Глава I. §3. п.6 Деление дробей — с. 37
140. Выполните деление: а) (m² − 3m)/(8x²) : 3m/(8x); б) 5a²/(6b³) : a³/(ab − b²); в) (x² + x³)/(11a²) : (4 + 4x)/a³; г) 6ax/(m² − 2m) : 8ax/(3m − 6); д) (a² − 3ab)/(3b) : (7a − 21b); е) (x² − 4y²) : (5x − 10y)/x; ж) (2a − b)² : (4a³ − ab²)/3; з) (10m − 15n) : (2m − 3n)²/(2m).
а) m(m − 3)/(8x²) · 8x/(3m) = (m − 3)/(3x).
б) 5a²/(6b³) · b(a − b)/a³ = 5(a − b)/(6ab²).
в) x²(1 + x)/(11a²) · a³/(4(1 + x)) = ax²/44.
г) 6ax/(m(m − 2)) · 3(m − 2)/(8ax) = 18/(8m) = 9/(4m).
д) a(a − 3b)/(3b) · 1/(7(a − 3b)) = a/(21b).
е) (x − 2y)(x + 2y) · x/(5(x − 2y)) = x(x + 2y)/5 = (x² + 2xy)/5.
ж) (2a − b)² · 3/(a(4a² − b²)) = 3(2a − b)²/(a(2a − b)(2a + b)) = 3(2a − b)/(a(2a + b)).
з) 5(2m − 3n) · 2m/(2m − 3n)² = 10m/(2m − 3n).
Оговорка: в печатном условии е) показатель у y плохо виден, принято (x² − 4y²).
б) 5a²/(6b³) · b(a − b)/a³ = 5(a − b)/(6ab²).
в) x²(1 + x)/(11a²) · a³/(4(1 + x)) = ax²/44.
г) 6ax/(m(m − 2)) · 3(m − 2)/(8ax) = 18/(8m) = 9/(4m).
д) a(a − 3b)/(3b) · 1/(7(a − 3b)) = a/(21b).
е) (x − 2y)(x + 2y) · x/(5(x − 2y)) = x(x + 2y)/5 = (x² + 2xy)/5.
ж) (2a − b)² · 3/(a(4a² − b²)) = 3(2a − b)²/(a(2a − b)(2a + b)) = 3(2a − b)/(a(2a + b)).
з) 5(2m − 3n) · 2m/(2m − 3n)² = 10m/(2m − 3n).
Оговорка: в печатном условии е) показатель у y плохо виден, принято (x² − 4y²).
141. Выполните действие: а) (x² − xy)/(9y²) : 2x/(3y); б) (2a³ − a²b)/(36b²) : (2a − b)/(9b³); в) (m² − 16n²) : (3m + 12n)/(mn); г) (9p² − 1)/(pq − 2q) : (1 − 3p)/(3p − 6).
а) x(x − y)/(9y²) · 3y/(2x) = (x − y)/(6y).
б) a²(2a − b)/(36b²) · 9b³/(2a − b) = a²b/4.
в) (m − 4n)(m + 4n) · mn/(3(m + 4n)) = mn(m − 4n)/3.
г) (3p − 1)(3p + 1)/(q(p − 2)) · 3(p − 2)/(1 − 3p) = −3(3p + 1)/q, так как (3p − 1)/(1 − 3p) = −1.
б) a²(2a − b)/(36b²) · 9b³/(2a − b) = a²b/4.
в) (m − 4n)(m + 4n) · mn/(3(m + 4n)) = mn(m − 4n)/3.
г) (3p − 1)(3p + 1)/(q(p − 2)) · 3(p − 2)/(1 − 3p) = −3(3p + 1)/q, так как (3p − 1)/(1 − 3p) = −1.
142. Найдите значение выражения: а) (4x² − 4x)/(x + 3) : (2x − 2), если x = 2,5; −1; б) (3a + 6b) : (2a² − 8b²)/(a + b), если a = 26, b = −12.
а) 4x(x − 1)/(x + 3) · 1/(2(x − 1)) = 2x/(x + 3).
При x = 2,5: 5/5,5 = 10/11. При x = −1: −2/2 = −1.
б) 3(a + 2b) · (a + b)/(2(a − 2b)(a + 2b)) = 3(a + b)/(2(a − 2b)).
При a = 26, b = −12: 3 · 14/(2 · (26 + 24)) = 42/100 = 0,42.
Ответ: а) 10/11; −1; б) 0,42.
При x = 2,5: 5/5,5 = 10/11. При x = −1: −2/2 = −1.
б) 3(a + 2b) · (a + b)/(2(a − 2b)(a + 2b)) = 3(a + b)/(2(a − 2b)).
При a = 26, b = −12: 3 · 14/(2 · (26 + 24)) = 42/100 = 0,42.
Ответ: а) 10/11; −1; б) 0,42.
143. Выполните деление: а) (3x + 6y)/(x² − y²) : (5x + 10y)/(x² − 2xy + y²); б) (a² + 4a + 4)/(16 − b^4) : (4 − a²)/(4 + b²).
