Глава I. §3. п.7 Преобразование рациональных выражений — с. 41
150. Выполните действия: а) (x/y² − 1/x) : (1/y + 1/x); б) (a/m² + a²/m³) : (m²/a² + m/a); в) (ab + b²)/3 : b³/(3a) + (a + b)/b; г) (x − y)/x − 5y/x² · (x² − xy)/(5y).
а) x/y² − 1/x = (x² − y²)/(xy²); 1/y + 1/x = (x + y)/(xy). Частное: (x − y)(x + y)/(xy²) · xy/(x + y) = (x − y)/y.
Ответ: (x − y)/y.
б) a/m² + a²/m³ = (am + a²)/m³ = a(m + a)/m³; m²/a² + m/a = (m² + am)/a² = m(m + a)/a². Частное: a(m + a)/m³ · a²/(m(m + a)) = a³/m⁴.
Ответ: a³/m⁴.
в) Сначала деление: b(a + b)/3 · 3a/b³ = a(a + b)/b². Затем сложение: a(a + b)/b² + (a + b)/b = (a(a + b) + b(a + b))/b² = (a + b)²/b².
Ответ: (a + b)²/b².
г) 5y/x² · x(x − y)/(5y) = (x − y)/x. Тогда (x − y)/x − (x − y)/x = 0.
Ответ: 0.
Ответ: (x − y)/y.
б) a/m² + a²/m³ = (am + a²)/m³ = a(m + a)/m³; m²/a² + m/a = (m² + am)/a² = m(m + a)/a². Частное: a(m + a)/m³ · a²/(m(m + a)) = a³/m⁴.
Ответ: a³/m⁴.
в) Сначала деление: b(a + b)/3 · 3a/b³ = a(a + b)/b². Затем сложение: a(a + b)/b² + (a + b)/b = (a(a + b) + b(a + b))/b² = (a + b)²/b².
Ответ: (a + b)²/b².
г) 5y/x² · x(x − y)/(5y) = (x − y)/x. Тогда (x − y)/x − (x − y)/x = 0.
Ответ: 0.
151. Выполните действия: а) (x/(x + 1) + 1) · (1 + x)/(2x − 1); б) (5y²/(1 − y²)) : (1 − 1/(1 − y)); в) (4a/(2 − a) − a) : (a + 2)/(a − 2); г) (x − 2)/(x − 3) · (x + x/(2 − x)).
а) x/(x + 1) + 1 = (2x + 1)/(x + 1). Произведение: (2x + 1)/(x + 1) · (x + 1)/(2x − 1) = (2x + 1)/(2x − 1).
Ответ: (2x + 1)/(2x − 1).
б) 1 − 1/(1 − y) = (1 − y − 1)/(1 − y) = −y/(1 − y). Частное: 5y²/((1 − y)(1 + y)) · (1 − y)/(−y) = −5y/(1 + y).
Ответ: −5y/(y + 1).
в) 4a/(2 − a) − a = (4a − 2a + a²)/(2 − a) = a(a + 2)/(2 − a). Частное: a(a + 2)/(2 − a) · (a − 2)/(a + 2) = −a, так как (a − 2)/(2 − a) = −1.
Ответ: −a.
г) x + x/(2 − x) = (2x − x² + x)/(2 − x) = x(3 − x)/(2 − x) = x(x − 3)/(x − 2). Произведение: (x − 2)/(x − 3) · x(x − 3)/(x − 2) = x.
Ответ: x.
Ответ: (2x + 1)/(2x − 1).
б) 1 − 1/(1 − y) = (1 − y − 1)/(1 − y) = −y/(1 − y). Частное: 5y²/((1 − y)(1 + y)) · (1 − y)/(−y) = −5y/(1 + y).
Ответ: −5y/(y + 1).
в) 4a/(2 − a) − a = (4a − 2a + a²)/(2 − a) = a(a + 2)/(2 − a). Частное: a(a + 2)/(2 − a) · (a − 2)/(a + 2) = −a, так как (a − 2)/(2 − a) = −1.
