Глава I. Дополнительные упражнения к главе I — с. 62
256. Докажите, что если z является средним гармоническим положительных чисел a и b, причём a ≠ b, то верно равенство 1/(z − a) + 1/(z − b) = 1/a + 1/b.
Среднее гармоническое: z = 2ab/(a + b).
z − a = (2ab − a² − ab)/(a + b) = a(b − a)/(a + b); z − b = (2ab − ab − b²)/(a + b) = b(a − b)/(a + b). Так как a ≠ b, обе разности не равны нулю.
Тогда 1/(z − a) + 1/(z − b) = (a + b)/(a(b − a)) + (a + b)/(b(a − b)) = (a + b)/(b − a) · (1/a − 1/b) = (a + b)/(b − a) · (b − a)/(ab) = (a + b)/(ab) = 1/a + 1/b. Что и требовалось доказать.
z − a = (2ab − a² − ab)/(a + b) = a(b − a)/(a + b); z − b = (2ab − ab − b²)/(a + b) = b(a − b)/(a + b). Так как a ≠ b, обе разности не равны нулю.
Тогда 1/(z − a) + 1/(z − b) = (a + b)/(a(b − a)) + (a + b)/(b(a − b)) = (a + b)/(b − a) · (1/a − 1/b) = (a + b)/(b − a) · (b − a)/(ab) = (a + b)/(ab) = 1/a + 1/b. Что и требовалось доказать.
257. Известно, что точка P(−9; 18) принадлежит графику функции, заданной формулой вида y = k/x. Найдите значение k.
Подставим координаты точки: 18 = k/(−9), откуда k = 18·(−9) = −162.
Ответ: k = −162.
Ответ: k = −162.
258. Принадлежит ли графику функции y = 1/x точка: а) A(40; 0,025); б) B(0,03125; 32); в) C(0,016; 6 1/4); г) D(0,125; 0,8)?
Точка принадлежит графику y = 1/x, если произведение её координат равно 1.
а) 40·0,025 = 1 — принадлежит.
б) 0,03125·32 = 1 — принадлежит.
в) 0,016·6,25 = 0,1 ≠ 1 — не принадлежит.
г) 0,125·0,8 = 0,1 ≠ 1 — не принадлежит.
а) 40·0,025 = 1 — принадлежит.
б) 0,03125·32 = 1 — принадлежит.
в) 0,016·6,25 = 0,1 ≠ 1 — не принадлежит.
г) 0,125·0,8 = 0,1 ≠ 1 — не принадлежит.
259. Известно, что график функции y = k/x проходит через точку A(10; 2,4). Проходит ли график этой функции через точку: а) B(1; 24); б) C(−1/5; −120); в) D(−2; 12); г) E(−10; −2,4); д) K(5; −1,2); е) M(−2,5; −0,6)?
Из точки A: k = 10·2,4 = 24, функция y = 24/x. Точка лежит на графике, если произведение её координат равно 24.
а) 1·24 = 24 — проходит.
б) (−1/5)·(−120) = 24 — проходит.
в) (−2)·12 = −24 — не проходит.
г) (−10)·(−2,4) = 24 — проходит.
д) 5·(−1,2) = −6 — не проходит.
е) (−2,5)·(−0,6) = 1,5 — не проходит.
а) 1·24 = 24 — проходит.
б) (−1/5)·(−120) = 24 — проходит.
в) (−2)·12 = −24 — не проходит.
г) (−10)·(−2,4) = 24 — проходит.
д) 5·(−1,2) = −6 — не проходит.
е) (−2,5)·(−0,6) = 1,5 — не проходит.
260. Найдите область определения функции и постройте её график: а) y = 36/((x + 1)² − (x − 1)²); б) y = (18 − 12x)/(x² − 3x) − 6/(3 − x); в) y = 16/((2 − x)² − (2 + x)²); г) y = (3x(x + 1) − 3x² + 15)/(x(x + 5)).
а) (x + 1)² − (x − 1)² = 4x, поэтому y = 36/(4x) = 9/x. Знаменатель равен нулю при x = 0. Область определения: x ≠ 0. График — гипербола y = 9/x, ветви в I и III четвертях, проходит через (3; 3), (−3; −3), (1,5; 6).
б) x² − 3x = x(x − 3); −6/(3 − x) = 6/(x − 3) = 6x/(x(x − 3)). Тогда y = (18 − 12x + 6x)/(x(x − 3)) = −6(x − 3)/(x(x − 3)) = −6/x. Область определения: x ≠ 0 и x ≠ 3. График — гипербола y = −6/x (II и IV четверти) с выколотой точкой (3; −2).
в) (2 − x)² − (2 + x)² = −8x, поэтому y = 16/(−8x) = −2/x. Область определения: x ≠ 0. График — гипербола y = −2/x, проходит через (1; −2), (−1; 2), (2; −1), (−2; 1).
г) 3x(x + 1) − 3x² + 15 = 3x + 15 = 3(x + 5), поэтому y = 3(x + 5)/(x(x + 5)) = 3/x. Область определения: x ≠ 0 и x ≠ −5. График — гипербола y = 3/x с выколотой точкой (−5; −0,6).
б) x² − 3x = x(x − 3); −6/(3 − x) = 6/(x − 3) = 6x/(x(x − 3)). Тогда y = (18 − 12x + 6x)/(x(x − 3)) = −6(x − 3)/(x(x − 3)) = −6/x. Область определения: x ≠ 0 и x ≠ 3. График — гипербола y = −6/x (II и IV четверти) с выколотой точкой (3; −2).
