Глава I. §3. п.7 Преобразование рациональных выражений — с. 45
175. Готовясь к соревнованиям, школьник трижды прошёл на лыжах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью 9 км/ч, затем со скоростью 12 км/ч и, наконец, со скоростью 10 км/ч. Какова была средняя скорость школьника на всём пути?
Пусть длина дистанции s км. Время: s/9 + s/12 + s/10 = s(20 + 15 + 18)/180 = 53s/180 ч. Весь путь 3s км. Средняя скорость: 3s : (53s/180) = 540/53 ≈ 10,2 км/ч.
Ответ: ≈ 10,2 км/ч.
Ответ: ≈ 10,2 км/ч.
176. Найдите координаты точек пересечения с осью x и осью y графика функции: а) y = 1/2 x − 2; б) y = −0,4x + 2. Постройте график этой функции.
а) С осью x: y = 0, тогда x/2 − 2 = 0, x = 4. С осью y: x = 0, тогда y = −2. Точки (4; 0) и (0; −2); график — прямая через эти точки.
б) С осью x: y = 0, тогда −0,4x + 2 = 0, x = 5. С осью y: x = 0, тогда y = 2. Точки (5; 0) и (0; 2); график — прямая через эти точки.
Ответ: а) (4; 0) и (0; −2); б) (5; 0) и (0; 2). Графики построены на рисунке.
б) С осью x: y = 0, тогда −0,4x + 2 = 0, x = 5. С осью y: x = 0, тогда y = 2. Точки (5; 0) и (0; 2); график — прямая через эти точки.
Ответ: а) (4; 0) и (0; −2); б) (5; 0) и (0; 2). Графики построены на рисунке.
177. Напишите уравнение прямой: а) проходящей через точку (0; 4) и параллельной прямой y = 3x; б) проходящей через начало координат и параллельной прямой y = −1/2 x − 8.
Параллельные прямые y = kx + b имеют равные угловые коэффициенты k.
а) k = 3; прямая проходит через (0; 4), значит b = 4: y = 3x + 4.
б) k = −1/2; прямая проходит через начало координат, значит b = 0: y = −1/2 x.
Ответ: а) y = 3x + 4; б) y = −1/2 x.
а) k = 3; прямая проходит через (0; 4), значит b = 4: y = 3x + 4.
б) k = −1/2; прямая проходит через начало координат, значит b = 0: y = −1/2 x.
Ответ: а) y = 3x + 4; б) y = −1/2 x.
178. Изобразите схематически график функции, заданной формулой вида y = kx + b, если: а) k > 0, b > 0; б) k < 0, b > 0; в) k < 0, b < 0; г) k = 0, b > 0.
График — прямая; k задаёт наклон, b — ординату точки пересечения с осью y.
а) k > 0: прямая идёт вверх (функция возрастает); b > 0: пересекает ось y выше начала координат.
б) k < 0: прямая идёт вниз; b > 0: пересекает ось y выше начала координат.
в) k < 0: прямая идёт вниз; b < 0: пересекает ось y ниже начала координат.
г) k = 0: y = b, горизонтальная прямая выше оси x (b > 0).
Рисунок приведён.
а) k > 0: прямая идёт вверх (функция возрастает); b > 0: пересекает ось y выше начала координат.
б) k < 0: прямая идёт вниз; b > 0: пересекает ось y выше начала координат.
в) k < 0: прямая идёт вниз; b < 0: пересекает ось y ниже начала координат.
г) k = 0: y = b, горизонтальная прямая выше оси x (b > 0).
Рисунок приведён.
179. Одна сторона прямоугольника на 20 см больше другой. Если меньшую сторону увеличить вдвое, а бо́льшую — втрое, то периметр нового прямоугольника окажется равным 240 см. Найдите стороны данного прямоугольника.
Пусть меньшая сторона x см, тогда бо́льшая x + 20 см. Новые стороны: 2x и 3(x + 20). Периметр: 2(2x + 3(x + 20)) = 240.
2x + 3x + 60 = 120; 5x = 60; x = 12. Бо́льшая сторона 12 + 20 = 32 см.
Проверка: 2(24 + 96) = 240.
Ответ: 12 см и 32 см.
2x + 3x + 60 = 120; 5x = 60; x = 12. Бо́льшая сторона 12 + 20 = 32 см.
Проверка: 2(24 + 96) = 240.
Ответ: 12 см и 32 см.
180. Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми 710 км. Скорый поезд вышел на час раньше пассажирского и идёт со скоростью 110 км/ч. Через сколько часов после своего отправления он встретится с пассажирским поездом, если скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч?
Пусть скорый поезд был в пути до встречи t ч, тогда пассажирский — t − 1 ч. Расстояния: 110t и 90(t − 1). Вместе они равны 710 км.
110t + 90(t − 1) = 710; 200t − 90 = 710; 200t = 800; t = 4.
Проверка: 440 + 270 = 710.
Ответ: через 4 ч.
110t + 90(t − 1) = 710; 200t − 90 = 710; 200t = 800; t = 4.
Проверка: 440 + 270 = 710.
Ответ: через 4 ч.