Глава I. Дополнительные упражнения к главе I — с. 57
219. Сократите дробь: а) (a² − 4a + 4)/(a² + ab − 2a − 2b); б) (6x² − 3xy + 4x − 2y)/(9x² + 12x + 4); в) (a² + 4ab + 4b²)/(a³ + 8b³); г) (27x³ − y³)/(18x² + 6xy + 2y²).
а) Числитель (a − 2)². Знаменатель a(a + b) − 2(a + b) = (a − 2)(a + b). Дробь равна (a − 2)/(a + b).
б) Числитель 3x(2x − y) + 2(2x − y) = (3x + 2)(2x − y). Знаменатель (3x + 2)². Дробь равна (2x − y)/(3x + 2).
в) Числитель (a + 2b)², знаменатель a³ + 8b³ = (a + 2b)(a² − 2ab + 4b²). Дробь равна (a + 2b)/(a² − 2ab + 4b²).
г) Числитель 27x³ − y³ = (3x − y)(9x² + 3xy + y²), знаменатель 2(9x² + 3xy + y²). Дробь равна (3x − y)/2.
б) Числитель 3x(2x − y) + 2(2x − y) = (3x + 2)(2x − y). Знаменатель (3x + 2)². Дробь равна (2x − y)/(3x + 2).
в) Числитель (a + 2b)², знаменатель a³ + 8b³ = (a + 2b)(a² − 2ab + 4b²). Дробь равна (a + 2b)/(a² − 2ab + 4b²).
г) Числитель 27x³ − y³ = (3x − y)(9x² + 3xy + y²), знаменатель 2(9x² + 3xy + y²). Дробь равна (3x − y)/2.
220. Выполните сокращение: а) (b^14 − b⁷ + 1)/(b^21 + 1); б) (x^33 − 1)/(x^33 + x^22 + x^11); в) (x(y − z) − y(x − z))/(x(y − z)² − y(x − z)²); г) (a(b + 1)² − b(a + 1)²)/(a(b + 1) − b(a + 1)).
а) b^21 + 1 = (b⁷)³ + 1 = (b⁷ + 1)(b^14 − b⁷ + 1). Дробь равна 1/(b⁷ + 1).
б) Знаменатель x^11(x^22 + x^11 + 1), числитель (x^11)³ − 1 = (x^11 − 1)(x^22 + x^11 + 1). Дробь равна (x^11 − 1)/x^11.
в) Числитель: xy − xz − xy + yz = z(y − x). Знаменатель: x(y² − 2yz + z²) − y(x² − 2xz + z²) = xy² − x²y + z²(x − y) = xy(y − x) − z²(y − x) = (y − x)(xy − z²). Дробь равна z/(xy − z²).
г) Числитель: ab² + 2ab + a − a²b − 2ab − b = ab(b − a) + (a − b) = (a − b)(1 − ab). Знаменатель: ab + a − ab − b = a − b. Дробь равна 1 − ab.
б) Знаменатель x^11(x^22 + x^11 + 1), числитель (x^11)³ − 1 = (x^11 − 1)(x^22 + x^11 + 1). Дробь равна (x^11 − 1)/x^11.
в) Числитель: xy − xz − xy + yz = z(y − x). Знаменатель: x(y² − 2yz + z²) − y(x² − 2xz + z²) = xy² − x²y + z²(x − y) = xy(y − x) − z²(y − x) = (y − x)(xy − z²). Дробь равна z/(xy − z²).
г) Числитель: ab² + 2ab + a − a²b − 2ab − b = ab(b − a) + (a − b) = (a − b)(1 − ab). Знаменатель: ab + a − ab − b = a − b. Дробь равна 1 − ab.
221. Докажите, что если в дроби (x² − 2y²)/(3y² + 5xy) переменные x и y заменить соответственно на kx и ky, где k ≠ 0, то получится дробь, тождественно равная первоначальной.
После замены получаем ((kx)² − 2(ky)²)/(3(ky)² + 5(kx)(ky)) = (k²x² − 2k²y²)/(3k²y² + 5k²xy) = k²(x² − 2y²)/(k²(3y² + 5xy)).
Так как k ≠ 0, множитель k² можно сократить, и получится (x² − 2y²)/(3y² + 5xy) — исходная дробь. Что и требовалось доказать.
Так как k ≠ 0, множитель k² можно сократить, и получится (x² − 2y²)/(3y² + 5xy) — исходная дробь. Что и требовалось доказать.
222. Известно, что a − b = 9. Найдите значение дроби: а) 36/(a − b)²; б) 108/(b − a)²; в) (5a − 5b)²/45; г) (a² + ab + b²)/(a³ − b³).
а) 36/9² = 36/81 = 4/9.
б) (b − a)² = (a − b)² = 81, 108/81 = 4/3 = 1 1/3.
в) (5a − 5b)² = 25(a − b)² = 25·81, 25·81/45 = 45.
г) a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), поэтому дробь равна 1/(a − b) = 1/9.
Ответ: а) 4/9; б) 1 1/3; в) 45; г) 1/9.
б) (b − a)² = (a − b)² = 81, 108/81 = 4/3 = 1 1/3.
в) (5a − 5b)² = 25(a − b)² = 25·81, 25·81/45 = 45.
г) a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), поэтому дробь равна 1/(a − b) = 1/9.
Ответ: а) 4/9; б) 1 1/3; в) 45; г) 1/9.
