Глава I. §3. п.8 Функция y=k/x и её график — с. 49
185. Известно, что некоторая функция — обратная пропорциональность. Задайте её формулой, зная, что значению аргумента, равному 2, соответствует значение функции, равное 12.
Обратная пропорциональность задаётся формулой y = k/x. Подставим x = 2, y = 12: 12 = k/2, k = 24.
Ответ: y = 24/x.
Ответ: y = 24/x.
186. На рисунке 6 построен график функции, заданной формулой y = 8/x. Найдите по графику: а) значение y, соответствующее значению x, равному 2; 4; −1; −4; −5; б) значение x, которому соответствует значение y, равное −4; −2; 8. [рисунок 6: гипербола y = 8/x на клетчатой плоскости]
По графику (и проверяя формулой y = 8/x):
а) x = 2: y = 4; x = 4: y = 2; x = −1: y = −8; x = −4: y = −2; x = −5: y = −1,6.
б) y = −4: x = −2; y = −2: x = −4; y = 8: x = 1.
Ответ: а) 4; 2; −8; −2; −1,6; б) −2; −4; 1.
а) x = 2: y = 4; x = 4: y = 2; x = −1: y = −8; x = −4: y = −2; x = −5: y = −1,6.
б) y = −4: x = −2; y = −2: x = −4; y = 8: x = 1.
Ответ: а) 4; 2; −8; −2; −1,6; б) −2; −4; 1.
187. Постройте график функции, заданной формулой y = −8/x. Найдите по графику: а) значение y, соответствующее значению x, равному 4; 2,5; 1,5; −1; −2,5; б) значение x, которому соответствует значение y, равное 8; −2.
Область определения: x ≠ 0. Таблица значений: x = 1, 2, 4, 8 даёт y = −8, −4, −2, −1; x = −1, −2, −4, −8 даёт y = 8, 4, 2, 1. Точки соединяем плавными линиями: две ветви гиперболы во II и IV четвертях.
а) x = 4: y = −2; x = 2,5: y = −3,2; x = 1,5: y = −16/3 ≈ −5,3; x = −1: y = 8; x = −2,5: y = 3,2.
б) y = 8: x = −1; y = −2: x = 4.
График построен на рисунке.
а) x = 4: y = −2; x = 2,5: y = −3,2; x = 1,5: y = −16/3 ≈ −5,3; x = −1: y = 8; x = −2,5: y = 3,2.
б) y = 8: x = −1; y = −2: x = 4.
График построен на рисунке.
188. Постройте график функции: а) y = 2/x; б) y = −2/x; в) y = 3/x; г) y = −4/x; д) y = 1/(2x); е) y = −2/(5x).
Графики — гиперболы, x ≠ 0. При k > 0 ветви лежат в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV; чем больше |k|, тем дальше кривая от осей. Строим по точкам, ветви симметричны относительно начала координат.
а) y = 2/x: (1; 2), (2; 1), (4; 0,5), (−1; −2), (−2; −1), (−4; −0,5).
б) y = −2/x: (1; −2), (2; −1), (4; −0,5), (−1; 2), (−2; 1), (−4; 0,5).
в) y = 3/x: (1; 3), (3; 1), (6; 0,5), (−1; −3), (−3; −1), (−6; −0,5).
г) y = −4/x: (1; −4), (2; −2), (4; −1), (−1; 4), (−2; 2), (−4; 1).
д) y = 1/(2x): (0,5; 1), (1; 0,5), (2; 0,25), (−0,5; −1), (−1; −0,5), (−2; −0,25).
е) y = −2/(5x): (0,4; −1), (1; −0,4), (2; −0,2), (−0,4; 1), (−1; 0,4), (−2; 0,2).
Графики построены на рисунке: слева а), в), д), справа б), г), е).
а) y = 2/x: (1; 2), (2; 1), (4; 0,5), (−1; −2), (−2; −1), (−4; −0,5).
б) y = −2/x: (1; −2), (2; −1), (4; −0,5), (−1; 2), (−2; 1), (−4; 0,5).
в) y = 3/x: (1; 3), (3; 1), (6; 0,5), (−1; −3), (−3; −1), (−6; −0,5).
г) y = −4/x: (1; −4), (2; −2), (4; −1), (−1; 4), (−2; 2), (−4; 1).
д) y = 1/(2x): (0,5; 1), (1; 0,5), (2; 0,25), (−0,5; −1), (−1; −0,5), (−2; −0,25).
е) y = −2/(5x): (0,4; −1), (1; −0,4), (2; −0,2), (−0,4; 1), (−1; 0,4), (−2; 0,2).
Графики построены на рисунке: слева а), в), д), справа б), г), е).
189. Постройте график функции y = 6/x и, используя его, решите уравнение: а) 6/x = x; б) 6/x = −x + 6.
