Алгебра · 8 КЛАСС

Упражнения 115–123 — Глава I. §3. п.5 Умножение дробей. Возведение…

Страница 33 · Алгебра Макарычев 8 класс

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк · Просвещение, 2023 · 16-е издание, переработанное

Оглавление

Глава I. §3. п.5 Умножение дробей. Возведение дроби в степень — с. 33

115. Выполните умножение: а) −10x²y²/(9a²) · 27a³/(5xy); б) 2m³/(35a³b²) · (−7a²b/(6m)); в) 13x/(12mn²) · 4m²n; г) −ab · (−11x²/(3a²b²)).
а) −10x²y²/(9a²) · 27a³/(5xy) = −270a³x²y²/(45a²xy) = −6axy.
б) 2m³/(35a³b²) · (−7a²b/(6m)) = −14a²bm³/(210a³b²m) = −m²/(15ab).
в) 13x/(12mn²) · 4m²n = 52m²nx/(12mn²) = 13mx/(3n).
г) −ab · (−11x²/(3a²b²)) = 11abx²/(3a²b²) = 11x²/(3ab).
Оговорка: в условии б) показатели в печатном тексте плохо читаются; принято 2m³/(35a³b²) · (−7a²b/(6m)), что согласуется с видом остальных пунктов.
116. Упростите выражение: а) 2a²b/(3xy) · 3x²y/(4ab²) · 6ax/(15b²); б) 6m³n²/(35p³) · 49n^4/(m^5p³) · 5m^4p²/(42n^6).
а) Перемножим числители и знаменатели: числитель 2 · 3 · 6 · a²b · x²y · ax = 36a³bx³y; знаменатель 3 · 4 · 15 · xy · ab² · b² = 180axyb^4. Сокращаем на 36axyb: a²x²/(5b³).
б) Числитель 6 · 49 · 5 · m³n² · n^4 · m^4p² = 1470m^7n^6p²; знаменатель 35 · 42 · p³ · m^5p³ · n^6 = 1470m^5n^6p^6. Сокращаем: m²/p^4.
Ответ: а) a²x²/(5b³); б) m²/p^4.
117. Возведите в степень: а) (x/(2y))³; б) (3a/c)^4; в) (n²/(10m))³; г) (9a³/(2b²))².
Возводим в степень числитель и знаменатель.
а) (x/(2y))³ = x³/(8y³).
б) (3a/c)^4 = 81a^4/c^4.
в) (n²/(10m))³ = n^6/(1000m³).
г) (9a³/(2b²))² = 81a^6/(4b^4).
118. Возведите в степень: а) (2a/(p²q³))^4; б) (3a²b³/s^4)²; в) (−2a²b/(3mn³))²; г) (−3x²/(2y³))³.
а) (2a/(p²q³))^4 = 16a^4/(p^8q^12).
б) (3a²b³/s^4)² = 9a^4b^6/s^8.
в) (−2a²b/(3mn³))² = 4a^4b²/(9m²n^6) (квадрат отрицательной дроби положителен).
г) (−3x²/(2y³))³ = −27x^6/(8y^9) (куб отрицательной дроби отрицателен).
119. Представьте в виде дроби: а) (5a³/(3b²))^4; б) (2x²/(3y³))^5; в) (−10m²/(n²p))³; г) (−b³c²/(8a³))².
а) (5a³/(3b²))^4 = 625a^12/(81b^8).
б) (2x²/(3y³))^5 = 32x^10/(243y^15).
в) (−10m²/(n²p))³ = −1000m^6/(n^6p³).
г) (−b³c²/(8a³))² = b^6c^4/(64a^6).
120. Зная, что a − 5/a = 2, найдите значение выражения a² + 25/a².
Возведём обе части равенства в квадрат: (a − 5/a)² = 4.
По формуле квадрата разности a² − 2 · a · 5/a + 25/a² = 4, то есть a² − 10 + 25/a² = 4.
Отсюда a² + 25/a² = 4 + 10 = 14.
Ответ: 14.
121. Выполните умножение: а) (x² − xy)/y · y²/x; б) 3a/b² · (ab + b²)/9; в) (m − n)/(mn) · 2mn/(mn − m²); г) 4ab/(cx + dx) · (ax + bx)/(2ab); д) (ma − mb)/(3n²) · 2m/(nb − na); е) (ax − ay)/(5x²y²) · (−5xy/(by − bx)).
Разложим числители и знаменатели на множители и сократим.
а) x(x − y)/y · y²/x = y(x − y).
б) 3a/b² · b(a + b)/9 = 3ab(a + b)/(9b²) = a(a + b)/(3b).
в) (m − n)/(mn) · 2mn/(m(n − m)) = −2/m, так как (m − n)/(n − m) = −1.
г) 4ab/(x(c + d)) · x(a + b)/(2ab) = 2(a + b)/(c + d).
д) m(a − b)/(3n²) · 2m/(n(b − a)) = −2m²/(3n³), так как (a − b)/(b − a) = −1.
е) a(x − y)/(5x²y²) · (−5xy/(b(y − x))) = a(x − y) · 5xy/(5x²y²b(x − y)) = a/(bxy), так как −1/(y − x) = 1/(x − y).
122. Выполните умножение: а) (3a − 15b) · 8/(a² − 25b²); б) (x² − 4) · 2x/(x + 2)²; в) y/(3y² − 12) · (y² − 4y + 4); г) 2ab/(a² − 6ab + 9b²) · (a² − 9b²).
а) 3(a − 5b) · 8/((a − 5b)(a + 5b)) = 24/(a + 5b).
б) (x − 2)(x + 2) · 2x/(x + 2)² = 2x(x − 2)/(x + 2).
в) y/(3(y − 2)(y + 2)) · (y − 2)² = y(y − 2)/(3(y + 2)).
г) 2ab/(a − 3b)² · (a − 3b)(a + 3b) = 2ab(a + 3b)/(a − 3b).
123. Представьте в виде дроби: а) xy/(a² + a³) · (a + a²)/(x²y²); б) 6a/(x² − x) · (2x − 2)/(3ax).
а) xy/(a²(1 + a)) · a(1 + a)/(x²y²) = xy · a(1 + a)/(a²(1 + a)x²y²) = 1/(axy).
б) 6a/(x(x − 1)) · 2(x − 1)/(3ax) = 12a(x − 1)/(3ax²(x − 1)) = 4/x².