Глава I. §3. п.9 Представление дроби в виде суммы дробей — с. 55
201. При каких значениях a и b равенство 6x/((x − 1)(x − 2)) = a/(x − 1) + b/(x − 2) является тождеством?
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a/(x − 1) + b/(x − 2) = (a(x − 2) + b(x − 1))/((x − 1)(x − 2)) = ((a + b)x − (2a + b))/((x − 1)(x − 2)).
Равенство будет тождеством, если числители равны при всех x: (a + b)x − (2a + b) = 6x. Значит, a + b = 6 и 2a + b = 0.
Вычтем из второго уравнения первое: a = −6, тогда b = 6 − a = 12.
Проверка: −6(x − 2) + 12(x − 1) = 6x, верно.
Ответ: a = −6, b = 12.
a/(x − 1) + b/(x − 2) = (a(x − 2) + b(x − 1))/((x − 1)(x − 2)) = ((a + b)x − (2a + b))/((x − 1)(x − 2)).
Равенство будет тождеством, если числители равны при всех x: (a + b)x − (2a + b) = 6x. Значит, a + b = 6 и 2a + b = 0.
Вычтем из второго уравнения первое: a = −6, тогда b = 6 − a = 12.
Проверка: −6(x − 2) + 12(x − 1) = 6x, верно.
Ответ: a = −6, b = 12.
202. Представьте дробь (5x − 1)/((x + 4)(x − 2)) в виде суммы двух дробей со знаменателями x + 4 и x − 2.
Запишем (5x − 1)/((x + 4)(x − 2)) = a/(x + 4) + b/(x − 2) = (a(x − 2) + b(x + 4))/((x + 4)(x − 2)) = ((a + b)x + (4b − 2a))/((x + 4)(x − 2)).
Приравниваем коэффициенты числителей: a + b = 5, 4b − 2a = −1.
Из первого a = 5 − b. Подставим: 4b − 10 + 2b = −1, 6b = 9, b = 3/2, a = 7/2.
Проверка: (7/2)(x − 2) + (3/2)(x + 4) = 5x − 7 + 6 = 5x − 1.
Ответ: (5x − 1)/((x + 4)(x − 2)) = 7/(2(x + 4)) + 3/(2(x − 2)).
Приравниваем коэффициенты числителей: a + b = 5, 4b − 2a = −1.
Из первого a = 5 − b. Подставим: 4b − 10 + 2b = −1, 6b = 9, b = 3/2, a = 7/2.
Проверка: (7/2)(x − 2) + (3/2)(x + 4) = 5x − 7 + 6 = 5x − 1.
Ответ: (5x − 1)/((x + 4)(x − 2)) = 7/(2(x + 4)) + 3/(2(x − 2)).
203. Представьте дробь (4x + 3)/(x² − 1) в виде суммы двух дробей со знаменателями x − 1 и x + 1.
Так как x² − 1 = (x − 1)(x + 1), запишем (4x + 3)/(x² − 1) = a/(x − 1) + b/(x + 1) = ((a + b)x + (a − b))/(x² − 1).
Отсюда a + b = 4, a − b = 3. Сложив, получаем 2a = 7, a = 7/2, тогда b = 1/2.
Проверка: (7/2)(x + 1) + (1/2)(x − 1) = 4x + 3.
Ответ: (4x + 3)/(x² − 1) = 7/(2(x − 1)) + 1/(2(x + 1)).
Отсюда a + b = 4, a − b = 3. Сложив, получаем 2a = 7, a = 7/2, тогда b = 1/2.
Проверка: (7/2)(x + 1) + (1/2)(x − 1) = 4x + 3.
Ответ: (4x + 3)/(x² − 1) = 7/(2(x − 1)) + 1/(2(x + 1)).
204. Выясните, при каких целых a дробь (a² − 4a + 1)/(a − 2) принимает целые значения, и найдите эти значения.
Выделим целую часть: a² − 4a + 1 = (a − 2)² − 3, поэтому (a² − 4a + 1)/(a − 2) = a − 2 − 3/(a − 2).
При целом a число a − 2 целое, значит, дробь целая тогда и только тогда, когда 3/(a − 2) — целое, то есть a − 2 является делителем числа 3: a − 2 = 1, −1, 3, −3.
a = −1: значение −3 + 1 = −2;
a = 1: значение −1 + 3 = 2;
a = 3: значение 1 − 3 = −2;
a = 5: значение 3 − 1 = 2.
Ответ: a = −1, 1, 3, 5; значения дроби соответственно −2, 2, −2, 2.