223. Докажите, что если a/b = b/c = c/a, то a = b = c.
Обозначим общее значение отношений k: a/b = b/c = c/a = k. Перемножим три равенства: (a/b)(b/c)(c/a) = k³. Левая часть равна 1, значит k³ = 1, а так как k — действительное число, k = 1.
Тогда a/b = 1, то есть a = b, и b/c = 1, то есть b = c. Следовательно, a = b = c. Что и требовалось доказать.
Тогда a/b = 1, то есть a = b, и b/c = 1, то есть b = c. Следовательно, a = b = c. Что и требовалось доказать.
224. Упростите выражение: а) (x² − 2x)/(x − 3) − (4x − 9)/(x − 3); б) (y² − 10)/(y − 8) − 54/(y − 8); в) a²/(a² − b²) + b²/(b² − a²); г) (x² − 2x)/(x² − y²) − (2y − y²)/(y² − x²).
а) (x² − 2x − 4x + 9)/(x − 3) = (x² − 6x + 9)/(x − 3) = (x − 3)²/(x − 3) = x − 3.
б) (y² − 10 − 54)/(y − 8) = (y² − 64)/(y − 8) = y + 8.
в) b² − a² = −(a² − b²), поэтому b²/(b² − a²) = −b²/(a² − b²). Сумма: (a² − b²)/(a² − b²) = 1.
г) Так как y² − x² = −(x² − y²), вычитаемое −(2y − y²)/(y² − x²) = (2y − y²)/(x² − y²). Получаем (x² − 2x + 2y − y²)/(x² − y²) = ((x − y)(x + y) − 2(x − y))/((x − y)(x + y)) = (x − y)(x + y − 2)/((x − y)(x + y)) = (x + y − 2)/(x + y).
б) (y² − 10 − 54)/(y − 8) = (y² − 64)/(y − 8) = y + 8.
в) b² − a² = −(a² − b²), поэтому b²/(b² − a²) = −b²/(a² − b²). Сумма: (a² − b²)/(a² − b²) = 1.
г) Так как y² − x² = −(x² − y²), вычитаемое −(2y − y²)/(y² − x²) = (2y − y²)/(x² − y²). Получаем (x² − 2x + 2y − y²)/(x² − y²) = ((x − y)(x + y) − 2(x − y))/((x − y)(x + y)) = (x − y)(x + y − 2)/((x − y)(x + y)) = (x + y − 2)/(x + y).
225. Докажите, что данное выражение тождественно равно многочлену: а) (y − b)²/(y − b + 1) + (y − b)/(y − b + 1); б) (a + x)²/(a + x − 2) − (2a + 2x)/(a + x − 2); в) (x² − y²)/(x − y − 1) + (x + y)/(y − x + 1); г) (b² − 9c²)/(b + 3c − 2) + 2(b − 3c)/(2 − b − 3c).
а) ((y − b)² + (y − b))/(y − b + 1) = (y − b)(y − b + 1)/(y − b + 1) = y − b.
б) ((a + x)² − 2(a + x))/(a + x − 2) = (a + x)(a + x − 2)/(a + x − 2) = a + x.
в) y − x + 1 = −(x − y − 1), поэтому второе слагаемое равно −(x + y)/(x − y − 1). Сумма: ((x² − y²) − (x + y))/(x − y − 1) = (x + y)(x − y − 1)/(x − y − 1) = x + y.
г) 2 − b − 3c = −(b + 3c − 2), второе слагаемое равно −2(b − 3c)/(b + 3c − 2). Сумма: (b² − 9c² − 2(b − 3c))/(b + 3c − 2) = (b − 3c)(b + 3c − 2)/(b + 3c − 2) = b − 3c.
Во всех случаях получен многочлен (при допустимых значениях переменных).
б) ((a + x)² − 2(a + x))/(a + x − 2) = (a + x)(a + x − 2)/(a + x − 2) = a + x.
в) y − x + 1 = −(x − y − 1), поэтому второе слагаемое равно −(x + y)/(x − y − 1). Сумма: ((x² − y²) − (x + y))/(x − y − 1) = (x + y)(x − y − 1)/(x − y − 1) = x + y.
г) 2 − b − 3c = −(b + 3c − 2), второе слагаемое равно −2(b − 3c)/(b + 3c − 2). Сумма: (b² − 9c² − 2(b − 3c))/(b + 3c − 2) = (b − 3c)(b + 3c − 2)/(b + 3c − 2) = b − 3c.
Во всех случаях получен многочлен (при допустимых значениях переменных).
226. Докажите, что если правильная обыкновенная дробь a/b несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.
Дробь, дополняющая a/b до единицы, равна 1 − a/b = (b − a)/b.
Допустим, она сократима: тогда есть натуральное число d > 1, на которое делятся и b − a, и b. Но тогда делится на d и разность b − (b − a) = a. Значит, d — общий делитель a и b, больше 1, а это противоречит несократимости дроби a/b.
Следовательно, (b − a)/b несократима. Что и требовалось доказать.
Допустим, она сократима: тогда есть натуральное число d > 1, на которое делятся и b − a, и b. Но тогда делится на d и разность b − (b − a) = a. Значит, d — общий делитель a и b, больше 1, а это противоречит несократимости дроби a/b.
Следовательно, (b − a)/b несократима. Что и требовалось доказать.