Глава II. §4. п.10 Действительные числа — с. 69
274. Сравните числа: а) 9,835... и 9,847...; б) −1,(27) и −1,272; в) 0,06(3) и 0,0624; г) 2 1/7 и 2,142; д) 1,(375) и 1 3/8; е) −3,(16) и −3 4/25.
а) Десятые равны, сотые: 3 < 4, поэтому 9,835... < 9,847... .
б) −1,(27) = −1,2727... ; модули: 1,2727... > 1,272 (четвёртый знак 7 > 0), значит −1,(27) < −1,272.
в) 0,06(3) = 0,06333... ; 0,0624. Сотые равны (6), тысячные: 3 > 2, поэтому 0,06(3) > 0,0624.
г) 2 1/7 = 2,142857... ; сравниваем с 2,142: четвёртый знак 8 > 0, значит 2 1/7 > 2,142.
д) 1 3/8 = 1,375; 1,(375) = 1,375375... > 1,375, поэтому 1,(375) > 1 3/8.
е) −3 4/25 = −3,16; −3,(16) = −3,1616... ; модули: 3,1616... > 3,16, значит −3,(16) < −3 4/25.
б) −1,(27) = −1,2727... ; модули: 1,2727... > 1,272 (четвёртый знак 7 > 0), значит −1,(27) < −1,272.
в) 0,06(3) = 0,06333... ; 0,0624. Сотые равны (6), тысячные: 3 > 2, поэтому 0,06(3) > 0,0624.
г) 2 1/7 = 2,142857... ; сравниваем с 2,142: четвёртый знак 8 > 0, значит 2 1/7 > 2,142.
д) 1 3/8 = 1,375; 1,(375) = 1,375375... > 1,375, поэтому 1,(375) > 1 3/8.
е) −3 4/25 = −3,16; −3,(16) = −3,1616... ; модули: 3,1616... > 3,16, значит −3,(16) < −3 4/25.
275. Какая из точек — C или D — координатной прямой ближе к точке M, если: а) C(4,514), D(−1,9368...), M(1,304); б) C(−2,4815...), D(11,454), M(4,586).
Расстояние между точками с координатами x₁ и x₂ равно |x₂ − x₁|.
а) MC = 4,514 − 1,304 = 3,21. MD = 1,304 + 1,9368... = 3,2408... . Так как 3,21 < 3,2408..., ближе к M точка C.
б) MC = 4,586 + 2,4815... = 7,0675... . MD = 11,454 − 4,586 = 6,868. Так как 6,868 < 7,0675..., ближе к M точка D.
а) MC = 4,514 − 1,304 = 3,21. MD = 1,304 + 1,9368... = 3,2408... . Так как 3,21 < 3,2408..., ближе к M точка C.
б) MC = 4,586 + 2,4815... = 7,0675... . MD = 11,454 − 4,586 = 6,868. Так как 6,868 < 7,0675..., ближе к M точка D.
276. Расположите в порядке возрастания числа 4,62; 3,(3); −2,75...; −2,63... .
Отрицательные числа меньше положительных. Из отрицательных меньше то, у которого модуль больше: 2,75... > 2,63..., поэтому −2,75... < −2,63... . Из положительных: 3,(3) = 3,333... < 4,62.
Ответ: −2,75...; −2,63...; 3,(3); 4,62.
Ответ: −2,75...; −2,63...; 3,(3); 4,62.
277. Расположите в порядке убывания числа 1,371...; 2,065; 2,056...; 1,(37); −0,078... .
Положительные числа больше отрицательного −0,078... . Среди положительных: 2,065 и 2,056... — у них целые части 2, у остальных 1, поэтому они больше. Сравним 2,065 и 2,056...: сотые 6 > 5, значит 2,065 > 2,056... .
Сравним 1,371... и 1,(37) = 1,3737... : целые части и десятые, сотые (7 и 7) равны, тысячные 1 < 3, значит 1,371... < 1,(37).
Ответ: 2,065; 2,056...; 1,(37); 1,371...; −0,078... .
Сравним 1,371... и 1,(37) = 1,3737... : целые части и десятые, сотые (7 и 7) равны, тысячные 1 < 3, значит 1,371... < 1,(37).
Ответ: 2,065; 2,056...; 1,(37); 1,371...; −0,078... .
278. Какие целые числа расположены между числами: а) −3,168... и 2,734...; б) −5,106... и −1,484...; в) −4,06 и −1,601; г) −1,29 и 0,11?
