Глава I. §3. п.7 Преобразование рациональных выражений — с. 43
159. При каком значении a выражение (0,5(a − 1)² − 18)((a + 5)/(a − 7) + (a − 7)/(a + 5)) принимает наименьшее значение?
Найдите это значение.
Первая скобка: 0,5((a − 1)² − 36) = 0,5(a − 1 − 6)(a − 1 + 6) = 0,5(a − 7)(a + 5). Вторая скобка: ((a + 5)² + (a − 7)²)/((a − 7)(a + 5)) = (2a² − 4a + 74)/((a − 7)(a + 5)). Произведение: 0,5(2a² − 4a + 74) = a² − 2a + 37 = (a − 1)² + 36.
Так как (a − 1)² ≥ 0, наименьшее значение 36 достигается при a = 1 (допустимо: a ≠ 7, a ≠ −5).
Ответ: при a = 1; наименьшее значение 36.
Так как (a − 1)² ≥ 0, наименьшее значение 36 достигается при a = 1 (допустимо: a ≠ 7, a ≠ −5).
Ответ: при a = 1; наименьшее значение 36.
160. При каком значении b выражение 81/((0,5b + 9)² + (0,5b − 9)²) принимает наибольшее значение?
Найдите это значение.
Знаменатель: (0,5b + 9)² + (0,5b − 9)² = 2 · 0,25b² + 2 · 81 = 0,5b² + 162. Дробь с положительным числителем наибольшая, когда знаменатель наименьший. Наименьшее значение 0,5b² + 162 равно 162 при b = 0. Тогда дробь равна 81/162 = 1/2.
Ответ: при b = 0; наибольшее значение 1/2.
Ответ: при b = 0; наибольшее значение 1/2.
161. Докажите тождество: а) (2p − q)/(pq) − 1/(p + q) · (p/q − q/p) = 1/q; б) (a + b)/(2(a − b)) − (a − b)/(2(a + b)) = b/(a − b) − (b² − ab)/(a² − b²).
а) p/q − q/p = (p² − q²)/(pq) = (p − q)(p + q)/(pq). Умножим на 1/(p + q): (p − q)/(pq). Левая часть: (2p − q)/(pq) − (p − q)/(pq) = (2p − q − p + q)/(pq) = p/(pq) = 1/q. Равна правой части, тождество доказано.
б) Левая часть: ((a + b)² − (a − b)²)/(2(a − b)(a + b)) = 4ab/(2(a² − b²)) = 2ab/(a² − b²). Правая часть: b/(a − b) − (b² − ab)/(a² − b²) = (b(a + b) − b² + ab)/(a² − b²) = (ab + b² − b² + ab)/(a² − b²) = 2ab/(a² − b²). Части равны, тождество доказано.
б) Левая часть: ((a + b)² − (a − b)²)/(2(a − b)(a + b)) = 4ab/(2(a² − b²)) = 2ab/(a² − b²). Правая часть: b/(a − b) − (b² − ab)/(a² − b²) = (b(a + b) − b² + ab)/(a² − b²) = (ab + b² − b² + ab)/(a² − b²) = 2ab/(a² − b²). Части равны, тождество доказано.
162. Докажите тождество: а) (1,2x² − xy)/(0,36x² − 0,25y²) = 20x/(6x + 5y); б) (4,5a + 4x)/(0,81a² − 0,64x²) = 50/(9a − 8x).
а) Умножим числитель левой дроби на 10, а знаменатель на 100 (дробь при этом умножится на 10): числитель 12x² − 10xy = 2x(6x − 5y), знаменатель 36x² − 25y² = (6x − 5y)(6x + 5y). Тогда дробь равна 10 · 2x(6x − 5y)/((6x − 5y)(6x + 5y)) = 20x/(6x + 5y). Тождество доказано.
б) Умножим числитель на 10, знаменатель на 100: числитель 45a + 40x = 5(9a + 8x), знаменатель 81a² − 64x² = (9a − 8x)(9a + 8x). Дробь равна 10 · 5(9a + 8x)/((9a − 8x)(9a + 8x)) = 50/(9a − 8x). Тождество доказано.
б) Умножим числитель на 10, знаменатель на 100: числитель 45a + 40x = 5(9a + 8x), знаменатель 81a² − 64x² = (9a − 8x)(9a + 8x). Дробь равна 10 · 5(9a + 8x)/((9a − 8x)(9a + 8x)) = 50/(9a − 8x). Тождество доказано.
163. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных: а) (2ab/(a² − b²) + (a − b)/(2a + 2b)) · 2a/(a + b) + b/(b − a); б) y/(x − y) − (x³ − xy²)/(x² + y²) · (x/(x − y)² − y/(x² − y²)).
а) В скобках общий знаменатель 2(a − b)(a + b): (4ab + (a − b)²)/(2(a² − b²)) = (a + b)²/(2(a − b)(a + b)) = (a + b)/(2(a − b)). Умножим на 2a/(a + b): a/(a − b). Прибавим b/(b − a) = −b/(a − b): (a − b)/(a − b) = 1.
