Задачи повышенной трудности — с. 286
1314. Докажите, что графиком уравнения xy − 2x + 3y − 6 = 0 является пара пересекающихся прямых.
Разложим левую часть на множители: xy − 2x + 3y − 6 = x(y − 2) + 3(y − 2) = (x + 3)(y − 2).
Уравнение (x + 3)(y − 2) = 0 равносильно совокупности x = −3 или y = 2.
График x = −3 — вертикальная прямая, график y = 2 — горизонтальная; они перпендикулярны и пересекаются в точке (−3; 2). Что и требовалось доказать.
Уравнение (x + 3)(y − 2) = 0 равносильно совокупности x = −3 или y = 2.
График x = −3 — вертикальная прямая, график y = 2 — горизонтальная; они перпендикулярны и пересекаются в точке (−3; 2). Что и требовалось доказать.
1315. Докажите, что графиком уравнения (y − 2)(y + 3) = 0 является пара параллельных прямых.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: y − 2 = 0 или y + 3 = 0, то есть y = 2 или y = −3.
Графиками этих уравнений являются две горизонтальные прямые (параллельные оси x), проходящие через точки (0; 2) и (0; −3); у них одинаковый угловой коэффициент 0 и они различны. Значит, это пара параллельных прямых.
Графиками этих уравнений являются две горизонтальные прямые (параллельные оси x), проходящие через точки (0; 2) и (0; −3); у них одинаковый угловой коэффициент 0 и они различны. Значит, это пара параллельных прямых.
1316. Постройте график уравнения: а) xy + 3x = 0; б) (x − y)(y − 5) = 0; в) (xy − 6)(y − 3) = 0; г) (x − y)² + (x − 1)² = 0; д) x² − 4 = 0; е) y² − 9 = 0.
а) x(y + 3) = 0 ⇒ x = 0 или y = −3: ось y и горизонтальная прямая через (0; −3).
б) x − y = 0 или y − 5 = 0: прямая y = x и прямая y = 5 (пересекаются в точке (5; 5)).
в) xy = 6 или y = 3: гипербола y = 6/x и прямая y = 3 (пересекаются в точке (2; 3)).
г) Сумма квадратов равна нулю, когда оба слагаемых нулевые: x = y и x = 1, то есть график — одна точка (1; 1).
д) x² = 4, x = ±2: две вертикальные прямые x = −2 и x = 2.
е) y² = 9, y = ±3: две горизонтальные прямые y = −3 и y = 3.
Графики показаны на рисунке.
б) x − y = 0 или y − 5 = 0: прямая y = x и прямая y = 5 (пересекаются в точке (5; 5)).
в) xy = 6 или y = 3: гипербола y = 6/x и прямая y = 3 (пересекаются в точке (2; 3)).
г) Сумма квадратов равна нулю, когда оба слагаемых нулевые: x = y и x = 1, то есть график — одна точка (1; 1).
д) x² = 4, x = ±2: две вертикальные прямые x = −2 и x = 2.
е) y² = 9, y = ±3: две горизонтальные прямые y = −3 и y = 3.
Графики показаны на рисунке.
1317. Докажите, что если числа a, b и c таковы, что a + b ≠ 0, b + c ≠ 0, c + a ≠ 0, то при x = (a − b)/(a + b), y = (b − c)/(b + c), z = (c − a)/(c + a) верно равенство (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z).
Вычислим: 1 + x = (a + b + a − b)/(a + b) = 2a/(a + b); 1 − x = (a + b − a + b)/(a + b) = 2b/(a + b).
Аналогично 1 + y = 2b/(b + c), 1 − y = 2c/(b + c); 1 + z = 2c/(c + a), 1 − z = 2a/(c + a).
Левая часть: (1 + x)(1 + y)(1 + z) = 8abc/((a + b)(b + c)(c + a)).
Правая часть: (1 − x)(1 − y)(1 − z) = 2b · 2c · 2a/((a + b)(b + c)(c + a)) = 8abc/((a + b)(b + c)(c + a)).
Части равны, что и требовалось доказать.
Аналогично 1 + y = 2b/(b + c), 1 − y = 2c/(b + c); 1 + z = 2c/(c + a), 1 − z = 2a/(c + a).
