Глава I. Дополнительные упражнения к главе I — с. 60
243. Упростите выражение: а) (a² + ax + ab + bx)/(a² − ax − ab + bx) · (a² − ax − bx + ab)/(a² + ax − bx − ab); б) (x² − bx + ax − ab)/(x² + bx − ax − ab) : (x² + bx + ax + ab)/(x² − bx − ax + ab).
Разложим многочлены на множители группировкой.
а) a² + ax + ab + bx = a(a + x) + b(a + x) = (a + b)(a + x); a² − ax − ab + bx = a(a − x) − b(a − x) = (a − b)(a − x); a² − ax − bx + ab = a(a − x) + b(a − x) = (a + b)(a − x); a² + ax − bx − ab = a(a + x) − b(a + x) = (a − b)(a + x).
Произведение: (a + b)(a + x)(a + b)(a − x)/((a − b)(a − x)(a − b)(a + x)) = (a + b)²/(a − b)².
б) x² − bx + ax − ab = x(x − b) + a(x − b) = (x + a)(x − b); x² + bx − ax − ab = x(x + b) − a(x + b) = (x − a)(x + b); x² + bx + ax + ab = (x + b)(x + a); x² − bx − ax + ab = (x − b)(x − a).
Частное: (x + a)(x − b)/((x − a)(x + b)) · (x − b)(x − a)/((x + b)(x + a)) = (x − b)²/(x + b)².
а) a² + ax + ab + bx = a(a + x) + b(a + x) = (a + b)(a + x); a² − ax − ab + bx = a(a − x) − b(a − x) = (a − b)(a − x); a² − ax − bx + ab = a(a − x) + b(a − x) = (a + b)(a − x); a² + ax − bx − ab = a(a + x) − b(a + x) = (a − b)(a + x).
Произведение: (a + b)(a + x)(a + b)(a − x)/((a − b)(a − x)(a − b)(a + x)) = (a + b)²/(a − b)².
б) x² − bx + ax − ab = x(x − b) + a(x − b) = (x + a)(x − b); x² + bx − ax − ab = x(x + b) − a(x + b) = (x − a)(x + b); x² + bx + ax + ab = (x + b)(x + a); x² − bx − ax + ab = (x − b)(x − a).
Частное: (x + a)(x − b)/((x − a)(x + b)) · (x − b)(x − a)/((x + b)(x + a)) = (x − b)²/(x + b)².
244. Докажите, что если m ≠ n, m ≠ 0 и n ≠ 0, то значение выражения 2/(mn) : (1/m − 1/n)² − (m² + n²)/(m − n)² не зависит от значений переменных.
1/m − 1/n = (n − m)/(mn), квадрат: (m − n)²/(m²n²). Тогда 2/(mn) : (m − n)²/(m²n²) = 2/(mn) · m²n²/(m − n)² = 2mn/(m − n)².
Выражение равно 2mn/(m − n)² − (m² + n²)/(m − n)² = (2mn − m² − n²)/(m − n)² = −(m − n)²/(m − n)² = −1.
Значение равно −1 при всех допустимых m и n, то есть не зависит от переменных. Что и требовалось доказать.
Выражение равно 2mn/(m − n)² − (m² + n²)/(m − n)² = (2mn − m² − n²)/(m − n)² = −(m − n)²/(m − n)² = −1.
Значение равно −1 при всех допустимых m и n, то есть не зависит от переменных. Что и требовалось доказать.
245. Докажите, что при любом целом a и дробном x значение выражения (a − (a² + x²)/(a + x)) · (2a/x + 4a/(a − x)) является чётным числом.
Первая скобка: (a(a + x) − a² − x²)/(a + x) = (ax − x²)/(a + x) = x(a − x)/(a + x).
Вторая скобка: (2a(a − x) + 4ax)/(x(a − x)) = (2a² + 2ax)/(x(a − x)) = 2a(a + x)/(x(a − x)).
Произведение: x(a − x)/(a + x) · 2a(a + x)/(x(a − x)) = 2a.
При целом a число 2a чётное. Что и требовалось доказать.
Вторая скобка: (2a(a − x) + 4ax)/(x(a − x)) = (2a² + 2ax)/(x(a − x)) = 2a(a + x)/(x(a − x)).
Произведение: x(a − x)/(a + x) · 2a(a + x)/(x(a − x)) = 2a.
При целом a число 2a чётное. Что и требовалось доказать.
246. Докажите, что при любом значении x, большем 2, значение выражения ((x + 1)/(2x) + 4/(x + 3) − 2) : (x + 1)/(x + 3) − (x² − 5x + 3)/(2x) является отрицательным числом.
Преобразуем скобку: (x + 1)/(2x) + 4/(x + 3) − 2 = ((x + 1)(x + 3) + 8x − 4x(x + 3))/(2x(x + 3)) = (x² + 4x + 3 + 8x − 4x² − 12x)/(2x(x + 3)) = (3 − 3x²)/(2x(x + 3)) = −3(x − 1)(x + 1)/(2x(x + 3)).
Делим на (x + 1)/(x + 3): −3(x − 1)(x + 1)/(2x(x + 3)) · (x + 3)/(x + 1) = −3(x − 1)/(2x).
Вычитаем: −3(x − 1)/(2x) − (x² − 5x + 3)/(2x) = (−3x + 3 − x² + 5x − 3)/(2x) = (2x − x²)/(2x) = (2 − x)/2.
При x > 2 имеем 2 − x < 0, значит значение выражения (2 − x)/2 отрицательно. Что и требовалось доказать.
Делим на (x + 1)/(x + 3): −3(x − 1)(x + 1)/(2x(x + 3)) · (x + 3)/(x + 1) = −3(x − 1)/(2x).