При целом a число a − 2 целое, значит, дробь целая тогда и только тогда, когда 3/(a − 2) — целое, то есть a − 2 является делителем числа 3: a − 2 = 1, −1, 3, −3.
a = −1: значение −3 + 1 = −2;
a = 1: значение −1 + 3 = 2;
a = 3: значение 1 − 3 = −2;
a = 5: значение 3 − 1 = 2.
Ответ: a = −1, 1, 3, 5; значения дроби соответственно −2, 2, −2, 2.
205. (Для работы в парах.) Зная, что m — целое число, найдите целые значения дроби: а) (m² − 6m + 10)/(m − 3); б) (m − 4)²/(m − 2).
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.
1) Нужно выделить из дроби целую часть (разделить числитель на знаменатель), после чего дробь станет суммой целого выражения и дроби с числителем-числом. Дробь целая, когда знаменатель делит это число.
2) а) m² − 6m + 10 = (m − 3)² + 1, поэтому дробь равна m − 3 + 1/(m − 3). Дробь 1/(m − 3) целая, если m − 3 = 1 или m − 3 = −1.
m = 4: значение 1 + 1 = 2; m = 2: значение −1 − 1 = −2.
Ответ: −2 и 2.
б) m − 4 = (m − 2) − 2, поэтому (m − 4)² = (m − 2)² − 4(m − 2) + 4 и дробь равна m − 2 − 4 + 4/(m − 2) = m − 6 + 4/(m − 2). Целое значение будет, когда m − 2 делит 4: m − 2 = ±1, ±2, ±4, то есть m = 3, 1, 4, 0, 6, −2.
Значения: m = 3: 1/1 = 1; m = 1: 9/(−1) = −9; m = 4: 0; m = 0: 16/(−2) = −8; m = 6: 4/4 = 1; m = −2: 36/(−4) = −9.
Ответ: −9, −8, 0, 1.
3) Взаимная проверка: подставить найденные m в исходную дробь, как сделано выше.
2) а) m² − 6m + 10 = (m − 3)² + 1, поэтому дробь равна m − 3 + 1/(m − 3). Дробь 1/(m − 3) целая, если m − 3 = 1 или m − 3 = −1.
m = 4: значение 1 + 1 = 2; m = 2: значение −1 − 1 = −2.
Ответ: −2 и 2.
б) m − 4 = (m − 2) − 2, поэтому (m − 4)² = (m − 2)² − 4(m − 2) + 4 и дробь равна m − 2 − 4 + 4/(m − 2) = m − 6 + 4/(m − 2). Целое значение будет, когда m − 2 делит 4: m − 2 = ±1, ±2, ±4, то есть m = 3, 1, 4, 0, 6, −2.
Значения: m = 3: 1/1 = 1; m = 1: 9/(−1) = −9; m = 4: 0; m = 0: 16/(−2) = −8; m = 6: 4/4 = 1; m = −2: 36/(−4) = −9.
Ответ: −9, −8, 0, 1.
3) Взаимная проверка: подставить найденные m в исходную дробь, как сделано выше.
206. Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению: а) 5x + y − xy = 2; б) xy − x + y = 8.
а) Выразим y: y − xy = 2 − 5x, y(1 − x) = 2 − 5x, y = (5x − 2)/(x − 1) = 5 + 3/(x − 1).
У целых x значение y целое, когда x − 1 делит 3: x − 1 = 1, −1, 3, −3.
x = 2, y = 8; x = 0, y = 2; x = 4, y = 6; x = −2, y = 4.
Проверка (x = 4, y = 6): 20 + 6 − 24 = 2.
Ответ: (2; 8), (0; 2), (4; 6), (−2; 4).
б) y(x + 1) = 8 + x, y = (x + 8)/(x + 1) = 1 + 7/(x + 1).
x + 1 делит 7: x + 1 = 1, −1, 7, −7.
x = 0, y = 8; x = −2, y = 1 − 7 = −6; x = 6, y = 2; x = −8, y = 1 + (−1) = 0.
Проверка (x = −2, y = −6): 12 + 2 − 6 = 8.
Ответ: (0; 8), (−2; −6), (6; 2), (−8; 0).
У целых x значение y целое, когда x − 1 делит 3: x − 1 = 1, −1, 3, −3.
x = 2, y = 8; x = 0, y = 2; x = 4, y = 6; x = −2, y = 4.
Проверка (x = 4, y = 6): 20 + 6 − 24 = 2.
Ответ: (2; 8), (0; 2), (4; 6), (−2; 4).
