Глава I. Дополнительные упражнения к главе I — с. 58
227. При каких натуральных n является натуральным числом значение выражения: а) (n + 6)/n; б) (5n − 12)/n; в) (36 − n²)/n²?
а) (n + 6)/n = 1 + 6/n. Значение натуральное, когда n делит 6: n = 1, 2, 3, 6.
б) (5n − 12)/n = 5 − 12/n. Нужно, чтобы n делило 12: n = 1, 2, 3, 4, 6, 12. Значения: −7, −1, 1, 2, 3, 4. Натуральные при n = 3, 4, 6, 12.
в) (36 − n²)/n² = 36/n² − 1. Нужно n² | 36: n = 1, 2, 3, 6. Значения: 35, 8, 3, 0. Число 0 не натуральное, поэтому n = 6 не подходит.
Ответ: а) 1, 2, 3, 6; б) 3, 4, 6, 12; в) 1, 2, 3.
б) (5n − 12)/n = 5 − 12/n. Нужно, чтобы n делило 12: n = 1, 2, 3, 4, 6, 12. Значения: −7, −1, 1, 2, 3, 4. Натуральные при n = 3, 4, 6, 12.
в) (36 − n²)/n² = 36/n² − 1. Нужно n² | 36: n = 1, 2, 3, 6. Значения: 35, 8, 3, 0. Число 0 не натуральное, поэтому n = 6 не подходит.
Ответ: а) 1, 2, 3, 6; б) 3, 4, 6, 12; в) 1, 2, 3.
228. Найдите значение выражения, зная, что x/y = 5: а) (x + y)/y; б) (x − y)/y; в) y/x; г) (x + 2y)/x.
а) (x + y)/y = x/y + 1 = 5 + 1 = 6.
б) (x − y)/y = x/y − 1 = 4.
в) y/x = 1/(x/y) = 1/5 = 0,2.
г) (x + 2y)/x = 1 + 2·(y/x) = 1 + 2/5 = 1,4.
б) (x − y)/y = x/y − 1 = 4.
в) y/x = 1/(x/y) = 1/5 = 0,2.
г) (x + 2y)/x = 1 + 2·(y/x) = 1 + 2/5 = 1,4.
229. Зная, что (x + y)/y = 3, найдите значение выражения: а) x/y; б) y/(x + y); в) (x − y)/y; г) y/x.
Из условия x/y + 1 = 3, значит x/y = 2.
а) x/y = 2.
б) y/(x + y) = 1/((x + y)/y) = 1/3.
в) (x − y)/y = x/y − 1 = 1.
г) y/x = 1/2 = 0,5.
а) x/y = 2.
б) y/(x + y) = 1/((x + y)/y) = 1/3.
в) (x − y)/y = x/y − 1 = 1.
г) y/x = 1/2 = 0,5.
230. Выполните действие: а) (3b² − 5b − 1)/(b²y) + (5b − 3)/(by); б) (a² − a − 1)/(a³x) − (x² − 1)/(ax³); в) (1 + c)/(c³y⁴) − (c³ + y⁴)/(c²y^8); г) (c² + x²)/(c²x⁵) − (c + x)/(c³x³).
а) Общий знаменатель b²y, второй дроби дополнительный множитель b: (3b² − 5b − 1 + b(5b − 3))/(b²y) = (3b² − 5b − 1 + 5b² − 3b)/(b²y) = (8b² − 8b − 1)/(b²y).
б) Общий знаменатель a³x³: (x²(a² − a − 1) − a²(x² − 1))/(a³x³) = (a²x² − ax² − x² − a²x² + a²)/(a³x³) = (a² − ax² − x²)/(a³x³).
в) Общий знаменатель c³y^8: (y⁴(1 + c) − c(c³ + y⁴))/(c³y^8) = (y⁴ + cy⁴ − c⁴ − cy⁴)/(c³y^8) = (y⁴ − c⁴)/(c³y^8).
г) Общий знаменатель c³x⁵: (c(c² + x²) − x²(c + x))/(c³x⁵) = (c³ + cx² − cx² − x³)/(c³x⁵) = (c³ − x³)/(c³x⁵).
Оговорка: в ответах учебника эти пункты не приведены; результат проверен подстановкой чисел.