Ответ: −a.
г) x + x/(2 − x) = (2x − x² + x)/(2 − x) = x(3 − x)/(2 − x) = x(x − 3)/(x − 2). Произведение: (x − 2)/(x − 3) · x(x − 3)/(x − 2) = x.
Ответ: x.
152. Упростите выражение: а) ((2m + 1)/(2m − 1) − (2m − 1)/(2m + 1)) : 4m/(10m − 5); б) (x + 3)/(x² + 9) · ((x + 3)/(x − 3) + (x − 3)/(x + 3)).
а) Разность: ((2m + 1)² − (2m − 1)²)/((2m − 1)(2m + 1)) = 8m/((2m − 1)(2m + 1)). Делитель 4m/(10m − 5) = 4m/(5(2m − 1)). Частное: 8m/((2m − 1)(2m + 1)) · 5(2m − 1)/(4m) = 10/(2m + 1).
Ответ: 10/(2m + 1).
Проверка при m = 1: (3 − 1/3) : (4/5) = 8/3 · 5/4 = 10/3 = 10/(2 + 1).
Оговорка: в ответах учебника 10/(2m − 1); проверено дважды, при m = 1 это дало бы 10, а прямой подсчёт даёт 10/3.
б) Сумма: ((x + 3)² + (x − 3)²)/((x − 3)(x + 3)) = (2x² + 18)/(x² − 9) = 2(x² + 9)/(x² − 9). Произведение: (x + 3)/(x² + 9) · 2(x² + 9)/((x − 3)(x + 3)) = 2/(x − 3).
Ответ: 2/(x − 3).
Ответ: 10/(2m + 1).
Проверка при m = 1: (3 − 1/3) : (4/5) = 8/3 · 5/4 = 10/3 = 10/(2 + 1).
Оговорка: в ответах учебника 10/(2m − 1); проверено дважды, при m = 1 это дало бы 10, а прямой подсчёт даёт 10/3.
б) Сумма: ((x + 3)² + (x − 3)²)/((x − 3)(x + 3)) = (2x² + 18)/(x² − 9) = 2(x² + 9)/(x² − 9). Произведение: (x + 3)/(x² + 9) · 2(x² + 9)/((x − 3)(x + 3)) = 2/(x − 3).
Ответ: 2/(x − 3).
153. Выполните действия: а) (a² − 9)/(2a² + 1) · ((6a + 1)/(a − 3) + (6a − 1)/(a + 3)); б) ((5x + y)/(x − 5y) + (5x − y)/(x + 5y)) : (x² + y²)/(x² − 25y²).
а) Сумма: ((6a + 1)(a + 3) + (6a − 1)(a − 3))/(a² − 9) = (6a² + 19a + 3 + 6a² − 19a + 3)/(a² − 9) = (12a² + 6)/(a² − 9) = 6(2a² + 1)/(a² − 9). Произведение: (a² − 9)/(2a² + 1) · 6(2a² + 1)/(a² − 9) = 6.
Ответ: 6.
б) Сумма: ((5x + y)(x + 5y) + (5x − y)(x − 5y))/(x² − 25y²) = (5x² + 26xy + 5y² + 5x² − 26xy + 5y²)/(x² − 25y²) = 10(x² + y²)/(x² − 25y²). Частное: 10(x² + y²)/(x² − 25y²) · (x² − 25y²)/(x² + y²) = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 6.
б) Сумма: ((5x + y)(x + 5y) + (5x − y)(x − 5y))/(x² − 25y²) = (5x² + 26xy + 5y² + 5x² − 26xy + 5y²)/(x² − 25y²) = 10(x² + y²)/(x² − 25y²). Частное: 10(x² + y²)/(x² − 25y²) · (x² − 25y²)/(x² + y²) = 10.
Ответ: 10.