б) y(x + 1) = 8 + x, y = (x + 8)/(x + 1) = 1 + 7/(x + 1).
x + 1 делит 7: x + 1 = 1, −1, 7, −7.
x = 0, y = 8; x = −2, y = 1 − 7 = −6; x = 6, y = 2; x = −8, y = 1 + (−1) = 0.
Проверка (x = −2, y = −6): 12 + 2 − 6 = 8.
Ответ: (0; 8), (−2; −6), (6; 2), (−8; 0).
207. Найдите все точки графика функции y = (x² − 6x + 1)/(x − 3) с целочисленными координатами.
Выделим целую часть: x² − 6x + 1 = (x − 3)² − 8, поэтому y = x − 3 − 8/(x − 3), x ≠ 3.
Если x целое, то y целое тогда и только тогда, когда x − 3 делит 8: x − 3 = ±1, ±2, ±4, ±8.
x − 3 = 1: x = 4, y = 1 − 8 = −7;
x − 3 = −1: x = 2, y = −1 + 8 = 7;
x − 3 = 2: x = 5, y = 2 − 4 = −2;
x − 3 = −2: x = 1, y = −2 + 4 = 2;
x − 3 = 4: x = 7, y = 4 − 2 = 2;
x − 3 = −4: x = −1, y = −4 + 2 = −2;
x − 3 = 8: x = 11, y = 8 − 1 = 7;
x − 3 = −8: x = −5, y = −8 + 1 = −7.
Ответ: (4; −7), (2; 7), (5; −2), (1; 2), (7; 2), (−1; −2), (11; 7), (−5; −7).
Если x целое, то y целое тогда и только тогда, когда x − 3 делит 8: x − 3 = ±1, ±2, ±4, ±8.
x − 3 = 1: x = 4, y = 1 − 8 = −7;
x − 3 = −1: x = 2, y = −1 + 8 = 7;
x − 3 = 2: x = 5, y = 2 − 4 = −2;
x − 3 = −2: x = 1, y = −2 + 4 = 2;
x − 3 = 4: x = 7, y = 4 − 2 = 2;
x − 3 = −4: x = −1, y = −4 + 2 = −2;
x − 3 = 8: x = 11, y = 8 − 1 = 7;
x − 3 = −8: x = −5, y = −8 + 1 = −7.
Ответ: (4; −7), (2; 7), (5; −2), (1; 2), (7; 2), (−1; −2), (11; 7), (−5; −7).
208. Докажите, что при любом целом a, отличном от нуля, значение дроби (5a² + 6)/(a² + 1) не является целым числом.
Выделим целую часть: 5a² + 6 = 5(a² + 1) + 1, поэтому (5a² + 6)/(a² + 1) = 5 + 1/(a² + 1).
При целом a ≠ 0 имеем a² ≥ 1, значит, a² + 1 ≥ 2 и 0 < 1/(a² + 1) < 1. Тогда значение дроби лежит строго между 5 и 6 и целым быть не может. Что и требовалось доказать.
При целом a ≠ 0 имеем a² ≥ 1, значит, a² + 1 ≥ 2 и 0 < 1/(a² + 1) < 1. Тогда значение дроби лежит строго между 5 и 6 и целым быть не может. Что и требовалось доказать.
209. Найдите все пары натуральных чисел a и b, если известно, что сумма обратных им чисел равна 1/7.
Условие: 1/a + 1/b = 1/7. Умножим на 7ab: 7b + 7a = ab, откуда ab − 7a − 7b = 0, или (a − 7)(b − 7) = 49.
Так как 1/a < 1/7, то a > 7, аналогично b > 7. Поэтому оба множителя a − 7 и b − 7 — натуральные числа с произведением 49.
Разложения 49 = 1·49 = 7·7 = 49·1.
a − 7 = 1, b − 7 = 49: a = 8, b = 56;
a − 7 = 7, b − 7 = 7: a = 14, b = 14;
a − 7 = 49, b − 7 = 1: a = 56, b = 8.
Ответ: (8; 56), (14; 14), (56; 8).
Так как 1/a < 1/7, то a > 7, аналогично b > 7. Поэтому оба множителя a − 7 и b − 7 — натуральные числа с произведением 49.
Разложения 49 = 1·49 = 7·7 = 49·1.
a − 7 = 1, b − 7 = 49: a = 8, b = 56;
a − 7 = 7, b − 7 = 7: a = 14, b = 14;
a − 7 = 49, b − 7 = 1: a = 56, b = 8.
Ответ: (8; 56), (14; 14), (56; 8).