Глава I. §3. п.5 Умножение дробей. Возведение дроби в степень — с. 34
124. Упростите выражение: а) (y² − 16)/(10xy) · 5y/(3y + 12); б) (b − a)/a · 3ab/(a² − b²).
а) (y − 4)(y + 4)/(10xy) · 5y/(3(y + 4)) = 5y(y − 4)(y + 4)/(30xy(y + 4)) = (y − 4)/(6x).
б) (b − a)/a · 3ab/((a − b)(a + b)) = −(a − b) · 3ab/(a(a − b)(a + b)) = −3b/(a + b).
б) (b − a)/a · 3ab/((a − b)(a + b)) = −(a − b) · 3ab/(a(a − b)(a + b)) = −3b/(a + b).
125. Представьте в виде дроби: а) (a² − 1)/(a − b) · (7a − 7b)/(a² + a); б) (b² + 2bc)/(b + 3) · (5b + 15)/(b² − 4c²); в) (x + 3)²/(2x − 4) · (x² − 4)/(3x + 9); г) (5 − y)²/(2y + 12) · (y² − 36)/(2y − 10).
а) (a − 1)(a + 1)/(a − b) · 7(a − b)/(a(a + 1)) = 7(a − 1)/a.
б) b(b + 2c)/(b + 3) · 5(b + 3)/((b − 2c)(b + 2c)) = 5b/(b − 2c).
в) (x + 3)²/(2(x − 2)) · (x − 2)(x + 2)/(3(x + 3)) = (x + 3)(x + 2)/6 = (x² + 5x + 6)/6.
г) (y − 5)²/(2(y + 6)) · (y − 6)(y + 6)/(2(y − 5)) = (y − 5)(y − 6)/4 = (y² − 11y + 30)/4. Здесь (5 − y)² = (y − 5)².
б) b(b + 2c)/(b + 3) · 5(b + 3)/((b − 2c)(b + 2c)) = 5b/(b − 2c).
в) (x + 3)²/(2(x − 2)) · (x − 2)(x + 2)/(3(x + 3)) = (x + 3)(x + 2)/6 = (x² + 5x + 6)/6.
г) (y − 5)²/(2(y + 6)) · (y − 6)(y + 6)/(2(y − 5)) = (y − 5)(y − 6)/4 = (y² − 11y + 30)/4. Здесь (5 − y)² = (y − 5)².
126. Найдите значение выражения: а) (5mn − m)/(4m + n) · (16m² − n²)/(5n − 1), если m = 1/4, n = −3; б) (x + 2)²/(3x + 9) · (2x + 6)/(x² − 4), если x = 0,5; −1,5.
а) m(5n − 1)/(4m + n) · (4m − n)(4m + n)/(5n − 1) = m(4m − n).
При m = 1/4, n = −3: 1/4 · (1 + 3) = 1/4 · 4 = 1.
б) (x + 2)²/(3(x + 3)) · 2(x + 3)/((x − 2)(x + 2)) = 2(x + 2)/(3(x − 2)).
При x = 0,5: 2 · 2,5/(3 · (−1,5)) = 5/(−4,5) = −10/9 = −1 1/9.
При x = −1,5: 2 · 0,5/(3 · (−3,5)) = 1/(−10,5) = −2/21.
Ответ: а) 1; б) −1 1/9; −2/21.
При m = 1/4, n = −3: 1/4 · (1 + 3) = 1/4 · 4 = 1.
б) (x + 2)²/(3(x + 3)) · 2(x + 3)/((x − 2)(x + 2)) = 2(x + 2)/(3(x − 2)).
При x = 0,5: 2 · 2,5/(3 · (−1,5)) = 5/(−4,5) = −10/9 = −1 1/9.
При x = −1,5: 2 · 0,5/(3 · (−3,5)) = 1/(−10,5) = −2/21.
Ответ: а) 1; б) −1 1/9; −2/21.
127. Выполните умножение: а) (a² − b²)/(a² − 3a) · (2a − 6)/(b² + 2ab + a²); б) (bx + 3b)/(x² − 25) · (25 − 10x + x²)/(ax + 3a).
а) (a − b)(a + b)/(a(a − 3)) · 2(a − 3)/(a + b)² = 2(a − b)/(a(a + b)).
б) b(x + 3)/((x − 5)(x + 5)) · (x − 5)²/(a(x + 3)) = b(x − 5)/(a(x + 5)).
б) b(x + 3)/((x − 5)(x + 5)) · (x − 5)²/(a(x + 3)) = b(x − 5)/(a(x + 5)).
128. Представьте в виде дроби: а) (mx² − my²)/(2m + 8) · (3m + 12)/(my + mx); б) (ax + ay)/(x² − 2xy + y²) · (x² − xy)/(7x + 7y); в) (x³ − y³)/(x + y) · (x² − y²)/(x² + xy + y²); г) (a² − 1)/(a³ + 1) · (a² − a + 1)/(a² + 2a + 1).
