Глава I. Дополнительные упражнения к главе I — с. 61
249. Докажите тождество 1/(p − 2q) + 6q/(4q² − p²) − 2/(p + 2q) = −1/(2p) · ((p² + 4q²)/(p² − 4q²) + 1).
Левая часть. Так как 4q² − p² = −(p − 2q)(p + 2q), общий знаменатель (p − 2q)(p + 2q) = p² − 4q². Числитель: (p + 2q) − 6q − 2(p − 2q) = p + 2q − 6q − 2p + 4q = −p. Левая часть равна −p/(p² − 4q²).
Правая часть: (p² + 4q²)/(p² − 4q²) + 1 = (p² + 4q² + p² − 4q²)/(p² − 4q²) = 2p²/(p² − 4q²). Тогда −1/(2p) · 2p²/(p² − 4q²) = −p/(p² − 4q²).
Части равны, тождество доказано.
Правая часть: (p² + 4q²)/(p² − 4q²) + 1 = (p² + 4q² + p² − 4q²)/(p² − 4q²) = 2p²/(p² − 4q²). Тогда −1/(2p) · 2p²/(p² − 4q²) = −p/(p² − 4q²).
Части равны, тождество доказано.
250. Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так: a³ + b³ + (b(2a³ − b³)/(a³ − b³))³ = (a(a³ + 2b³)/(a³ − b³))³. Докажите его.
Обозначим u = a³, v = b³ и умножим обе части на (u − v)³ (u ≠ v). Нужно доказать равенство (u + v)(u − v)³ + v(2u + v)³ = u(u + 2v)³.
(u − v)³ = u³ − 3u²v + 3uv² − v³, поэтому (u + v)(u − v)³ = u⁴ − 2u³v + 2uv³ − v⁴.
(2u + v)³ = 8u³ + 12u²v + 6uv² + v³, поэтому v(2u + v)³ = 8u³v + 12u²v² + 6uv³ + v⁴.
Сумма: u⁴ + 6u³v + 12u²v² + 8uv³.
Правая часть: u(u + 2v)³ = u(u³ + 6u²v + 12uv² + 8v³) = u⁴ + 6u³v + 12u²v² + 8uv³. Части равны.
Оговорка: в напечатанном условии второе слагаемое в скобке читается как 2a³ − b³; с минусом равенство неверно (при a = 2, b = 1 левая часть 6462/343, правая 8000/343). Верно тождество с 2a³ + b³, оно и доказано.
(u − v)³ = u³ − 3u²v + 3uv² − v³, поэтому (u + v)(u − v)³ = u⁴ − 2u³v + 2uv³ − v⁴.
(2u + v)³ = 8u³ + 12u²v + 6uv² + v³, поэтому v(2u + v)³ = 8u³v + 12u²v² + 6uv³ + v⁴.
Сумма: u⁴ + 6u³v + 12u²v² + 8uv³.
Правая часть: u(u + 2v)³ = u(u³ + 6u²v + 12uv² + 8v³) = u⁴ + 6u³v + 12u²v² + 8uv³. Части равны.
Оговорка: в напечатанном условии второе слагаемое в скобке читается как 2a³ − b³; с минусом равенство неверно (при a = 2, b = 1 левая часть 6462/343, правая 8000/343). Верно тождество с 2a³ + b³, оно и доказано.
251. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения ((3/2)a² − 2ab + (2/3)b²)/((1/4)a² − (1/9)b²) + 6b/((3/4)a + (1/2)b) не зависит от a и b.
Числитель первой дроби: (3/2)a² − 2ab + (2/3)b² = (9a² − 12ab + 4b²)/6 = (3a − 2b)²/6.
Знаменатель: (1/4)a² − (1/9)b² = (9a² − 4b²)/36 = (3a − 2b)(3a + 2b)/36.
Первая дробь: (3a − 2b)²/6 · 36/((3a − 2b)(3a + 2b)) = 6(3a − 2b)/(3a + 2b).
Вторая дробь: (3/4)a + (1/2)b = (3a + 2b)/4, поэтому 6b/((3a + 2b)/4) = 24b/(3a + 2b).
Сумма: (18a − 12b + 24b)/(3a + 2b) = (18a + 12b)/(3a + 2b) = 6(3a + 2b)/(3a + 2b) = 6.
Значение равно 6 и от a и b не зависит.
Знаменатель: (1/4)a² − (1/9)b² = (9a² − 4b²)/36 = (3a − 2b)(3a + 2b)/36.
Первая дробь: (3a − 2b)²/6 · 36/((3a − 2b)(3a + 2b)) = 6(3a − 2b)/(3a + 2b).
Вторая дробь: (3/4)a + (1/2)b = (3a + 2b)/4, поэтому 6b/((3a + 2b)/4) = 24b/(3a + 2b).
Сумма: (18a − 12b + 24b)/(3a + 2b) = (18a + 12b)/(3a + 2b) = 6(3a + 2b)/(3a + 2b) = 6.