а) Между −3,168... и 2,734... лежат целые числа −3 (так как −3 > −3,168...), −2, −1, 0, 1, 2.
б) Между −5,106... и −1,484...: −5, −4, −3, −2.
в) Между −4,06 и −1,601: −4, −3, −2.
г) Между −1,29 и 0,11: −1, 0.
б) Между −5,106... и −1,484...: −5, −4, −3, −2.
в) Между −4,06 и −1,601: −4, −3, −2.
г) Между −1,29 и 0,11: −1, 0.
279. Найдите приближённое значение выражения a + b, где a = 1,0539... и b = 2,0610..., округляя предварительно a и b: а) до десятых; б) до сотых; в) до тысячных.
а) a ≈ 1,1; b ≈ 2,1; a + b ≈ 1,1 + 2,1 = 3,2.
б) a ≈ 1,05; b ≈ 2,06; a + b ≈ 1,05 + 2,06 = 3,11.
в) a ≈ 1,054; b ≈ 2,061; a + b ≈ 1,054 + 2,061 = 3,115.
б) a ≈ 1,05; b ≈ 2,06; a + b ≈ 1,05 + 2,06 = 3,11.
в) a ≈ 1,054; b ≈ 2,061; a + b ≈ 1,054 + 2,061 = 3,115.
280. Найдите приближённое значение выражения a − b, где a = 59,678... и b = 43,123..., округляя предварительно a и b: а) до десятых; б) до сотых.
а) a ≈ 59,7; b ≈ 43,1; a − b ≈ 59,7 − 43,1 = 16,6.
б) a ≈ 59,68; b ≈ 43,12; a − b ≈ 59,68 − 43,12 = 16,56.
б) a ≈ 59,68; b ≈ 43,12; a − b ≈ 59,68 − 43,12 = 16,56.
281. Найдите приближённое значение длины окружности, радиус которой равен 4,5 см (число π округлите до сотых).
Длина окружности l = 2πr. При π ≈ 3,14 получаем l ≈ 2 · 3,14 · 4,5 = 28,26 (см).
Ответ: ≈ 28,26 см.
Ответ: ≈ 28,26 см.
282. Найдите приближённое значение площади круга, радиус которого равен 10 м (число π округлите до сотых).
Площадь круга S = πr². При π ≈ 3,14: S ≈ 3,14 · 10² = 3,14 · 100 = 314 (м²).
Ответ: ≈ 314 м².
Ответ: ≈ 314 м².
283. Является ли рациональным или иррациональным числом сумма a + b, где a = 1,323223222... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх двоек и т. д., разделяются тройками) и b = 2,313113111... (группы цифр, состоящие из одной, двух, трёх единиц и т. д., разделяются тройками)?
Запишем числа по знакам после запятой. У a: 3, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, ... ; у b: 3, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, ... .
Складываем поразрядно: на местах троек получаем 3 + 3 = 6, на местах двоек и единиц 2 + 1 = 3. Переносов нет, так как все суммы цифр меньше 10. Получаем a + b = 3,636336333... : после запятой тройки группируются по одной, по две, по три и т. д., а между группами стоят шестёрки.
Так как длина групп троек неограниченно растёт, никакая группа цифр не повторяется с одним и тем же периодом, т. е. дробь непериодическая.
Ответ: a + b — иррациональное число.
Складываем поразрядно: на местах троек получаем 3 + 3 = 6, на местах двоек и единиц 2 + 1 = 3. Переносов нет, так как все суммы цифр меньше 10. Получаем a + b = 3,636336333... : после запятой тройки группируются по одной, по две, по три и т. д., а между группами стоят шестёрки.
Так как длина групп троек неограниченно растёт, никакая группа цифр не повторяется с одним и тем же периодом, т. е. дробь непериодическая.
Ответ: a + b — иррациональное число.
284. Известно, что a², b², a − b — рациональные числа и a ≠ b. Каким числом, рациональным или иррациональным, является сумма a + b?
Так как a² − b² = (a − b)(a + b) и a − b ≠ 0, то a + b = (a² − b²)/(a − b).
Число a² − b² рационально как разность рациональных чисел, a − b — ненулевое рациональное число. Частное рациональных чисел (при ненулевом делителе) рационально.
Ответ: a + b — рациональное число.
Число a² − b² рационально как разность рациональных чисел, a − b — ненулевое рациональное число. Частное рациональных чисел (при ненулевом делителе) рационально.
Ответ: a + b — рациональное число.