Глава I. §3. п.8 Функция y=k/x и её график — с. 50
192. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания a см и b см и высотой 20 см имеет объём, равный 120 см³. Выразите формулой зависимость b от a. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью?
Какова область определения этой функции?
Постройте график.
Объём V = a · b · 20 = 120, откуда ab = 6 и b = 6/a.
Это формула вида y = k/x с k = 6 ≠ 0, значит, зависимость — обратная пропорциональность.
По смыслу задачи a — длина стороны, поэтому a > 0; область определения: все положительные числа (математически функция b = 6/a определена при a ≠ 0).
График: точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), (0,5; 12) и т. д.; по смыслу задачи строим только ветвь в I четверти.
Ответ: b = 6/a; да; a > 0.
Это формула вида y = k/x с k = 6 ≠ 0, значит, зависимость — обратная пропорциональность.
По смыслу задачи a — длина стороны, поэтому a > 0; область определения: все положительные числа (математически функция b = 6/a определена при a ≠ 0).
График: точки (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), (0,5; 12) и т. д.; по смыслу задачи строим только ветвь в I четверти.
Ответ: b = 6/a; да; a > 0.
193. Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку: а) A(8; 0,125); б) B(2/3; 1 4/5); в) C(−25; −0,2).
Для y = k/x коэффициент k = xy.
а) k = 8 · 0,125 = 1; y = 1/x.
б) k = 2/3 · 9/5 = 6/5 = 1,2; y = 1,2/x.
в) k = (−25) · (−0,2) = 5; y = 5/x.
Ответ: а) y = 1/x; б) y = 1,2/x; в) y = 5/x.
а) k = 8 · 0,125 = 1; y = 1/x.
б) k = 2/3 · 9/5 = 6/5 = 1,2; y = 1,2/x.
в) k = (−25) · (−0,2) = 5; y = 5/x.
Ответ: а) y = 1/x; б) y = 1,2/x; в) y = 5/x.
194. На рисунке 7 построен график зависимости времени, затрачиваемого на путь из пункта A в пункт B, от скорости движения. С помощью графика ответьте на вопросы: а) Сколько времени потребуется на путь из A в B при скорости движения 80 км/ч? 25 км/ч? 40 км/ч? б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из пункта A в пункт B за 1 ч? за 4 ч? за 8 ч? за 16 ч? в) Каково расстояние между пунктами A и B? [рисунок 7: график t(v), гипербола; осью v — км/ч, осью t — ч]
По графику: при v = 20 км/ч t = 4 ч, при v = 40 км/ч t = 2 ч, при v = 80 км/ч t = 1 ч, при v = 5 км/ч t = 16 ч. Произведение vt всегда равно 80, то есть t = 80/v.
а) v = 80: t = 1 ч; v = 25: t = 80/25 = 3,2 ч; v = 40: t = 2 ч.
б) t = 1 ч: v = 80 км/ч; t = 4 ч: v = 20 км/ч; t = 8 ч: v = 10 км/ч; t = 16 ч: v = 5 км/ч.
в) s = vt = 80 км.
Ответ: а) 1 ч; 3,2 ч; 2 ч; б) 80; 20; 10; 5 км/ч; в) 80 км.
а) v = 80: t = 1 ч; v = 25: t = 80/25 = 3,2 ч; v = 40: t = 2 ч.
б) t = 1 ч: v = 80 км/ч; t = 4 ч: v = 20 км/ч; t = 8 ч: v = 10 км/ч; t = 16 ч: v = 5 км/ч.
в) s = vt = 80 км.
Ответ: а) 1 ч; 3,2 ч; 2 ч; б) 80; 20; 10; 5 км/ч; в) 80 км.
195. Определите знак числа k, зная, что график функции y = k/x расположен: а) в первой и третьей координатных четвертях; б) во второй и четвёртой координатных четвертях.
а) В I и III четвертях x и y одного знака, значит k = xy > 0.
б) Во II и IV четвертях x и y разных знаков, значит k = xy < 0.
Ответ: а) k > 0; б) k < 0.
б) Во II и IV четвертях x и y разных знаков, значит k = xy < 0.
Ответ: а) k > 0; б) k < 0.
196. На рисунке 8 построен график одной из следующих функций: 1. y = −5/x; 2. y = −3/x; 3. y = 3/x; 4. y = 5/x. Укажите эту функцию. [рисунок 8: гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях]
Ветви графика лежат во II и IV четвертях, значит k < 0; подходят функции 1 и 2. Возьмём точку графика: при x = −1 по рисунку y = 3 (при x = −3 значение y = 1). Тогда k = xy = −3. Следовательно, y = −3/x (проверка: x = 1 даёт y = −3 на правой ветви).
Ответ: 2.
Ответ: 2.