Левая часть: (1 + x)(1 + y)(1 + z) = 8abc/((a + b)(b + c)(c + a)).
Правая часть: (1 − x)(1 − y)(1 − z) = 2b · 2c · 2a/((a + b)(b + c)(c + a)) = 8abc/((a + b)(b + c)(c + a)).
Части равны, что и требовалось доказать.
1318. На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых?
Пусть отмечено n точек. Из каждой точки проводится n − 1 прямая; каждая прямая посчитана дважды (по её двум точкам), поэтому прямых n(n − 1)/2. Так как никакие три точки не лежат на одной прямой, все эти прямые различны.
n(n − 1)/2 = 45, n(n − 1) = 90, n² − n − 90 = 0, D = 361, n = (1 ± 19)/2, n = 10 (−9 не подходит).
Ответ: 10 точек.
n(n − 1)/2 = 45, n(n − 1) = 90, n² − n − 90 = 0, D = 361, n = (1 ± 19)/2, n = 10 (−9 не подходит).
Ответ: 10 точек.
1319. Учитель раздал ученикам 27 карточек, на каждой из которых было написано целое число, и попросил вместо этого числа написать по очереди на доске куб этого числа или его квадрат. Возникающие одинаковые числа с доски стирались. Приведите пример исходного набора чисел, чтобы на доске в итоге оказалось наименьшее возможное количество чисел, если все исходные числа на карточках различны?
Наименьшее возможное количество — 0 (на доске не останется чисел), если при совпадении стираются все одинаковые числа. Нужно, чтобы каждое выписанное число встречалось не менее двух раз.
Идея: число k⁶ можно получить тремя различными способами: как квадрат числа k³, как квадрат числа −k³ и как куб числа k² ((k³)² = (−k³)² = (k²)³ = k⁶).
Возьмём девять значений k = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11 и для каждого три числа k³, −k³, k²:
8, −8, 4; 27, −27, 9; 64, −64, 16; 125, −125, 25; 216, −216, 36; 343, −343, 49; 729, −729, 81; 1000, −1000, 100; 1331, −1331, 121.
Это 27 различных целых чисел. Для каждой тройки пишем на доске квадраты чисел k³ и −k³ и куб числа k²: получаем три одинаковых числа k⁶, которые стираются. Так исчезают все тройки, и на доске ничего не останется.
Ответ: например, набор из 27 чисел, перечисленных выше; на доске останется 0 чисел.
Оговорка: если понимать условие так, что стираются только пары одинаковых чисел, то из-за нечётного числа карточек (27) на доске остаётся не меньше одного числа; тогда пример — набор −13, −12, …, 0, …, 12, 13, на доске при квадратах остаётся только число 0.
Идея: число k⁶ можно получить тремя различными способами: как квадрат числа k³, как квадрат числа −k³ и как куб числа k² ((k³)² = (−k³)² = (k²)³ = k⁶).
Возьмём девять значений k = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11 и для каждого три числа k³, −k³, k²:
8, −8, 4; 27, −27, 9; 64, −64, 16; 125, −125, 25; 216, −216, 36; 343, −343, 49; 729, −729, 81; 1000, −1000, 100; 1331, −1331, 121.
Это 27 различных целых чисел. Для каждой тройки пишем на доске квадраты чисел k³ и −k³ и куб числа k²: получаем три одинаковых числа k⁶, которые стираются. Так исчезают все тройки, и на доске ничего не останется.
Ответ: например, набор из 27 чисел, перечисленных выше; на доске останется 0 чисел.
Оговорка: если понимать условие так, что стираются только пары одинаковых чисел, то из-за нечётного числа карточек (27) на доске остаётся не меньше одного числа; тогда пример — набор −13, −12, …, 0, …, 12, 13, на доске при квадратах остаётся только число 0.
1320. Докажите тождество √((a² + 6ab + 25b²)/(a − 2√(ab) + 5b) − 4b) = √a + √b.
Пусть a ≥ 0, b ≥ 0; положим √a = p, √b = q (p, q ≥ 0), тогда a = p², b = q², √(ab) = pq.
