Глава I. §3. п.8 Функция y=k/x и её график — с. 51
197. Установите соответствие между функциями и их графиками (рис. 9). а) y = 6/x; б) y = 1/(6x); в) y = −6/x; г) y = −1/(6x). [рисунок 9: четыре графика гипербол 1–4: 1 — I и III четверти, ветви далеко от осей; 2 — II и IV четверти, ветви далеко от осей; 3 — I и III четверти, ветви прижаты к осям; 4 — II и IV четверти, ветви прижаты к осям]
При k > 0 график в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. Чем больше |k|, тем дальше ветви от осей: |6| > |1/6|.
а) y = 6/x: k > 0, |k| большой — график 1 (проходит, например, через (6; 1)).
б) y = 1/(6x): k > 0, |k| малый — график 3.
в) y = −6/x: k < 0, |k| большой — график 2.
г) y = −1/(6x): k < 0, |k| малый — график 4.
Ответ: а — 1; б — 3; в — 2; г — 4.
а) y = 6/x: k > 0, |k| большой — график 1 (проходит, например, через (6; 1)).
б) y = 1/(6x): k > 0, |k| малый — график 3.
в) y = −6/x: k < 0, |k| большой — график 2.
г) y = −1/(6x): k < 0, |k| малый — график 4.
Ответ: а — 1; б — 3; в — 2; г — 4.
198. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных: а) 5(x − y)²/(3y − 3x)²; б) (3x − 6y)²/(4(2y − x)²).
а) (3y − 3x)² = 9(y − x)² = 9(x − y)². Дробь: 5(x − y)²/(9(x − y)²) = 5/9.
б) (3x − 6y)² = 9(x − 2y)²; (2y − x)² = (x − 2y)². Дробь: 9(x − 2y)²/(4(x − 2y)²) = 9/4.
Значения 5/9 и 9/4 постоянны, не зависят от переменных.
б) (3x − 6y)² = 9(x − 2y)²; (2y − x)² = (x − 2y)². Дробь: 9(x − 2y)²/(4(x − 2y)²) = 9/4.
Значения 5/9 и 9/4 постоянны, не зависят от переменных.
199. (Задача-исследование.) При каких значениях a и b является тождеством равенство (5x + 31)/((x − 5)(x + 2)) = a/(x − 5) + b/(x + 2)?
1. Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
2. Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.
3. Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.
1) Приведём правую часть к общему знаменателю; равенство дробей с одинаковыми знаменателями — тождество, если числители равны при всех x, то есть коэффициенты при одинаковых степенях x совпадают.
2) a/(x − 5) + b/(x + 2) = (a(x + 2) + b(x − 5))/((x − 5)(x + 2)) = ((a + b)x + 2a − 5b)/((x − 5)(x + 2)). Приравниваем числители: (a + b)x + 2a − 5b = 5x + 31. Система: a + b = 5, 2a − 5b = 31. Из первого a = 5 − b; 10 − 2b − 5b = 31; −7b = 21; b = −3; a = 8.
3) Проверка: 8/(x − 5) − 3/(x + 2) = (8(x + 2) − 3(x − 5))/((x − 5)(x + 2)) = (5x + 31)/((x − 5)(x + 2)).
Ответ: a = 8, b = −3.
2) a/(x − 5) + b/(x + 2) = (a(x + 2) + b(x − 5))/((x − 5)(x + 2)) = ((a + b)x + 2a − 5b)/((x − 5)(x + 2)). Приравниваем числители: (a + b)x + 2a − 5b = 5x + 31. Система: a + b = 5, 2a − 5b = 31. Из первого a = 5 − b; 10 − 2b − 5b = 31; −7b = 21; b = −3; a = 8.
3) Проверка: 8/(x − 5) − 3/(x + 2) = (8(x + 2) − 3(x − 5))/((x − 5)(x + 2)) = (5x + 31)/((x − 5)(x + 2)).
Ответ: a = 8, b = −3.