Значение равно 6 и от a и b не зависит.
252. Представьте в виде рациональной дроби: а) (x − yz/(y − z))/(y − xz/(x − z)); б) ((a − x)/a + x/(a − x))/((a + x)/a − x/(a + x)); в) 1/(1 + 1/(1 + 1/x)); г) 1/(1 − 1/(1 + 1/x)).
а) Числитель: (x(y − z) − yz)/(y − z) = (xy − xz − yz)/(y − z). Знаменатель: (y(x − z) − xz)/(x − z) = (xy − yz − xz)/(x − z). Числители одинаковы, поэтому частное равно (x − z)/(y − z).
б) Числитель: ((a − x)² + ax)/(a(a − x)) = (a² − ax + x²)/(a(a − x)). Знаменатель: ((a + x)² − ax)/(a(a + x)) = (a² + ax + x²)/(a(a + x)). Частное: (a² − ax + x²)(a + x)/((a − x)(a² + ax + x²)) = (a³ + x³)/(a³ − x³).
в) 1 + 1/x = (x + 1)/x; 1/((x + 1)/x) = x/(x + 1); 1 + x/(x + 1) = (2x + 1)/(x + 1); дробь равна (x + 1)/(2x + 1).
г) 1 + 1/x = (x + 1)/x; 1/(...) = x/(x + 1); 1 − x/(x + 1) = 1/(x + 1); дробь равна x + 1.
б) Числитель: ((a − x)² + ax)/(a(a − x)) = (a² − ax + x²)/(a(a − x)). Знаменатель: ((a + x)² − ax)/(a(a + x)) = (a² + ax + x²)/(a(a + x)). Частное: (a² − ax + x²)(a + x)/((a − x)(a² + ax + x²)) = (a³ + x³)/(a³ − x³).
в) 1 + 1/x = (x + 1)/x; 1/((x + 1)/x) = x/(x + 1); 1 + x/(x + 1) = (2x + 1)/(x + 1); дробь равна (x + 1)/(2x + 1).
г) 1 + 1/x = (x + 1)/x; 1/(...) = x/(x + 1); 1 − x/(x + 1) = 1/(x + 1); дробь равна x + 1.
253. При каких значениях x имеет смысл выражение: а) (1/(x − 2) + x/(x + 2))/(3x/(x² − 4)); б) 1/(1 − 1/(1 − 1/x))?
а) Должны быть определены внутренние дроби: x − 2 ≠ 0 и x + 2 ≠ 0, то есть x ≠ ±2 (тогда и x² − 4 ≠ 0). Делитель 3x/(x² − 4) не должен быть равен нулю: x ≠ 0.
Ответ: все числа, кроме −2, 0 и 2.
б) x ≠ 0. Далее 1 − 1/x ≠ 0, то есть x ≠ 1. При этих x 1/(1 − 1/x) = x/(x − 1), и 1 − x/(x − 1) = −1/(x − 1) никогда не равно нулю, поэтому других ограничений нет.
Ответ: все числа, кроме 0 и 1.
Ответ: все числа, кроме −2, 0 и 2.
б) x ≠ 0. Далее 1 − 1/x ≠ 0, то есть x ≠ 1. При этих x 1/(1 − 1/x) = x/(x − 1), и 1 − x/(x − 1) = −1/(x − 1) никогда не равно нулю, поэтому других ограничений нет.
Ответ: все числа, кроме 0 и 1.
254. Три вязальщицы получили одинаковые заказы на изготовление салфеток. Первая из них может выполнить заказ за 8 ч, вторая — за 9 ч, а их ученица — за 12 ч. Они объединили заказы и стали выполнять их совместно. Через сколько часов работа была закончена?
Примем один заказ за 1. Производительности: 1/8, 1/9 и 1/12 заказа в час. Вместе за час они выполняют 1/8 + 1/9 + 1/12 = (9 + 8 + 6)/72 = 23/72 заказа.
Объём объединённой работы — три заказа. Пусть работа закончена через t ч, тогда (23/72)t = 3, t = 216/23 = 9 9/23 ≈ 9,4.
Ответ: примерно через 9,4 ч.
Объём объединённой работы — три заказа. Пусть работа закончена через t ч, тогда (23/72)t = 3, t = 216/23 = 9 9/23 ≈ 9,4.
Ответ: примерно через 9,4 ч.
255. Автомобиль проехал от пункта A до пункта B. До пункта C, находящегося в середине пути, он ехал со скоростью 60 км/ч, а далее из C в B — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути следования.
Пусть AC = CB = s км, весь путь 2s. Время на AC: s/60 ч, на CB: s/80 ч. Всё время: s/60 + s/80 = (4s + 3s)/240 = 7s/240.
Средняя скорость: 2s : (7s/240) = 480/7 ≈ 68,6 км/ч.
Ответ: примерно 68,6 км/ч.
Средняя скорость: 2s : (7s/240) = 480/7 ≈ 68,6 км/ч.
Ответ: примерно 68,6 км/ч.