б) Общий знаменатель a³x³: (x²(a² − a − 1) − a²(x² − 1))/(a³x³) = (a²x² − ax² − x² − a²x² + a²)/(a³x³) = (a² − ax² − x²)/(a³x³).
в) Общий знаменатель c³y^8: (y⁴(1 + c) − c(c³ + y⁴))/(c³y^8) = (y⁴ + cy⁴ − c⁴ − cy⁴)/(c³y^8) = (y⁴ − c⁴)/(c³y^8).
г) Общий знаменатель c³x⁵: (c(c² + x²) − x²(c + x))/(c³x⁵) = (c³ + cx² − cx² − x³)/(c³x⁵) = (c³ − x³)/(c³x⁵).
Оговорка: в ответах учебника эти пункты не приведены; результат проверен подстановкой чисел.
231. Представьте в виде дроби: а) x + y + (x − y)/4; б) m + n − (1 + mn)/n; в) a − (ab − ac + bc)/(a + b + c); г) a² − b² − (a³ − b³)/(a + b).
а) x + y + (x − y)/4 = (4x + 4y + x − y)/4 = (5x + 3y)/4.
б) m + n − (1 + mn)/n = (mn + n² − 1 − mn)/n = (n² − 1)/n.
в) a − (ab − ac + bc)/(a + b + c) = (a(a + b + c) − ab + ac − bc)/(a + b + c) = (a² + ab + ac − ab + ac − bc)/(a + b + c) = (a² + 2ac − bc)/(a + b + c).
г) a² − b² − (a³ − b³)/(a + b) = ((a² − b²)(a + b) − a³ + b³)/(a + b) = (a³ + a²b − ab² − b³ − a³ + b³)/(a + b) = (a²b − ab²)/(a + b) = ab(a − b)/(a + b).
Оговорка: в пункте в) в числителе вычитаемой дроби прочитано ab − ac + bc; в ответах учебника этот пункт не приведён.
б) m + n − (1 + mn)/n = (mn + n² − 1 − mn)/n = (n² − 1)/n.
в) a − (ab − ac + bc)/(a + b + c) = (a(a + b + c) − ab + ac − bc)/(a + b + c) = (a² + ab + ac − ab + ac − bc)/(a + b + c) = (a² + 2ac − bc)/(a + b + c).
г) a² − b² − (a³ − b³)/(a + b) = ((a² − b²)(a + b) − a³ + b³)/(a + b) = (a³ + a²b − ab² − b³ − a³ + b³)/(a + b) = (a²b − ab²)/(a + b) = ab(a − b)/(a + b).
Оговорка: в пункте в) в числителе вычитаемой дроби прочитано ab − ac + bc; в ответах учебника этот пункт не приведён.
232. Упростите выражение: а) (mn + 1)/(m + n) + (mn − 1)/(m − n); б) (x + 4a)/(3a + 3x) − (a − 4x)/(3a − 3x).
а) Общий знаменатель (m + n)(m − n) = m² − n². Числитель: (mn + 1)(m − n) + (mn − 1)(m + n) = m²n − mn² + m − n + m²n + mn² − m − n = 2m²n − 2n = 2n(m² − 1).
Ответ: 2n(m² − 1)/(m² − n²).
б) 3a + 3x = 3(a + x), 3a − 3x = 3(a − x). Общий знаменатель 3(a² − x²). Числитель: (x + 4a)(a − x) − (a − 4x)(a + x) = (ax − x² + 4a² − 4ax) − (a² + ax − 4ax − 4x²) = (4a² − 3ax − x²) − (a² − 3ax − 4x²) = 3a² + 3x².
Дробь равна 3(a² + x²)/(3(a² − x²)) = (a² + x²)/(a² − x²).
Ответ: 2n(m² − 1)/(m² − n²).
б) 3a + 3x = 3(a + x), 3a − 3x = 3(a − x). Общий знаменатель 3(a² − x²). Числитель: (x + 4a)(a − x) − (a − 4x)(a + x) = (ax − x² + 4a² − 4ax) − (a² + ax − 4ax − 4x²) = (4a² − 3ax − x²) − (a² − 3ax − 4x²) = 3a² + 3x².
Дробь равна 3(a² + x²)/(3(a² − x²)) = (a² + x²)/(a² − x²).