Вычитаем: −3(x − 1)/(2x) − (x² − 5x + 3)/(2x) = (−3x + 3 − x² + 5x − 3)/(2x) = (2x − x²)/(2x) = (2 − x)/2.
При x > 2 имеем 2 − x < 0, значит значение выражения (2 − x)/2 отрицательно. Что и требовалось доказать.
247. Упростите выражение: а) ab + ab/(a + b) · ((a + b)/(a − b) − a − b); б) ((y² − xy)/(x² + xy) − xy + y²) · x/(x − y) + y/(x + y); в) (1/(2a − b)² + 2/(4a² − b²) + 1/(2a + b)²) · (4a² + 4ab + b²)/(16a); г) 4c²/(c − 2)⁴ : (1/(c + 2)² + 1/(c − 2)² + 2/(c² − 4)).
а) (a + b)/(a − b) − (a + b) = (a + b)(1 − (a − b))/(a − b) = (a + b)(1 − a + b)/(a − b). Умножаем на ab/(a + b): ab(1 − a + b)/(a − b). Тогда ab + ab(1 − a + b)/(a − b) = ab((a − b) + (1 − a + b))/(a − b) = ab/(a − b).
б) (y² − xy)/(x² + xy) = y(y − x)/(x(x + y)), а −xy + y² = y(y − x). Скобка: y(y − x)(1/(x(x + y)) + 1). Умножим на x/(x − y), учитывая (y − x)/(x − y) = −1: −xy(1/(x(x + y)) + 1) = −y/(x + y) − xy. Прибавим y/(x + y): получим −xy.
в) Общий знаменатель скобки (4a² − b²)²: ((2a + b)² + 2(2a − b)(2a + b) + (2a − b)²)/(4a² − b²)² = ((2a + b) + (2a − b))²/(4a² − b²)² = 16a²/(4a² − b²)². Умножаем на (2a + b)²/(16a): 16a²(2a + b)²/((2a − b)²(2a + b)²·16a) = a/(2a − b)².
г) Скобка: ((c − 2)² + 2(c − 2)(c + 2) + (c + 2)²)/(c² − 4)² = ((c − 2) + (c + 2))²/(c² − 4)² = 4c²/(c² − 4)². Делим: 4c²/(c − 2)⁴ · (c − 2)²(c + 2)²/(4c²) = (c + 2)²/(c − 2)².
Ответ: а) ab/(a − b); б) −xy; в) a/(2a − b)²; г) (c + 2)²/(c − 2)².
Оговорка: в пункте в) числитель второго множителя прочитан как 4a² + 4ab + b² = (2a + b)²; с ним получается ответ учебника.
б) (y² − xy)/(x² + xy) = y(y − x)/(x(x + y)), а −xy + y² = y(y − x). Скобка: y(y − x)(1/(x(x + y)) + 1). Умножим на x/(x − y), учитывая (y − x)/(x − y) = −1: −xy(1/(x(x + y)) + 1) = −y/(x + y) − xy. Прибавим y/(x + y): получим −xy.
в) Общий знаменатель скобки (4a² − b²)²: ((2a + b)² + 2(2a − b)(2a + b) + (2a − b)²)/(4a² − b²)² = ((2a + b) + (2a − b))²/(4a² − b²)² = 16a²/(4a² − b²)². Умножаем на (2a + b)²/(16a): 16a²(2a + b)²/((2a − b)²(2a + b)²·16a) = a/(2a − b)².
г) Скобка: ((c − 2)² + 2(c − 2)(c + 2) + (c + 2)²)/(c² − 4)² = ((c − 2) + (c + 2))²/(c² − 4)² = 4c²/(c² − 4)². Делим: 4c²/(c − 2)⁴ · (c − 2)²(c + 2)²/(4c²) = (c + 2)²/(c − 2)².
Ответ: а) ab/(a − b); б) −xy; в) a/(2a − b)²; г) (c + 2)²/(c − 2)².
Оговорка: в пункте в) числитель второго множителя прочитан как 4a² + 4ab + b² = (2a + b)²; с ним получается ответ учебника.
248. Упростите выражение: а) (x − 4xy/(x + y) + y) · (x + 4xy/(x − y) − y); б) (a − (1 − 2a²)/(1 − a) + 1) : (1 − 1/(1 − a)).
а) Первая скобка: (x + y) − 4xy/(x + y) = ((x + y)² − 4xy)/(x + y) = (x − y)²/(x + y). Вторая: (x − y) + 4xy/(x − y) = ((x − y)² + 4xy)/(x − y) = (x + y)²/(x − y). Произведение: (x − y)²(x + y)²/((x + y)(x − y)) = (x − y)(x + y) = x² − y².
б) Делимое: a + 1 − (1 − 2a²)/(1 − a) = ((a + 1)(1 − a) − 1 + 2a²)/(1 − a) = (1 − a² − 1 + 2a²)/(1 − a) = a²/(1 − a). Делитель: 1 − 1/(1 − a) = (1 − a − 1)/(1 − a) = −a/(1 − a). Частное: a²/(1 − a) · (1 − a)/(−a) = −a.
Ответ: а) x² − y²; б) −a.
б) Делимое: a + 1 − (1 − 2a²)/(1 − a) = ((a + 1)(1 − a) − 1 + 2a²)/(1 − a) = (1 − a² − 1 + 2a²)/(1 − a) = a²/(1 − a). Делитель: 1 − 1/(1 − a) = (1 − a − 1)/(1 − a) = −a/(1 − a). Частное: a²/(1 − a) · (1 − a)/(−a) = −a.
Ответ: а) x² − y²; б) −a.