/(1 − b) = b(1 + b)/(1 − b). Делитель: (3b + 3)/(b − 1) = 3(b + 1)/(b − 1).
b(1 + b)/(1 − b) · (b − 1)/(3(b + 1)) = −b/3, так как (b − 1)/(1 − b) = −1.
д) a − x + x²/(a + x) = ((a − x)(a + x) + x²)/(a + x) = (a² − x² + x²)/(a + x) = a²/(a + x).
Умножаем: a²/(a + x) · (a − x)/a = a(a − x)/(a + x).
286. Найдите значение выражения: а) |28x − 8| при x = −2,5; 0; 4; 5; 9,5; б) |6 − 12x| при x = −3; −1; 0; 1; 4; в) |x| + |x − 2| при x = 0,5; 1; 1,5; 2; г) |y − 3| + |y + 3| при y = −6; −5; 5; 6.
а) x = −2,5: |28 · (−2,5) − 8| = |−70 − 8| = 78. x = 0: |−8| = 8. x = 4: |112 − 8| = 104. x = 5: |140 − 8| = 132. x = 9,5: |266 − 8| = 258.
б) x = −3: |6 + 36| = 42. x = −1: |6 + 12| = 18. x = 0: |6| = 6. x = 1: |6 − 12| = 6. x = 4: |6 − 48| = 42.
в) x = 0,5: 0,5 + |−1,5| = 0,5 + 1,5 = 2. x = 1: 1 + 1 = 2. x = 1,5: 1,5 + 0,5 = 2. x = 2: 2 + 0 = 2.
г) y = −6: |−9| + |−3| = 12. y = −5: 8 + 2 = 10. y = 5: 2 + 8 = 10. y = 6: 3 + 9 = 12.
б) x = −3: |6 + 36| = 42. x = −1: |6 + 12| = 18. x = 0: |6| = 6. x = 1: |6 − 12| = 6. x = 4: |6 − 48| = 42.
в) x = 0,5: 0,5 + |−1,5| = 0,5 + 1,5 = 2. x = 1: 1 + 1 = 2. x = 1,5: 1,5 + 0,5 = 2. x = 2: 2 + 0 = 2.
г) y = −6: |−9| + |−3| = 12. y = −5: 8 + 2 = 10. y = 5: 2 + 8 = 10. y = 6: 3 + 9 = 12.
287. Известно, что график функции y = k/x проходит через точку A(4; −0,5). Найдите k и постройте этот график.
Так как точка A(4; −0,5) лежит на графике, её координаты удовлетворяют уравнению: −0,5 = k/4, откуда k = 4 · (−0,5) = −2. Функция y = −2/x.
График — гипербола; так как k < 0, её ветви лежат во второй и четвёртой четвертях. Составим таблицу значений: при x = 1, 2, 4 получаем y = −2; −1; −0,5; при x = −1, −2, −4 получаем y = 2; 1; 0,5. Отмечаем эти точки и соединяем плавными линиями отдельно для x > 0 и для x < 0 (ветви осей не пересекают).
Ответ: k = −2.
График — гипербола; так как k < 0, её ветви лежат во второй и четвёртой четвертях. Составим таблицу значений: при x = 1, 2, 4 получаем y = −2; −1; −0,5; при x = −1, −2, −4 получаем y = 2; 1; 0,5. Отмечаем эти точки и соединяем плавными линиями отдельно для x > 0 и для x < 0 (ветви осей не пересекают).
Ответ: k = −2.
288. При каких значениях a и b графики функций y = x + b и y = ax − 2b пересекаются в точке (3; 1)?
Точка (3; 1) лежит на обоих графиках. Подставим x = 3, y = 1.
В первую функцию: 1 = 3 + b, откуда b = −2.
Во вторую: 1 = 3a − 2b = 3a + 4, откуда 3a = −3, a = −1.
Ответ: a = −1, b = −2.
В первую функцию: 1 = 3 + b, откуда b = −2.
Во вторую: 1 = 3a − 2b = 3a + 4, откуда 3a = −3, a = −1.
Ответ: a = −1, b = −2.