Глава I. Дополнительные упражнения к главе I — с. 59
235. Упростите выражение: а) 5/(y − 3) + 1/(y + 3) − (4y − 18)/(y² − 9); б) 2a/(2a + 3) + 5/(3 − 2a) − (4a² + 9)/(4a² − 9); в) 4m/(4m² − 1) − (2m + 1)/(6m − 3) + (2m − 1)/(4m + 2); г) 1/(x + y)² − 2/(x² − y²) + 1/(x − y)²; д) (4a² + 3a + 2)/(a³ − 1) − (1 − 2a)/(a² + a + 1); е) (x − y)/(x² + xy + y²) − 3xy/(x³ − y³) + 1/(x − y).
а) Общий знаменатель y² − 9: (5(y + 3) + (y − 3) − (4y − 18))/(y² − 9) = (5y + 15 + y − 3 − 4y + 18)/(y² − 9) = (2y + 30)/(y² − 9).
б) 5/(3 − 2a) = −5/(2a − 3), знаменатель 4a² − 9 = (2a − 3)(2a + 3). Числитель: 2a(2a − 3) − 5(2a + 3) − (4a² + 9) = 4a² − 6a − 10a − 15 − 4a² − 9 = −16a − 24 = −8(2a + 3). Дробь −8(2a + 3)/((2a − 3)(2a + 3)) = −8/(2a − 3) = 8/(3 − 2a).
в) 6m − 3 = 3(2m − 1), 4m + 2 = 2(2m + 1), общий знаменатель 6(2m − 1)(2m + 1). Числитель: 24m − 2(2m + 1)² + 3(2m − 1)² = 24m − 8m² − 8m − 2 + 12m² − 12m + 3 = 4m² + 4m + 1 = (2m + 1)². Дробь (2m + 1)²/(6(2m − 1)(2m + 1)) = (2m + 1)/(6(2m − 1)) = (2m + 1)/(12m − 6).
г) Общий знаменатель (x² − y²)². Числитель: (x − y)² − 2(x + y)(x − y) + (x + y)² = ((x + y) − (x − y))² = (2y)² = 4y². Ответ: 4y²/(x² − y²)².
д) a³ − 1 = (a − 1)(a² + a + 1), дополнительный множитель ко второй дроби a − 1. Числитель: 4a² + 3a + 2 − (1 − 2a)(a − 1) = 4a² + 3a + 2 − (−2a² + 3a − 1) = 6a² + 3. Ответ: (6a² + 3)/(a³ − 1).
е) Общий знаменатель x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²). Числитель: (x − y)² − 3xy + (x² + xy + y²) = x² − 2xy + y² − 3xy + x² + xy + y² = 2x² − 4xy + 2y² = 2(x − y)². Дробь 2(x − y)²/((x − y)(x² + xy + y²)) = 2(x − y)/(x² + xy + y²).
б) 5/(3 − 2a) = −5/(2a − 3), знаменатель 4a² − 9 = (2a − 3)(2a + 3). Числитель: 2a(2a − 3) − 5(2a + 3) − (4a² + 9) = 4a² − 6a − 10a − 15 − 4a² − 9 = −16a − 24 = −8(2a + 3). Дробь −8(2a + 3)/((2a − 3)(2a + 3)) = −8/(2a − 3) = 8/(3 − 2a).
в) 6m − 3 = 3(2m − 1), 4m + 2 = 2(2m + 1), общий знаменатель 6(2m − 1)(2m + 1). Числитель: 24m − 2(2m + 1)² + 3(2m − 1)² = 24m − 8m² − 8m − 2 + 12m² − 12m + 3 = 4m² + 4m + 1 = (2m + 1)². Дробь (2m + 1)²/(6(2m − 1)(2m + 1)) = (2m + 1)/(6(2m − 1)) = (2m + 1)/(12m − 6).
г) Общий знаменатель (x² − y²)². Числитель: (x − y)² − 2(x + y)(x − y) + (x + y)² = ((x + y) − (x − y))² = (2y)² = 4y². Ответ: 4y²/(x² − y²)².
д) a³ − 1 = (a − 1)(a² + a + 1), дополнительный множитель ко второй дроби a − 1. Числитель: 4a² + 3a + 2 − (1 − 2a)(a − 1) = 4a² + 3a + 2 − (−2a² + 3a − 1) = 6a² + 3. Ответ: (6a² + 3)/(a³ − 1).
е) Общий знаменатель x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²). Числитель: (x − y)² − 3xy + (x² + xy + y²) = x² − 2xy + y² − 3xy + x² + xy + y² = 2x² − 4xy + 2y² = 2(x − y)². Дробь 2(x − y)²/((x − y)(x² + xy + y²)) = 2(x − y)/(x² + xy + y²).
236. Докажите, что тождественно равны выражения (ax + by)/((a − b)(x + y)) − (bx − ay)/((a + b)(x + y)) и (a² + b²)/(a² − b²).
