Глава I. §3. п.9 Представление дроби в виде суммы дробей — с. 56
210. Найдите значение дроби (3x² − xy + 6y²)/y², если (x − y)/y = 2.
Из условия x/y − 1 = 2, значит x/y = 3.
Разделим числитель и знаменатель дроби на y²: (3x² − xy + 6y²)/y² = 3(x/y)² − x/y + 6 = 3·9 − 3 + 6 = 30.
Ответ: 30.
Разделим числитель и знаменатель дроби на y²: (3x² − xy + 6y²)/y² = 3(x/y)² − x/y + 6 = 3·9 − 3 + 6 = 30.
Ответ: 30.
211. Зная, что (a + 2b)/a = 11, найдите значение дроби (a − 3b)²/b².
Из условия 1 + 2b/a = 11, значит 2b/a = 10, b/a = 5 и a/b = 1/5.
Тогда (a − 3b)²/b² = (a/b − 3)² = (1/5 − 3)² = (−14/5)² = 196/25 = 7 21/25.
Ответ: 7 21/25.
Тогда (a − 3b)²/b² = (a/b − 3)² = (1/5 − 3)² = (−14/5)² = 196/25 = 7 21/25.
Ответ: 7 21/25.
212. Найдите значение дроби: а) (51 + 17²)/10; б) (37² + 111)/40.
а) 17² = 289, числитель 51 + 289 = 340, дробь 340/10 = 34. (Можно иначе: 51 = 3·17, числитель 17(3 + 17) = 17·20.)
б) 37² = 1369, числитель 1369 + 111 = 1480, дробь 1480/40 = 37. (111 = 3·37, числитель 37(37 + 3) = 37·40.)
Ответ: а) 34; б) 37.
б) 37² = 1369, числитель 1369 + 111 = 1480, дробь 1480/40 = 37. (111 = 3·37, числитель 37(37 + 3) = 37·40.)
Ответ: а) 34; б) 37.
213. Расстояние между городами A и B равно 600 км. Первый поезд вышел из A в B и шёл со скоростью 60 км/ч. Второй поезд вышел из B в A на 3 ч позже, чем первый из A, и шёл со скоростью v км/ч. Поезда встретились через t ч после выхода первого поезда. Выразите v через t. Найдите скорость v при t = 7; при t = 6.
К моменту встречи первый поезд был в пути t ч и прошёл 60t км, второй был в пути t − 3 ч и прошёл v(t − 3) км. Вместе они прошли 600 км:
60t + v(t − 3) = 600, v(t − 3) = 600 − 60t, v = 60(10 − t)/(t − 3).
При t = 7: v = 60·3/4 = 45 км/ч.
При t = 6: v = 60·4/3 = 80 км/ч.
Ответ: v = 60(10 − t)/(t − 3); 45 км/ч; 80 км/ч.
60t + v(t − 3) = 600, v(t − 3) = 600 − 60t, v = 60(10 − t)/(t − 3).
При t = 7: v = 60·3/4 = 45 км/ч.
При t = 6: v = 60·4/3 = 80 км/ч.
Ответ: v = 60(10 − t)/(t − 3); 45 км/ч; 80 км/ч.
214. Найдите допустимые значения переменной в выражении: а) (3x − 8)/25; б) 37/(2y + 7); в) 9/(x² − 7x); г) (2y + 5)/(y² + 8); д) 12/(|x| − 3); е) 45/(|y| + 2).
Допустимые значения — те, при которых знаменатель не равен нулю.
а) знаменатель 25 ≠ 0 всегда: любое число.
б) 2y + 7 ≠ 0, y ≠ −3,5.
в) x² − 7x = x(x − 7) ≠ 0, значит x ≠ 0 и x ≠ 7.
г) y² + 8 ≥ 8 > 0: любое число.
д) |x| − 3 ≠ 0, |x| ≠ 3, значит x ≠ 3 и x ≠ −3.
е) |y| + 2 ≥ 2 > 0: любое число.
а) знаменатель 25 ≠ 0 всегда: любое число.
б) 2y + 7 ≠ 0, y ≠ −3,5.
в) x² − 7x = x(x − 7) ≠ 0, значит x ≠ 0 и x ≠ 7.
г) y² + 8 ≥ 8 > 0: любое число.
д) |x| − 3 ≠ 0, |x| ≠ 3, значит x ≠ 3 и x ≠ −3.