в) (2 − x)² − (2 + x)² = −8x, поэтому y = 16/(−8x) = −2/x. Область определения: x ≠ 0. График — гипербола y = −2/x, проходит через (1; −2), (−1; 2), (2; −1), (−2; 1).
г) 3x(x + 1) − 3x² + 15 = 3x + 15 = 3(x + 5), поэтому y = 3(x + 5)/(x(x + 5)) = 3/x. Область определения: x ≠ 0 и x ≠ −5. График — гипербола y = 3/x с выколотой точкой (−5; −0,6).
261. Постройте график функции y = −4 − (x + 2)/(x² + 2x). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.
Разложим знаменатель: x² + 2x = x(x + 2). Функция определена при x ≠ 0 и x ≠ −2. При этих x дробь (x + 2)/(x(x + 2)) = 1/x, поэтому y = −4 − 1/x.
График — гипербола y = −1/x, сдвинутая на 4 единицы вниз: асимптоты x = 0 и y = −4. Из графика нужно удалить точку с абсциссой x = −2: y = −4 − 1/(−2) = −3,5, то есть точку (−2; −3,5) (на рисунке выколота).
Прямая y = m не имеет общих точек с графиком, если значение m не принимается функцией. Гипербола y = −4 − 1/x принимает все значения, кроме −4 (уравнение −4 − 1/x = m, то есть 1/x = −4 − m, не имеет решения только при m = −4). Значение −3,5 функция по гиперболе принимает только при x = −2, а эта точка выколота.
Ответ: прямая y = m не имеет общих точек с графиком при m = −4 и m = −3,5.
График — гипербола y = −1/x, сдвинутая на 4 единицы вниз: асимптоты x = 0 и y = −4. Из графика нужно удалить точку с абсциссой x = −2: y = −4 − 1/(−2) = −3,5, то есть точку (−2; −3,5) (на рисунке выколота).
Прямая y = m не имеет общих точек с графиком, если значение m не принимается функцией. Гипербола y = −4 − 1/x принимает все значения, кроме −4 (уравнение −4 − 1/x = m, то есть 1/x = −4 − m, не имеет решения только при m = −4). Значение −3,5 функция по гиперболе принимает только при x = −2, а эта точка выколота.
Ответ: прямая y = m не имеет общих точек с графиком при m = −4 и m = −3,5.
262. Постройте график функции: а) y = 4/|x|; б) y = 2,4/|x|; в) y = 1/|x|; г) y = −1/|x|; д) y = −6/|x|; е) y = −3,6/|x|.
Функция y = k/|x| определена при x ≠ 0 и чётная: |−x| = |x|, поэтому её график симметричен относительно оси y.
При x > 0 имеем |x| = x и y = k/x — ветвь гиперболы; при x < 0 график получается симметричным отражением этой ветви относительно оси y.
Если k > 0 (пункты а, б, в), обе части графика лежат выше оси x; если k < 0 (пункты г, д, е), — ниже.
Точки для построения при x > 0: а) (1; 4), (2; 2), (4; 1); б) (1; 2,4), (2; 1,2), (4; 0,6); в) (1; 1), (2; 0,5), (4; 0,25); г) (1; −1), (2; −0,5); д) (1; −6), (2; −3), (3; −2); е) (1; −3,6), (2; −1,8), (4; −0,9).
Рисунок: на одной плоскости показаны все шесть графиков, буквы около кривых соответствуют пунктам задания.
При x > 0 имеем |x| = x и y = k/x — ветвь гиперболы; при x < 0 график получается симметричным отражением этой ветви относительно оси y.
Если k > 0 (пункты а, б, в), обе части графика лежат выше оси x; если k < 0 (пункты г, д, е), — ниже.
Точки для построения при x > 0: а) (1; 4), (2; 2), (4; 1); б) (1; 2,4), (2; 1,2), (4; 0,6); в) (1; 1), (2; 0,5), (4; 0,25); г) (1; −1), (2; −0,5); д) (1; −6), (2; −3), (3; −2); е) (1; −3,6), (2; −1,8), (4; −0,9).
Рисунок: на одной плоскости показаны все шесть графиков, буквы около кривых соответствуют пунктам задания.
263. Постройте график функции: а) y = |2x − 18|/(x − 9); б) y = |x + 3|/(3x + 9).
а) |2x − 18| = 2|x − 9|, поэтому y = 2|x − 9|/(x − 9), x ≠ 9.
Если x > 9, то |x − 9| = x − 9 и y = 2. Если x < 9, то |x − 9| = −(x − 9) и y = −2.
График — два луча: y = −2 при x < 9 и y = 2 при x > 9; точки с абсциссой 9 выколоты: (9; −2) и (9; 2).
б) 3x + 9 = 3(x + 3), поэтому y = |x + 3|/(3(x + 3)), x ≠ −3.
Если x > −3, то |x + 3| = x + 3 и y = 1/3. Если x < −3, то y = −1/3.
График — два луча: y = −1/3 при x < −3 и y = 1/3 при x > −3; точки (−3; −1/3) и (−3; 1/3) выколоты.
Если x > 9, то |x − 9| = x − 9 и y = 2. Если x < 9, то |x − 9| = −(x − 9) и y = −2.
График — два луча: y = −2 при x < 9 и y = 2 при x > 9; точки с абсциссой 9 выколоты: (9; −2) и (9; 2).
б) 3x + 9 = 3(x + 3), поэтому y = |x + 3|/(3(x + 3)), x ≠ −3.
Если x > −3, то |x + 3| = x + 3 и y = 1/3. Если x < −3, то y = −1/3.
График — два луча: y = −1/3 при x < −3 и y = 1/3 при x > −3; точки (−3; −1/3) и (−3; 1/3) выколоты.