Числитель дроби: a² + 6ab + 25b² = p^4 + 6p²q² + 25q^4. Заметим, что (p² + 5q²)² − (2pq)² = p^4 + 10p²q² + 25q^4 − 4p²q² = p^4 + 6p²q² + 25q^4. Поэтому числитель равен (p² + 5q² − 2pq)(p² + 5q² + 2pq).
Знаменатель: a − 2√(ab) + 5b = p² − 2pq + 5q² (он положителен: (p − q)² + 4q² > 0 при q ≠ 0, а при q = 0 равен p² > 0).
Сократим: дробь равна p² + 2pq + 5q².
Подкоренное выражение: p² + 2pq + 5q² − 4q² = p² + 2pq + q² = (p + q)².
Тогда √((p + q)²) = |p + q| = p + q = √a + √b, так как p, q ≥ 0. Тождество доказано.
Числитель дроби: a² + 6ab + 25b² = p^4 + 6p²q² + 25q^4. Заметим, что (p² + 5q²)² − (2pq)² = p^4 + 10p²q² + 25q^4 − 4p²q² = p^4 + 6p²q² + 25q^4. Поэтому числитель равен (p² + 5q² − 2pq)(p² + 5q² + 2pq).
Знаменатель: a − 2√(ab) + 5b = p² − 2pq + 5q² (он положителен: (p − q)² + 4q² > 0 при q ≠ 0, а при q = 0 равен p² > 0).
Сократим: дробь равна p² + 2pq + 5q².
Подкоренное выражение: p² + 2pq + 5q² − 4q² = p² + 2pq + q² = (p + q)².
Тогда √((p + q)²) = |p + q| = p + q = √a + √b, так как p, q ≥ 0. Тождество доказано.
1321. Сколько решений имеет система уравнений x(x − 2) = y + 12x, xy − 5 = 0?
Из второго уравнения xy = 5, значит, x ≠ 0 и y = 5/x. Из первого y = x² − 2x − 12x = x² − 14x. Приравниваем: x² − 14x = 5/x; x³ − 14x² − 5 = 0 (x ≠ 0). Число решений системы равно числу корней этого уравнения.
Пусть f(x) = x³ − 14x² − 5 = x²(x − 14) − 5.
При x ≤ 14 имеем x²(x − 14) ≤ 0, поэтому f(x) ≤ −5 < 0 — корней нет.
При x > 14 функция f возрастает (f '(x) = 3x² − 28x = x(3x − 28) > 0), f(14) = −5 < 0, а при больших x значения положительны (например, f(15) = 3375 − 3150 − 5 = 220 > 0). Значит, на (14; +∞) ровно один корень (около 14,004).
Ему соответствует единственное y = 5/x ≈ 0,36.
Ответ: одно решение.
Пусть f(x) = x³ − 14x² − 5 = x²(x − 14) − 5.
При x ≤ 14 имеем x²(x − 14) ≤ 0, поэтому f(x) ≤ −5 < 0 — корней нет.
При x > 14 функция f возрастает (f '(x) = 3x² − 28x = x(3x − 28) > 0), f(14) = −5 < 0, а при больших x значения положительны (например, f(15) = 3375 − 3150 − 5 = 220 > 0). Значит, на (14; +∞) ровно один корень (около 14,004).
Ему соответствует единственное y = 5/x ≈ 0,36.
Ответ: одно решение.
1322. Докажите, что система уравнений не имеет решений: а) x² + y² = 0,09, y = x² + 1; б) y = x² + 5, y + x² = −2.
а) Из второго уравнения y = x² + 1 ≥ 1, поэтому y² ≥ 1. Тогда x² + y² ≥ 0 + 1 = 1 > 0,09, и первое уравнение выполниться не может. Система не имеет решений.
б) Подставим y = x² + 5 во второе уравнение: x² + 5 + x² = −2, 2x² = −7, x² = −3,5. Квадрат числа не может быть отрицательным, решений нет.
б) Подставим y = x² + 5 во второе уравнение: x² + 5 + x² = −2, 2x² = −7, x² = −3,5. Квадрат числа не может быть отрицательным, решений нет.