233. Упростите выражение: а) (2y² − y)/(y² − y + 1/4) − (2y² + y)/(y² + y + 1/4) − 1/(y² − 1/4); б) 6a/(2,5a² − 0,64) − 8/(6a − 3,2).
а) y² − y + 1/4 = (y − 1/2)², y² + y + 1/4 = (y + 1/2)², y² − 1/4 = (y − 1/2)(y + 1/2). Числители: 2y² − y = 2y(y − 1/2), 2y² + y = 2y(y + 1/2).
Первая дробь: 2y/(y − 1/2), вторая: 2y/(y + 1/2). Выражение равно 2y/(y − 1/2) − 2y/(y + 1/2) − 1/((y − 1/2)(y + 1/2)) = (2y(y + 1/2) − 2y(y − 1/2) − 1)/((y − 1/2)(y + 1/2)) = (2y − 1)/((y − 1/2)(y + 1/2)) = 2(y − 1/2)/((y − 1/2)(y + 1/2)) = 2/(y + 1/2) = 4/(2y + 1).
б) Для разложения знаменателя нужен квадрат: 2,25a² − 0,64 = (1,5a − 0,8)(1,5a + 0,8), а 6a − 3,2 = 4(1,5a − 0,8). Тогда 6a/((1,5a − 0,8)(1,5a + 0,8)) − 2/(1,5a − 0,8) = (6a − 2(1,5a + 0,8))/((1,5a − 0,8)(1,5a + 0,8)) = (3a − 1,6)/((1,5a − 0,8)(1,5a + 0,8)) = 2/(1,5a + 0,8) = 20/(15a + 8).
Оговорка: в пункте а) по напечатанному условию получается 4/(2y + 1) (проверено подстановкой y = 1: 4 − 4/3 − 4/3 = 4/3), тогда как в ответах учебника 4/(2y − 1). В пункте б) в скане читается 2,5a²; ответ учебника 20/(15a + 8) получается при 2,25a², решение дано для этого случая.
Первая дробь: 2y/(y − 1/2), вторая: 2y/(y + 1/2). Выражение равно 2y/(y − 1/2) − 2y/(y + 1/2) − 1/((y − 1/2)(y + 1/2)) = (2y(y + 1/2) − 2y(y − 1/2) − 1)/((y − 1/2)(y + 1/2)) = (2y − 1)/((y − 1/2)(y + 1/2)) = 2(y − 1/2)/((y − 1/2)(y + 1/2)) = 2/(y + 1/2) = 4/(2y + 1).
б) Для разложения знаменателя нужен квадрат: 2,25a² − 0,64 = (1,5a − 0,8)(1,5a + 0,8), а 6a − 3,2 = 4(1,5a − 0,8). Тогда 6a/((1,5a − 0,8)(1,5a + 0,8)) − 2/(1,5a − 0,8) = (6a − 2(1,5a + 0,8))/((1,5a − 0,8)(1,5a + 0,8)) = (3a − 1,6)/((1,5a − 0,8)(1,5a + 0,8)) = 2/(1,5a + 0,8) = 20/(15a + 8).
Оговорка: в пункте а) по напечатанному условию получается 4/(2y + 1) (проверено подстановкой y = 1: 4 − 4/3 − 4/3 = 4/3), тогда как в ответах учебника 4/(2y − 1). В пункте б) в скане читается 2,5a²; ответ учебника 20/(15a + 8) получается при 2,25a², решение дано для этого случая.
234. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения равно нулю: 1/((a − b)(b − c)) + 1/((c − a)(a − b)) + 1/((b − c)(c − a)).
Общий знаменатель (a − b)(b − c)(c − a). Дополнительные множители: к первой дроби c − a, ко второй b − c, к третьей a − b.
Числитель: (c − a) + (b − c) + (a − b) = 0.
Следовательно, сумма равна 0/((a − b)(b − c)(c − a)) = 0 при всех допустимых значениях переменных (a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a). Что и требовалось доказать.
Числитель: (c − a) + (b − c) + (a − b) = 0.
Следовательно, сумма равна 0/((a − b)(b − c)(c − a)) = 0 при всех допустимых значениях переменных (a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a). Что и требовалось доказать.