Приведём разность к общему знаменателю (a − b)(a + b)(x + y) = (a² − b²)(x + y). Числитель:
(ax + by)(a + b) − (bx − ay)(a − b) = (a²x + abx + aby + b²y) − (abx − b²x − a²y + aby) = a²x + abx + aby + b²y − abx + b²x + a²y − aby = a²x + b²x + a²y + b²y = (a² + b²)(x + y).
Получаем (a² + b²)(x + y)/((a² − b²)(x + y)) = (a² + b²)/(a² − b²). Выражения тождественно равны.
(ax + by)(a + b) − (bx − ay)(a − b) = (a²x + abx + aby + b²y) − (abx − b²x − a²y + aby) = a²x + abx + aby + b²y − abx + b²x + a²y − aby = a²x + b²x + a²y + b²y = (a² + b²)(x + y).
Получаем (a² + b²)(x + y)/((a² − b²)(x + y)) = (a² + b²)/(a² − b²). Выражения тождественно равны.
237. Упростите выражение: а) 1/(a(a − b)(a − c)) + 1/(b(b − c)(b − a)) + 1/(c(c − a)(c − b)); б) x²/((x − y)(x − z)) + y²/((y − x)(y − z)) + z²/((z − x)(z − y)).
а) Обозначим D = (a − b)(b − c)(c − a). Приведём знаменатели к виду с D: (a − b)(a − c) = −(a − b)(c − a), и 1/((a − b)(c − a)) = (b − c)/D. Аналогично для остальных. Итого: первая дробь = −(b − c)/(aD), вторая = −(c − a)/(bD), третья = −(a − b)/(cD).
Сумма = −(1/D)·((b − c)/a + (c − a)/b + (a − b)/c) = −(bc(b − c) + ca(c − a) + ab(a − b))/(abcD).
Известное разложение: ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a) = −(a − b)(b − c)(c − a) = −D (проверяется раскрытием скобок). Поэтому сумма = −(−D)/(abcD) = 1/(abc).
Ответ: 1/(abc).
б) Аналогично, с D = (x − y)(y − z)(z − x): первая дробь = −x²(y − z)/D, вторая = −y²(z − x)/D, третья = −z²(x − y)/D. Сумма = −(x²(y − z) + y²(z − x) + z²(x − y))/D. Известно, что x²(y − z) + y²(z − x) + z²(x − y) = −(x − y)(y − z)(z − x) = −D, откуда сумма равна 1.
Ответ: 1.
Оговорка: результаты проверены подстановкой чисел и совпадают с ответами учебника.
Сумма = −(1/D)·((b − c)/a + (c − a)/b + (a − b)/c) = −(bc(b − c) + ca(c − a) + ab(a − b))/(abcD).
Известное разложение: ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a) = −(a − b)(b − c)(c − a) = −D (проверяется раскрытием скобок). Поэтому сумма = −(−D)/(abcD) = 1/(abc).
Ответ: 1/(abc).
б) Аналогично, с D = (x − y)(y − z)(z − x): первая дробь = −x²(y − z)/D, вторая = −y²(z − x)/D, третья = −z²(x − y)/D. Сумма = −(x²(y − z) + y²(z − x) + z²(x − y))/D. Известно, что x²(y − z) + y²(z − x) + z²(x − y) = −(x − y)(y − z)(z − x) = −D, откуда сумма равна 1.
Ответ: 1.
Оговорка: результаты проверены подстановкой чисел и совпадают с ответами учебника.
238. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби: а) (x² − 3x + 6)/(x − 3); б) (y² + 5y − 8)/(y + 5); в) (a² + 7a + 2)/(a + 6); г) (3b² − 10b − 1)/(b − 3).
Выделяем целую часть делением числителя на знаменатель.
а) x² − 3x + 6 = x(x − 3) + 6, дробь равна x + 6/(x − 3).
б) y² + 5y − 8 = y(y + 5) − 8, дробь равна y − 8/(y + 5).
в) a² + 7a + 2 = (a + 6)(a + 1) − 4, так как (a + 6)(a + 1) = a² + 7a + 6. Дробь равна a + 1 − 4/(a + 6).
г) (b − 3)(3b − 1) = 3b² − 10b + 3, поэтому 3b² − 10b − 1 = (b − 3)(3b − 1) − 4. Дробь равна 3b − 1 − 4/(b − 3).
а) x² − 3x + 6 = x(x − 3) + 6, дробь равна x + 6/(x − 3).
б) y² + 5y − 8 = y(y + 5) − 8, дробь равна y − 8/(y + 5).
в) a² + 7a + 2 = (a + 6)(a + 1) − 4, так как (a + 6)(a + 1) = a² + 7a + 6. Дробь равна a + 1 − 4/(a + 6).
г) (b − 3)(3b − 1) = 3b² − 10b + 3, поэтому 3b² − 10b − 1 = (b − 3)(3b − 1) − 4. Дробь равна 3b − 1 − 4/(b − 3).