е) |y| + 2 ≥ 2 > 0: любое число.
215. Составьте какую-либо дробь с переменной x, которая имеет смысл при всех значениях переменной, кроме: а) x = 2; б) x = 0 и x = 3; в) x = −3 и x = 3; г) x = −1/2 и x = 1/2.
Нужна дробь, знаменатель которой обращается в нуль ровно при указанных значениях.
а) 1/(x − 2).
б) 1/(x(x − 3)).
в) 1/(x² − 9) = 1/((x − 3)(x + 3)).
г) 1/(4x² − 1) = 1/((2x − 1)(2x + 1)).
(Возможны и другие примеры, например с другим числителем.)
а) 1/(x − 2).
б) 1/(x(x − 3)).
в) 1/(x² − 9) = 1/((x − 3)(x + 3)).
г) 1/(4x² − 1) = 1/((2x − 1)(2x + 1)).
(Возможны и другие примеры, например с другим числителем.)
216. Укажите область определения функции: а) y = 1/(x − 2); б) y = 3x/(x + 5); в) y = (7x + 1)/(2x − 6).
Область определения — все x, при которых знаменатель не равен нулю.
а) x − 2 ≠ 0: все числа, кроме 2.
б) x + 5 ≠ 0: все числа, кроме −5.
в) 2x − 6 ≠ 0, x ≠ 3: все числа, кроме 3.
а) x − 2 ≠ 0: все числа, кроме 2.
б) x + 5 ≠ 0: все числа, кроме −5.
в) 2x − 6 ≠ 0, x ≠ 3: все числа, кроме 3.
217. Сократите дробь: а) a0a0/101; б) a00a/91. (Числители a0a0 и a00a записаны с чертой сверху: это четырёхзначные числа, a — цифра.)
а) Число a0a0 = 1000a + 100·0 + 10a + 0 = 1010a = 101·10a. Тогда дробь равна 101·10a/101 = 10a.
б) Число a00a = 1000a + a = 1001a, а 1001 = 91·11. Тогда дробь равна 91·11a/91 = 11a.
Ответ: а) 10a; б) 11a.
б) Число a00a = 1000a + a = 1001a, а 1001 = 91·11. Тогда дробь равна 91·11a/91 = 11a.
Ответ: а) 10a; б) 11a.
218. Сократите дробь: а) (3a − 3c)²/(9a² − 9c²); б) (a² − 9)²/(3 − a)³; в) (8y³ − 1)/(y − 4y³); г) (5a² − 3ab)/(a² − 0,36b²).
а) (3a − 3c)² = 9(a − c)², 9a² − 9c² = 9(a − c)(a + c). Дробь равна (a − c)/(a + c).
б) (a² − 9)² = (a − 3)²(a + 3)² = (3 − a)²(a + 3)². Дробь равна (3 − a)²(a + 3)²/(3 − a)³ = (a + 3)²/(3 − a).
в) 8y³ − 1 = (2y − 1)(4y² + 2y + 1); y − 4y³ = y(1 − 4y²) = y(1 − 2y)(1 + 2y) = −y(2y − 1)(2y + 1). Дробь равна −(4y² + 2y + 1)/(y(2y + 1)) = −(4y² + 2y + 1)/(2y² + y).
г) 5a² − 3ab = a(5a − 3b); a² − 0,36b² = (a − 0,6b)(a + 0,6b) = (5a − 3b)(5a + 3b)/25. Дробь равна 25a(5a − 3b)/((5a − 3b)(5a + 3b)) = 25a/(5a + 3b).
б) (a² − 9)² = (a − 3)²(a + 3)² = (3 − a)²(a + 3)². Дробь равна (3 − a)²(a + 3)²/(3 − a)³ = (a + 3)²/(3 − a).
в) 8y³ − 1 = (2y − 1)(4y² + 2y + 1); y − 4y³ = y(1 − 4y²) = y(1 − 2y)(1 + 2y) = −y(2y − 1)(2y + 1). Дробь равна −(4y² + 2y + 1)/(y(2y + 1)) = −(4y² + 2y + 1)/(2y² + y).
г) 5a² − 3ab = a(5a − 3b); a² − 0,36b² = (a − 0,6b)(a + 0,6b) = (5a − 3b)(5a + 3b)/25. Дробь равна 25a(5a − 3b)/((5a − 3b)(5a + 3b)) = 25a/(5a + 3b).