Задачи повышенной трудности — с. 287
1323. Решите графическим способом систему уравнений: а) y − x² = −1, y − 2x = 1; б) xy − 1 = 0, y + x² = 3.
а) Первое уравнение: y = x² − 1 — парабола; второе: y = 2x + 1 — прямая. Строим оба графика; они пересекаются в двух точках: приблизительно (2,7; 6,5) и (−0,7; −0,5).
Уточнение: x² − 1 = 2x + 1, x² − 2x − 2 = 0, x = 1 ± √3, y = 2x + 1 = 3 ± 2√3. То есть (1 + √3; 3 + 2√3) ≈ (2,73; 6,46) и (1 − √3; 3 − 2√3) ≈ (−0,73; −0,46).
б) Первое уравнение: y = 1/x — гипербола; второе: y = 3 − x² — парабола с вершиной (0; 3). Они пересекаются в трёх точках: приблизительно (1,5; 0,7), (0,3; 2,9) и (−1,9; −0,5).
Уточнение: из 1/x = 3 − x² получаем x³ − 3x + 1 = 0, корни примерно 1,53; 0,35; −1,88, а y = 1/x равно соответственно 0,65; 2,88; −0,53.
Графики показаны на рисунке (красные точки — решения).
Ответ: а) примерно (2,7; 6,5), (−0,7; −0,5); б) примерно (1,5; 0,7), (0,3; 2,9), (−1,9; −0,5).
Оговорка: при графическом способе значения приближённые.
Уточнение: x² − 1 = 2x + 1, x² − 2x − 2 = 0, x = 1 ± √3, y = 2x + 1 = 3 ± 2√3. То есть (1 + √3; 3 + 2√3) ≈ (2,73; 6,46) и (1 − √3; 3 − 2√3) ≈ (−0,73; −0,46).
б) Первое уравнение: y = 1/x — гипербола; второе: y = 3 − x² — парабола с вершиной (0; 3). Они пересекаются в трёх точках: приблизительно (1,5; 0,7), (0,3; 2,9) и (−1,9; −0,5).
Уточнение: из 1/x = 3 − x² получаем x³ − 3x + 1 = 0, корни примерно 1,53; 0,35; −1,88, а y = 1/x равно соответственно 0,65; 2,88; −0,53.
Графики показаны на рисунке (красные точки — решения).
Ответ: а) примерно (2,7; 6,5), (−0,7; −0,5); б) примерно (1,5; 0,7), (0,3; 2,9), (−1,9; −0,5).
Оговорка: при графическом способе значения приближённые.
1324. Найдите решения системы уравнений: а) (2x − y)(2x + y) = 3, 2y − 3(x + y) = −4; б) 2(x − y) + y = 5, (2x − y)² = 5x + 15.
а) Второе уравнение: 2y − 3x − 3y = −4, −3x − y = −4, y = 4 − 3x. Первое: 4x² − y² = 3, 4x² − (4 − 3x)² = 3, 4x² − 16 + 24x − 9x² = 3, 5x² − 24x + 19 = 0, D = 576 − 380 = 196, x = (24 ± 14)/10: x = 3,8 или x = 1.
x = 1: y = 1; x = 3,8: y = 4 − 11,4 = −7,4.
Проверка (3,8; −7,4): 2x − y = 15, 2x + y = 0,2, произведение 3.
б) Первое уравнение: 2x − 2y + y = 5, 2x − y = 5. Подставим во второе: 25 = 5x + 15, x = 2, y = 2x − 5 = −1.
Ответ: а) (1; 1), (3,8; −7,4); б) (2; −1).
Оговорка: в ответах учебника для № 1324 указано только (2; −1) (это ответ пункта б); для пункта а) проверкой подстановки получены две пары, указанные выше.
x = 1: y = 1; x = 3,8: y = 4 − 11,4 = −7,4.
Проверка (3,8; −7,4): 2x − y = 15, 2x + y = 0,2, произведение 3.
б) Первое уравнение: 2x − 2y + y = 5, 2x − y = 5. Подставим во второе: 25 = 5x + 15, x = 2, y = 2x − 5 = −1.
Ответ: а) (1; 1), (3,8; −7,4); б) (2; −1).
Оговорка: в ответах учебника для № 1324 указано только (2; −1) (это ответ пункта б); для пункта а) проверкой подстановки получены две пары, указанные выше.
1325. Решите систему уравнений: а) 2/(y − 1) + 3/(x + 1) = 5/2, 1/(x − 2) = −3/y; б) 1/(y + 1) = 2/(x − 1), 4/(x + 2) + 1/(y − 1) = 1/3.
