Глава I. Дополнительные упражнения к главе I — с. 63
264. Постройте график функции: а) y = (x² − 16)/|x − 4|; б) y = (x² − 25)/(5 + |x|).
а) x² − 16 = (x − 4)(x + 4), функция определена при x ≠ 4.
Если x > 4, то |x − 4| = x − 4 и y = x + 4. Если x < 4, то |x − 4| = −(x − 4) и y = −(x + 4) = −x − 4.
График — два луча: y = x + 4 при x > 4 (начало в выколотой точке (4; 8)) и y = −x − 4 при x < 4 (конец в выколотой точке (4; −8), проходит через (−4; 0) и (0; −4)).
б) Знаменатель 5 + |x| > 0 при всех x, функция определена на всей оси.
При x ≥ 0: |x| = x, y = (x² − 25)/(x + 5) = x − 5.
При x < 0: |x| = −x, y = (x² − 25)/(5 − x) = (x − 5)(x + 5)/(5 − x) = −(x + 5) = −x − 5.
В обоих случаях y = |x| − 5. График получается из графика y = |x| сдвигом на 5 единиц вниз: «уголок» с вершиной (0; −5), пересекающий ось x в точках (−5; 0) и (5; 0).
Если x > 4, то |x − 4| = x − 4 и y = x + 4. Если x < 4, то |x − 4| = −(x − 4) и y = −(x + 4) = −x − 4.
График — два луча: y = x + 4 при x > 4 (начало в выколотой точке (4; 8)) и y = −x − 4 при x < 4 (конец в выколотой точке (4; −8), проходит через (−4; 0) и (0; −4)).
б) Знаменатель 5 + |x| > 0 при всех x, функция определена на всей оси.
При x ≥ 0: |x| = x, y = (x² − 25)/(x + 5) = x − 5.
При x < 0: |x| = −x, y = (x² − 25)/(5 − x) = (x − 5)(x + 5)/(5 − x) = −(x + 5) = −x − 5.
В обоих случаях y = |x| − 5. График получается из графика y = |x| сдвигом на 5 единиц вниз: «уголок» с вершиной (0; −5), пересекающий ось x в точках (−5; 0) и (5; 0).
265. При каких значениях k и b гипербола y = k/x и прямая y = kx + b проходят через точку: а) P(2; 1); б) Q(−2; 3); в) R(−1; 1)?
Подставляем координаты точки сначала в уравнение гиперболы (находим k), затем в уравнение прямой (находим b).
а) P(2; 1): 1 = k/2, k = 2. Затем 1 = 2·2 + b, b = −3.
б) Q(−2; 3): 3 = k/(−2), k = −6. Затем 3 = −6·(−2) + b = 12 + b, b = −9.
в) R(−1; 1): 1 = k/(−1), k = −1. Затем 1 = −1·(−1) + b = 1 + b, b = 0.
Ответ: а) k = 2, b = −3; б) k = −6, b = −9; в) k = −1, b = 0.
а) P(2; 1): 1 = k/2, k = 2. Затем 1 = 2·2 + b, b = −3.
б) Q(−2; 3): 3 = k/(−2), k = −6. Затем 3 = −6·(−2) + b = 12 + b, b = −9.
в) R(−1; 1): 1 = k/(−1), k = −1. Затем 1 = −1·(−1) + b = 1 + b, b = 0.
Ответ: а) k = 2, b = −3; б) k = −6, b = −9; в) k = −1, b = 0.
266. Могут ли графики функций y = k/x (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться: а) только в одной точке; б) только в двух точках; в) в трёх точках?
Абсциссы общих точек — решения уравнения k/x = ax + b при x ≠ 0, то есть ax² + bx − k = 0 (число x = 0 не является корнем, так как k ≠ 0).
Если a = 0, получается bx = k: при b ≠ 0 один корень x = k/b, при b = 0 корней нет. Если a ≠ 0 — квадратное уравнение, у которого не более двух корней.
а) Могут: например, y = 1/x и y = 1 пересекаются только в точке (1; 1); также прямая может быть касательной, например y = −x − 2 касается гиперболы y = 1/x в точке (−1; −1).
б) Могут: например, y = 1/x и y = x пересекаются в точках (1; 1) и (−1; −1).
в) Не могут: уравнение имеет не более двух корней, поэтому общих точек не больше двух.
Если a = 0, получается bx = k: при b ≠ 0 один корень x = k/b, при b = 0 корней нет. Если a ≠ 0 — квадратное уравнение, у которого не более двух корней.
а) Могут: например, y = 1/x и y = 1 пересекаются только в точке (1; 1); также прямая может быть касательной, например y = −x − 2 касается гиперболы y = 1/x в точке (−1; −1).
б) Могут: например, y = 1/x и y = x пересекаются в точках (1; 1) и (−1; −1).
в) Не могут: уравнение имеет не более двух корней, поэтому общих точек не больше двух.
267. Могут ли графики функций y = k/x (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться в двух точках, лежащих: а) в одной четверти; б) в первой и второй четвертях; в) в первой и третьей четвертях?
Две общие точки возможны при a ≠ 0 и положительном дискриминанте уравнения ax² + bx − k = 0. Обе точки лежат на гиперболе y = k/x, поэтому знак ординаты каждой точки совпадает со знаком k/x.
а) Могут. Например, гипербола y = 1/x и прямая через точки (1; 1) и (2; 1/2): y = −x/2 + 3/2. Обе точки в первой четверти (подстановка: 3/2 − 1/2 = 1 и 3/2 − 1 = 1/2).
б) Не могут. Точка первой четверти имеет x > 0, y > 0, значит k = xy > 0. Точка второй четверти имеет x < 0, y > 0, значит k = xy < 0. Одновременно это невозможно.
в) Могут. Например, y = 1/x и y = x пересекаются в точках (1; 1) и (−1; −1) — в первой и третьей четвертях. Вообще при k > 0 обе ветви гиперболы лежат в этих четвертях.
а) Могут. Например, гипербола y = 1/x и прямая через точки (1; 1) и (2; 1/2): y = −x/2 + 3/2. Обе точки в первой четверти (подстановка: 3/2 − 1/2 = 1 и 3/2 − 1 = 1/2).
б) Не могут. Точка первой четверти имеет x > 0, y > 0, значит k = xy > 0. Точка второй четверти имеет x < 0, y > 0, значит k = xy < 0. Одновременно это невозможно.
в) Могут. Например, y = 1/x и y = x пересекаются в точках (1; 1) и (−1; −1) — в первой и третьей четвертях. Вообще при k > 0 обе ветви гиперболы лежат в этих четвертях.