239. При каком значении a тождественно равны выражения: а) 2x/(x + 3) и 2 + a/(x + 3); б) x/(x − 5) и 1 + a/(x − 5); в) 2x/(3 − x) и a/(3 − x) − 2; г) (x + 2)/(5 − x) и a/(5 − x) − 1?
Умножим каждое равенство на знаменатель и сравним числители.
а) 2x = 2(x + 3) + a = 2x + 6 + a, откуда a = −6.
б) x = (x − 5) + a, откуда a = 5.
в) 2x = a − 2(3 − x) = a − 6 + 2x, откуда a = 6.
г) x + 2 = a − (5 − x) = a − 5 + x, откуда a = 7.
Ответ: а) a = −6; б) a = 5; в) a = 6; г) a = 7.
а) 2x = 2(x + 3) + a = 2x + 6 + a, откуда a = −6.
б) x = (x − 5) + a, откуда a = 5.
в) 2x = a − 2(3 − x) = a − 6 + 2x, откуда a = 6.
г) x + 2 = a − (5 − x) = a − 5 + x, откуда a = 7.
Ответ: а) a = −6; б) a = 5; в) a = 6; г) a = 7.
240. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби: а) 5x/(x + 2); б) −2x/(x − 1); в) 2x/(5 − x); г) (x − 3)/(2 − x).
а) 5x = 5(x + 2) − 10, дробь равна 5 − 10/(x + 2).
б) −2x = −2(x − 1) − 2, дробь равна −2 − 2/(x − 1).
в) 2x = −2(5 − x) + 10, дробь равна −2 + 10/(5 − x).
г) x − 3 = −(2 − x) − 1, дробь равна −1 − 1/(2 − x).
б) −2x = −2(x − 1) − 2, дробь равна −2 − 2/(x − 1).
в) 2x = −2(5 − x) + 10, дробь равна −2 + 10/(5 − x).
г) x − 3 = −(2 − x) − 1, дробь равна −1 − 1/(2 − x).
241. При каких целых n значение дроби является целым числом: а) (5n² + 2n + 3)/n; б) (n − 3)²/n; в) 3n/(n + 2); г) 7n/(n − 4)?
а) Дробь равна 5n + 2 + 3/n. Целое значение, если n делит 3: n = ±1, ±3.
б) (n − 3)²/n = n − 6 + 9/n. Нужно, чтобы n делило 9: n = ±1, ±3, ±9.
в) 3n/(n + 2) = 3 − 6/(n + 2). n + 2 делит 6: n + 2 = ±1, ±2, ±3, ±6, откуда n = −1, −3, 0, −4, 1, −5, 4, −8.
г) 7n/(n − 4) = 7 + 28/(n − 4). n − 4 делит 28: n − 4 = ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, ±28, откуда n = 5, 3, 6, 2, 8, 0, 11, −3, 18, −10, 32, −24.
б) (n − 3)²/n = n − 6 + 9/n. Нужно, чтобы n делило 9: n = ±1, ±3, ±9.
в) 3n/(n + 2) = 3 − 6/(n + 2). n + 2 делит 6: n + 2 = ±1, ±2, ±3, ±6, откуда n = −1, −3, 0, −4, 1, −5, 4, −8.
г) 7n/(n − 4) = 7 + 28/(n − 4). n − 4 делит 28: n − 4 = ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, ±28, откуда n = 5, 3, 6, 2, 8, 0, 11, −3, 18, −10, 32, −24.
242. Найдите такие значения a и b, при которых выполняется тождество: а) 5x/((x − 2)(x + 3)) = a/(x − 2) + b/(x + 3); б) (5x + 31)/((x − 5)(x + 2)) = a/(x − 5) − b/(x + 2).
а) Правая часть: (a(x + 3) + b(x − 2))/((x − 2)(x + 3)) = ((a + b)x + 3a − 2b)/((x − 2)(x + 3)). Приравниваем числители: a + b = 5, 3a − 2b = 0. Из первого a = 5 − b, 15 − 3b − 2b = 0, b = 3, a = 2.
б) Правая часть: (a(x + 2) − b(x − 5))/((x − 5)(x + 2)) = ((a − b)x + 2a + 5b)/((x − 5)(x + 2)). Приравниваем: a − b = 5, 2a + 5b = 31. Тогда a = b + 5, 2b + 10 + 5b = 31, b = 3, a = 8.
Ответ: а) a = 2, b = 3; б) a = 8, b = 3.
б) Правая часть: (a(x + 2) − b(x − 5))/((x − 5)(x + 2)) = ((a − b)x + 2a + 5b)/((x − 5)(x + 2)). Приравниваем: a − b = 5, 2a + 5b = 31. Тогда a = b + 5, 2b + 10 + 5b = 31, b = 3, a = 8.
Ответ: а) a = 2, b = 3; б) a = 8, b = 3.