а) m(x − y)(x + y)/(2(m + 4)) · 3(m + 4)/(m(x + y)) = 3(x − y)/2.
б) a(x + y)/(x − y)² · x(x − y)/(7(x + y)) = ax/(7(x − y)).
в) (x − y)(x² + xy + y²)/(x + y) · (x − y)(x + y)/(x² + xy + y²) = (x − y)².
г) (a − 1)(a + 1)/((a + 1)(a² − a + 1)) · (a² − a + 1)/(a + 1)² = (a − 1)/(a + 1)².
б) a(x + y)/(x − y)² · x(x − y)/(7(x + y)) = ax/(7(x − y)).
в) (x − y)(x² + xy + y²)/(x + y) · (x − y)(x + y)/(x² + xy + y²) = (x − y)².
г) (a − 1)(a + 1)/((a + 1)(a² − a + 1)) · (a² − a + 1)/(a + 1)² = (a − 1)/(a + 1)².
129. Упростите выражение: а) (x² − 10x + 25)/(3x + 12) · (x² − 16)/(2x − 10); б) (1 − a²)/(4a + 8b) · (a² + 4ab + 4b²)/(3 − 3a); в) (y² − 25)/(y² + 12y + 36) · (3y + 18)/(2y + 10); г) (b³ + 8)/(18b² + 27b) · (2b + 3)/(b² − 2b + 4).
а) (x − 5)²/(3(x + 4)) · (x − 4)(x + 4)/(2(x − 5)) = (x − 5)(x − 4)/6.
б) (1 − a)(1 + a)/(4(a + 2b)) · (a + 2b)²/(3(1 − a)) = (1 + a)(a + 2b)/12.
в) (y − 5)(y + 5)/(y + 6)² · 3(y + 6)/(2(y + 5)) = 3(y − 5)/(2(y + 6)).
г) (b + 2)(b² − 2b + 4)/(9b(2b + 3)) · (2b + 3)/(b² − 2b + 4) = (b + 2)/(9b).
б) (1 − a)(1 + a)/(4(a + 2b)) · (a + 2b)²/(3(1 − a)) = (1 + a)(a + 2b)/12.
в) (y − 5)(y + 5)/(y + 6)² · 3(y + 6)/(2(y + 5)) = 3(y − 5)/(2(y + 6)).
г) (b + 2)(b² − 2b + 4)/(9b(2b + 3)) · (2b + 3)/(b² − 2b + 4) = (b + 2)/(9b).
130. Докажите, что если дробь a/b является квадратом дроби, то и произведение ab можно представить в виде квадрата некоторого выражения.
Пусть a/b = (p/q)², где p и q — некоторые выражения, q ≠ 0, b ≠ 0. Умножим обе части на b²:
ab = (a/b) · b² = (p/q)² · b² = (pb/q)².
Значит, ab является квадратом выражения pb/q. Что и требовалось доказать.
ab = (a/b) · b² = (p/q)² · b² = (pb/q)².
Значит, ab является квадратом выражения pb/q. Что и требовалось доказать.
131. Упростите выражение (a² − 4ac + 3bc)/(a² − ab + bc − ac) + (a + 3b)/(b − a) + (a + 2c)/(a − c).
Разложим знаменатель первой дроби: a² − ab + bc − ac = a(a − b) − c(a − b) = (a − b)(a − c). Дробь (a + 3b)/(b − a) = −(a + 3b)/(a − b). Общий знаменатель (a − b)(a − c):
(a² − 4ac + 3bc − (a + 3b)(a − c) + (a + 2c)(a − b))/((a − b)(a − c)).
Раскроем скобки: (a + 3b)(a − c) = a² − ac + 3ab − 3bc, (a + 2c)(a − b) = a² − ab + 2ac − 2bc. Числитель:
a² − 4ac + 3bc − a² + ac − 3ab + 3bc + a² − ab + 2ac − 2bc = a² − ac − 4ab + 4bc = (a − c)(a − 4b).
После сокращения на (a − c) получаем (a − 4b)/(a − b).
Ответ: (a − 4b)/(a − b).
(a² − 4ac + 3bc − (a + 3b)(a − c) + (a + 2c)(a − b))/((a − b)(a − c)).
Раскроем скобки: (a + 3b)(a − c) = a² − ac + 3ab − 3bc, (a + 2c)(a − b) = a² − ab + 2ac − 2bc. Числитель:
a² − 4ac + 3bc − a² + ac − 3ab + 3bc + a² − ab + 2ac − 2bc = a² − ac − 4ab + 4bc = (a − c)(a − 4b).
После сокращения на (a − c) получаем (a − 4b)/(a − b).
Ответ: (a − 4b)/(a − b).