Решения уравнения — абсциссы точек пересечения гиперболы y = 6/x с графиком правой части.
а) Строим прямую y = x. Она пересекает гиперболу в двух точках, абсциссы которых приближённо x ≈ −2,4 и x ≈ 2,4. Проверка: 6/x = x даёт x² = 6, x = ±√6 ≈ ±2,45.
б) Строим прямую y = −x + 6 (через точки (0; 6) и (6; 0)). Она пересекает гиперболу в двух точках с абсциссами x ≈ 1,3 и x ≈ 4,7. Проверка: x² − 6x + 6 = 0, x = 3 ± √3 ≈ 1,27 и 4,73.
Ответ: а) x ≈ ±2,4 (точно ±√6); б) x ≈ 1,3 и x ≈ 4,7 (точно 3 ± √3).
а) Строим прямую y = x. Она пересекает гиперболу в двух точках, абсциссы которых приближённо x ≈ −2,4 и x ≈ 2,4. Проверка: 6/x = x даёт x² = 6, x = ±√6 ≈ ±2,45.
б) Строим прямую y = −x + 6 (через точки (0; 6) и (6; 0)). Она пересекает гиперболу в двух точках с абсциссами x ≈ 1,3 и x ≈ 4,7. Проверка: x² − 6x + 6 = 0, x = 3 ± √3 ≈ 1,27 и 4,73.
Ответ: а) x ≈ ±2,4 (точно ±√6); б) x ≈ 1,3 и x ≈ 4,7 (точно 3 ± √3).
190. Решите графически уравнение: а) 8/x = x²; б) 8/x = x³.
Строим в одной системе координат графики y = 8/x, y = x² и y = x³; корни — абсциссы точек пересечения.
а) Гипербола и парабола y = x² пересекаются в одной точке (2; 4. (при x < 0 гипербола ниже оси x, а парабола выше). Проверка: x³ = 8, x = 2.
б) Гипербола и кубическая парабола пересекаются в двух точках, симметричных относительно начала координат, с абсциссами x ≈ 1,7 и x ≈ −1,7. Проверка: x⁴ = 8, x = ±⁴√8 ≈ ±1,68.
Ответ: а) x = 2; б) x ≈ ±1,7.
а) Гипербола и парабола y = x² пересекаются в одной точке (2; 4. (при x < 0 гипербола ниже оси x, а парабола выше). Проверка: x³ = 8, x = 2.
б) Гипербола и кубическая парабола пересекаются в двух точках, симметричных относительно начала координат, с абсциссами x ≈ 1,7 и x ≈ −1,7. Проверка: x⁴ = 8, x = ±⁴√8 ≈ ±1,68.
Ответ: а) x = 2; б) x ≈ ±1,7.
191. (Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение: а) k/x = x², где k > 0; б) k/x = x², где k < 0; в) k/x = x³, где k > 0; г) k/x = x³, где k < 0. 1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функций y = k/x. 3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.
Решения — абсциссы общих точек графиков. Гипербола y = k/x при k > 0 лежит в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. Парабола y = x² — в I и II четвертях, кубическая парабола y = x³ — в I и III.
а) k > 0: гипербола (I, III) и парабола (I, II) могут встретиться только в I четверти, и там ровно одна точка. Одно решение (x = ∛k).
б) k < 0: гипербола (II, IV) и парабола (I, II) встречаются только во II четверти, там ровно одна точка. Одно решение (x = ∛k < 0).
в) k > 0: гипербола (I, III) и кубическая парабола (I, III) пересекаются по одной точке в I и в III четвертях, симметричных относительно начала координат. Два решения (x = ±⁴√k).
г) k < 0: гипербола (II, IV) и кубическая парабола (I, III) не имеют общих точек. Решений нет.
Проверка алгебраически: k/x = x² ⇒ x³ = k, один корень при любом k; k/x = x³ ⇒ x⁴ = k, два корня при k > 0 и ни одного при k < 0.
Ответ: а) 1; б) 1; в) 2; г) 0.
а) k > 0: гипербола (I, III) и парабола (I, II) могут встретиться только в I четверти, и там ровно одна точка. Одно решение (x = ∛k).
б) k < 0: гипербола (II, IV) и парабола (I, II) встречаются только во II четверти, там ровно одна точка. Одно решение (x = ∛k < 0).
в) k > 0: гипербола (I, III) и кубическая парабола (I, III) пересекаются по одной точке в I и в III четвертях, симметричных относительно начала координат. Два решения (x = ±⁴√k).
г) k < 0: гипербола (II, IV) и кубическая парабола (I, III) не имеют общих точек. Решений нет.
Проверка алгебраически: k/x = x² ⇒ x³ = k, один корень при любом k; k/x = x³ ⇒ x⁴ = k, два корня при k > 0 и ни одного при k < 0.
Ответ: а) 1; б) 1; в) 2; г) 0.