Глава II. §4. п.10 Действительные числа — с. 68
268. Приведите пример: а) рационального числа; б) иррационального числа.
а) Рациональное число — число, которое можно записать в виде дроби m/n, где m — целое, n — натуральное. Например, 3/4 (или 0,75; −5; 2,(3)).
б) Иррациональное число — бесконечная десятичная непериодическая дробь. Например, √2 (число, квадрат которого равен 2), число π = 3,14159..., или 0,1010010001... (после каждой единицы число нулей увеличивается на один).
б) Иррациональное число — бесконечная десятичная непериодическая дробь. Например, √2 (число, квадрат которого равен 2), число π = 3,14159..., или 0,1010010001... (после каждой единицы число нулей увеличивается на один).
269. Верно ли, что: а) каждое рациональное число является действительным; б) каждое действительное число является рациональным; в) каждое иррациональное число является действительным; г) каждое действительное число является иррациональным?
Действительные числа — это все рациональные и все иррациональные числа вместе.
а) Верно: рациональные числа входят в множество действительных.
б) Неверно: например, √2 — действительное число, но не рациональное.
в) Верно: иррациональные числа тоже входят в множество действительных.
г) Неверно: например, число 5 — действительное, но не иррациональное.
а) Верно: рациональные числа входят в множество действительных.
б) Неверно: например, √2 — действительное число, но не рациональное.
в) Верно: иррациональные числа тоже входят в множество действительных.
г) Неверно: например, число 5 — действительное, но не иррациональное.
270. Среди чисел 1/7; 0; 0,25; −2,(3); 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); 4,2(51); 217; π укажите рациональные и иррациональные.
Рациональные числа — это конечные десятичные дроби, периодические дроби и целые числа (их можно записать как m/n).
Рациональные: 1/7 (обыкновенная дробь), 0, 0,25 (конечная десятичная дробь), −2,(3) (периодическая дробь), 4,2(51) (периодическая дробь), 217 (целое число).
Иррациональные: 0,818118111... (бесконечная непериодическая дробь: группы единиц между восьмёрками всё время удлиняются) и π.
Рациональные: 1/7 (обыкновенная дробь), 0, 0,25 (конечная десятичная дробь), −2,(3) (периодическая дробь), 4,2(51) (периодическая дробь), 217 (целое число).
Иррациональные: 0,818118111... (бесконечная непериодическая дробь: группы единиц между восьмёрками всё время удлиняются) и π.
271. Верно ли, что: а) 7,16 ∈ N; 7,16 ∈ Z; 7,16 ∈ Q; 7,16 ∈ R; б) 409 ∈ N; 409 ∈ Z; 409 ∈ Q; 409 ∈ R; в) π ∈ N; π ∈ Z; π ∈ Q; π ∈ R?
N — натуральные числа, Z — целые, Q — рациональные, R — действительные.
а) 7,16 не целое число, поэтому 7,16 ∈ N — неверно; 7,16 ∈ Z — неверно; 7,16 = 716/100 — рациональное, поэтому 7,16 ∈ Q — верно; 7,16 ∈ R — верно.
б) 409 — натуральное число, значит все четыре утверждения верны: 409 ∈ N, 409 ∈ Z, 409 ∈ Q, 409 ∈ R.
в) π — иррациональное число: π ∈ N — неверно; π ∈ Z — неверно; π ∈ Q — неверно; π ∈ R — верно.
а) 7,16 не целое число, поэтому 7,16 ∈ N — неверно; 7,16 ∈ Z — неверно; 7,16 = 716/100 — рациональное, поэтому 7,16 ∈ Q — верно; 7,16 ∈ R — верно.
б) 409 — натуральное число, значит все четыре утверждения верны: 409 ∈ N, 409 ∈ Z, 409 ∈ Q, 409 ∈ R.
в) π — иррациональное число: π ∈ N — неверно; π ∈ Z — неверно; π ∈ Q — неверно; π ∈ R — верно.
272. Сравните: а) 7,653... и 7,563...; б) 0,123... и 0,114...; в) −48,075... и −48,275...; г) −1,444... и −1,456... .
Бесконечные десятичные дроби сравнивают поразрядно, как конечные.
а) Целые части равны, десятые: 6 > 5, поэтому 7,653... > 7,563... .
б) Целые и десятые равны, сотые: 2 > 1, поэтому 0,123... > 0,114... .
в) Числа отрицательные: больше то, у которого модуль меньше. 48,075... < 48,275... (десятые 0 < 2), поэтому −48,075... > −48,275... .
г) 1,444... < 1,456... (сотые 4 < 5), поэтому −1,444... > −1,456... .
а) Целые части равны, десятые: 6 > 5, поэтому 7,653... > 7,563... .
б) Целые и десятые равны, сотые: 2 > 1, поэтому 0,123... > 0,114... .
в) Числа отрицательные: больше то, у которого модуль меньше. 48,075... < 48,275... (десятые 0 < 2), поэтому −48,075... > −48,275... .
г) 1,444... < 1,456... (сотые 4 < 5), поэтому −1,444... > −1,456... .
273. Какое из чисел больше: а) 1,(56) или 1,56; б) −4,(45) или −4,45; в) 1 2/3 или 1,6668; г) −0,228 или −5/22; д) π или 3,1415; е) 3,(14) или π?
Запишем периодические дроби подробно и сравним поразрядно.
а) 1,(56) = 1,565656... ; 1,56 = 1,560000... . Тысячные: 5 > 0, значит больше 1,(56).
б) −4,(45) = −4,4545... ; сравним модули: 4,4545... > 4,4500..., значит −4,(45) < −4,45. Больше −4,45.
в) 1 2/3 = 1,6666... ; 1,6666... < 1,6668 (в четвёртом знаке 6 < 8). Больше 1,6668.
г) −5/22 = −0,22727... ; модули: 0,228 > 0,2272..., поэтому −0,228 < −5/22. Больше −5/22.
д) π = 3,14159... > 3,1415 (в пятом знаке 9 > 0, остальные цифры совпадают). Больше π.
е) 3,(14) = 3,141414... ; π = 3,14159... . До четвёртого знака совпадают (3,141), в четвёртом 4 < 5, поэтому π больше.
а) 1,(56) = 1,565656... ; 1,56 = 1,560000... . Тысячные: 5 > 0, значит больше 1,(56).
б) −4,(45) = −4,4545... ; сравним модули: 4,4545... > 4,4500..., значит −4,(45) < −4,45. Больше −4,45.
в) 1 2/3 = 1,6666... ; 1,6666... < 1,6668 (в четвёртом знаке 6 < 8). Больше 1,6668.
г) −5/22 = −0,22727... ; модули: 0,228 > 0,2272..., поэтому −0,228 < −5/22. Больше −5/22.
д) π = 3,14159... > 3,1415 (в пятом знаке 9 > 0, остальные цифры совпадают). Больше π.
е) 3,(14) = 3,141414... ; π = 3,14159... . До четвёртого знака совпадают (3,141), в четвёртом 4 < 5, поэтому π больше.