Значение выражения всегда равно 1.
б) x³ − xy² = x(x − y)(x + y). Скобка: (x(x + y) − y(x − y))/((x − y)²(x + y)) = (x² + y²)/((x − y)²(x + y)). Произведение: x(x − y)(x + y)/(x² + y²) · (x² + y²)/((x − y)²(x + y)) = x/(x − y). Тогда y/(x − y) − x/(x − y) = (y − x)/(x − y) = −1.
Значение выражения всегда равно −1.
Значение выражения всегда равно 1.
б) x³ − xy² = x(x − y)(x + y). Скобка: (x(x + y) − y(x − y))/((x − y)²(x + y)) = (x² + y²)/((x − y)²(x + y)). Произведение: x(x − y)(x + y)/(x² + y²) · (x² + y²)/((x − y)²(x + y)) = x/(x − y). Тогда y/(x − y) − x/(x − y) = (y − x)/(x − y) = −1.
Значение выражения всегда равно −1.
164. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (9/n² + n/3) : (3/n² − 1/n + 1/3) является натуральным числом.
9/n² + n/3 = (27 + n³)/(3n²); 3/n² − 1/n + 1/3 = (9 − 3n + n²)/(3n²). Частное: (n³ + 27)/(n² − 3n + 9) = (n + 3)(n² − 3n + 9)/(n² − 3n + 9) = n + 3 (знаменатель n² − 3n + 9 = (n − 1,5)² + 6,75 не равен нулю).
При натуральном n число n + 3 натуральное, что и требовалось доказать.
При натуральном n число n + 3 натуральное, что и требовалось доказать.
165. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби: а) (n + 1/n)²; б) (a/b − b/a)²; в) (x/y + 1)² + (x/y − 1)²; г) (p/q + q/p)² − (p/q − q/p)².
а) n² + 2 + 1/n² = (n⁴ + 2n² + 1)/n² = (n² + 1)²/n².
б) a²/b² − 2 + b²/a² = (a⁴ − 2a²b² + b⁴)/(a²b²) = (a² − b²)²/(a²b²).
в) x²/y² + 2x/y + 1 + x²/y² − 2x/y + 1 = 2x²/y² + 2 = (2x² + 2y²)/y².
г) Раскрываем скобки: p²/q² + 2 + q²/p² − p²/q² + 2 − q²/p² = 4.
Ответ: а) (n² + 1)²/n²; б) (a² − b²)²/(a²b²); в) 2(x² + y²)/y²; г) 4.
б) a²/b² − 2 + b²/a² = (a⁴ − 2a²b² + b⁴)/(a²b²) = (a² − b²)²/(a²b²).
в) x²/y² + 2x/y + 1 + x²/y² − 2x/y + 1 = 2x²/y² + 2 = (2x² + 2y²)/y².
г) Раскрываем скобки: p²/q² + 2 + q²/p² − p²/q² + 2 − q²/p² = 4.
Ответ: а) (n² + 1)²/n²; б) (a² − b²)²/(a²b²); в) 2(x² + y²)/y²; г) 4.
166. Упростите выражение: а) (1 − 1/x)/(1 + 1/x); б) ((2a − b)/b + 1)/((2a + b)/b − 1); в) (x/y² + y/x²)/(x/y² − y/x²); г) (1/a + 1/b + 1/c)/(1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ac)).
а) Числитель (x − 1)/x, знаменатель (x + 1)/x. Частное (x − 1)/(x + 1).
б) Числитель: (2a − b + b)/b = 2a/b; знаменатель: (2a + b − b)/b = 2a/b. Частное равно 1.
в) x/y² + y/x² = (x³ + y³)/(x²y²); x/y² − y/x² = (x³ − y³)/(x²y²). Частное (x³ + y³)/(x³ − y³).
г) Числитель: (bc + ac + ab)/(abc); знаменатель: (c + a + b)/(abc). Частное (ab + bc + ac)/(a + b + c).
Ответ: а) (x − 1)/(x + 1); б) 1; в) (x³ + y³)/(x³ − y³); г) (ab + bc + ac)/(a + b + c).
б) Числитель: (2a − b + b)/b = 2a/b; знаменатель: (2a + b − b)/b = 2a/b. Частное равно 1.
в) x/y² + y/x² = (x³ + y³)/(x²y²); x/y² − y/x² = (x³ − y³)/(x²y²). Частное (x³ + y³)/(x³ − y³).
г) Числитель: (bc + ac + ab)/(abc); знаменатель: (c + a + b)/(abc). Частное (ab + bc + ac)/(a + b + c).
Ответ: а) (x − 1)/(x + 1); б) 1; в) (x³ + y³)/(x³ − y³); г) (ab + bc + ac)/(a + b + c).