а) 3(x + 2y)/((x − y)(x + y)) · (x − y)²/(5(x + 2y)) = 3(x − y)/(5(x + y)).
б) (a + 2)²/((4 − b²)(4 + b²)) · (4 + b²)/((2 − a)(2 + a)) = (a + 2)/((2 − a)(4 − b²)).
Ответ: а) 3(x − y)/(5(x + y)); б) (a + 2)/((2 − a)(4 − b²)).
б) (a + 2)²/((4 − b²)(4 + b²)) · (4 + b²)/((2 − a)(2 + a)) = (a + 2)/((2 − a)(4 − b²)).
Ответ: а) 3(x − y)/(5(x + y)); б) (a + 2)/((2 − a)(4 − b²)).
144. Выполните действие: а) (a² + ax + x²)/(x − 1) : (a³ − x³)/(x² − 1); б) (ap² − 9a)/(p³ − 8) : (p + 3)/(2p − 4).
а) (a² + ax + x²)/(x − 1) · (x − 1)(x + 1)/((a − x)(a² + ax + x²)) = (x + 1)/(a − x).
б) a(p − 3)(p + 3)/((p − 2)(p² + 2p + 4)) · 2(p − 2)/(p + 3) = 2a(p − 3)/(p² + 2p + 4) = (2ap − 6a)/(p² + 2p + 4).
б) a(p − 3)(p + 3)/((p − 2)(p² + 2p + 4)) · 2(p − 2)/(p + 3) = 2a(p − 3)/(p² + 2p + 4) = (2ap − 6a)/(p² + 2p + 4).
145. Из формулы 1/a + 1/b = 1/c выразите: а) переменную c через a и b; б) переменную b через a и c.
а) Сложим дроби слева: (b + a)/(ab) = 1/c. Тогда по свойству пропорции c(a + b) = ab и c = ab/(a + b).
б) 1/b = 1/c − 1/a = (a − c)/(ac), откуда b = ac/(a − c).
б) 1/b = 1/c − 1/a = (a − c)/(ac), откуда b = ac/(a − c).
146. Выполните действия: а) 2b/(2b + 3) − 5/(3 − 2b) − (4b² + 9)/(4b² − 9); б) (c + 6b)/(ac + 2bc − 6ab − 3a²) + 2b/(a² + 2ab) − b/(ac − 3a²).
а) 4b² − 9 = (2b − 3)(2b + 3), 3 − 2b = −(2b − 3), поэтому −5/(3 − 2b) = 5/(2b − 3). Общий знаменатель (2b − 3)(2b + 3):
(2b(2b − 3) + 5(2b + 3) − (4b² + 9))/((2b − 3)(2b + 3)) = (4b² − 6b + 10b + 15 − 4b² − 9)/((2b − 3)(2b + 3)) = (4b + 6)/((2b − 3)(2b + 3)) = 2(2b + 3)/((2b − 3)(2b + 3)) = 2/(2b − 3).
б) ac + 2bc − 6ab − 3a² = c(a + 2b) − 3a(2b + a) = (a + 2b)(c − 3a); a² + 2ab = a(a + 2b); ac − 3a² = a(c − 3a). Общий знаменатель a(a + 2b)(c − 3a):
(a(c + 6b) + 2b(c − 3a) − b(a + 2b))/(a(a + 2b)(c − 3a)) = (ac + 6ab + 2bc − 6ab − ab − 2b²)/(...) = (ac + 2bc − ab − 2b²)/(...).
Числитель: c(a + 2b) − b(a + 2b) = (a + 2b)(c − b). После сокращения на (a + 2b) получаем (c − b)/(a(c − 3a)).
Ответ: а) 2/(2b − 3); б) (c − b)/(a(c − 3a)) = (c − b)/(ac − 3a²).
(2b(2b − 3) + 5(2b + 3) − (4b² + 9))/((2b − 3)(2b + 3)) = (4b² − 6b + 10b + 15 − 4b² − 9)/((2b − 3)(2b + 3)) = (4b + 6)/((2b − 3)(2b + 3)) = 2(2b + 3)/((2b − 3)(2b + 3)) = 2/(2b − 3).
б) ac + 2bc − 6ab − 3a² = c(a + 2b) − 3a(2b + a) = (a + 2b)(c − 3a); a² + 2ab = a(a + 2b); ac − 3a² = a(c − 3a). Общий знаменатель a(a + 2b)(c − 3a):
(a(c + 6b) + 2b(c − 3a) − b(a + 2b))/(a(a + 2b)(c − 3a)) = (ac + 6ab + 2bc − 6ab − ab − 2b²)/(...) = (ac + 2bc − ab − 2b²)/(...).
Числитель: c(a + 2b) − b(a + 2b) = (a + 2b)(c − b). После сокращения на (a + 2b) получаем (c − b)/(a(c − 3a)).
Ответ: а) 2/(2b − 3); б) (c − b)/(a(c − 3a)) = (c − b)/(ac − 3a²).