а) Из второго уравнения (x ≠ 2, y ≠ 0): y = −3(x − 2) = 6 − 3x. Тогда y − 1 = 5 − 3x. Первое уравнение: 2/(5 − 3x) + 3/(x + 1) = 5/2. Умножим на 2(5 − 3x)(x + 1): 4(x + 1) + 6(5 − 3x) = 5(5 − 3x)(x + 1); 34 − 14x = −15x² + 10x + 25; 15x² − 24x + 9 = 0; 5x² − 8x + 3 = 0; x = (8 ± 2)/10: x = 1 или x = 0,6.
x = 1: y = 3. x = 0,6: y = 6 − 1,8 = 4,2.
Проверка (0,6; 4,2): 2/3,2 + 3/1,6 = 0,625 + 1,875 = 2,5; 1/(−1,4) = −5/7 и −3/4,2 = −5/7.
б) Из первого (y ≠ −1, x ≠ 1): x − 1 = 2(y + 1), x = 2y + 3. Второе: 4/(2y + 5) + 1/(y − 1) = 1/3. Умножим на 3(2y + 5)(y − 1): 12(y − 1) + 3(2y + 5) = (2y + 5)(y − 1); 18y + 3 = 2y² + 3y − 5; 2y² − 15y − 8 = 0; D = 289; y = (15 ± 17)/4: y = 8 или y = −0,5.
y = 8: x = 19. y = −0,5: x = 2.
Проверка (19; 8): 1/9 = 2/18; 4/21 + 1/7 = 7/21 = 1/3. Проверка (2; −0,5): 1/0,5 = 2 = 2/1; 4/4 + 1/(−1,5) = 1 − 2/3 = 1/3.
Ответ: а) (1; 3), (0,6; 4,2); б) (19; 8), (2; −0,5).
x = 1: y = 3. x = 0,6: y = 6 − 1,8 = 4,2.
Проверка (0,6; 4,2): 2/3,2 + 3/1,6 = 0,625 + 1,875 = 2,5; 1/(−1,4) = −5/7 и −3/4,2 = −5/7.
б) Из первого (y ≠ −1, x ≠ 1): x − 1 = 2(y + 1), x = 2y + 3. Второе: 4/(2y + 5) + 1/(y − 1) = 1/3. Умножим на 3(2y + 5)(y − 1): 12(y − 1) + 3(2y + 5) = (2y + 5)(y − 1); 18y + 3 = 2y² + 3y − 5; 2y² − 15y − 8 = 0; D = 289; y = (15 ± 17)/4: y = 8 или y = −0,5.
y = 8: x = 19. y = −0,5: x = 2.
Проверка (19; 8): 1/9 = 2/18; 4/21 + 1/7 = 7/21 = 1/3. Проверка (2; −0,5): 1/0,5 = 2 = 2/1; 4/4 + 1/(−1,5) = 1 − 2/3 = 1/3.
Ответ: а) (1; 3), (0,6; 4,2); б) (19; 8), (2; −0,5).
1326. Найдите решения системы уравнений: а) x² − 3y² − y = −6, 2x² − 3y² = −4; б) 2x² + xy = 16, 3x² + xy − x = 18.
а) Вычтем из второго уравнения первое: (2x² − 3y²) − (x² − 3y² − y) = −4 − (−6), x² + y = 2, y = 2 − x². Подставим во второе: 2x² − 3(2 − x²)² = −4; 2x² − 12 + 12x² − 3x^4 = −4; 3x^4 − 14x² + 8 = 0. Пусть z = x²: 3z² − 14z + 8 = 0, D = 100, z = (14 ± 10)/6, z = 4 или z = 2/3.
z = 4: x = ±2, y = 2 − 4 = −2. z = 2/3: x = ±√(2/3) = ±√6/3, y = 2 − 2/3 = 4/3.
Проверка (2; −2): 4 − 12 + 2 = −6; 8 − 12 = −4.
б) Вычтем из второго уравнения первое: x² − x = 2, x² − x − 2 = 0, x = 2 или x = −1.
x = 2: 8 + 2y = 16, y = 4. x = −1: 2 − y = 16, y = −14.
Проверка (−1; −14): 3 + 14 + 1 = 18.
Ответ: а) (2; −2), (−2; −2), (√6/3; 4/3), (−√6/3; 4/3); б) (2; 4), (−1; −14).
z = 4: x = ±2, y = 2 − 4 = −2. z = 2/3: x = ±√(2/3) = ±√6/3, y = 2 − 2/3 = 4/3.
Проверка (2; −2): 4 − 12 + 2 = −6; 8 − 12 = −4.
б) Вычтем из второго уравнения первое: x² − x = 2, x² − x − 2 = 0, x = 2 или x = −1.
x = 2: 8 + 2y = 16, y = 4. x = −1: 2 − y = 16, y = −14.
Проверка (−1; −14): 3 + 14 + 1 = 18.
Ответ: а) (2; −2), (−2; −2), (√6/3; 4/3), (−√6/3; 4/3); б) (2; 4), (−1; −14).
1327. Решите систему уравнений: а) 7xy + 2x² − 4y² = 0, x² − 5xy + y = −11; б) 6x² + 2xy − 3x − y = 0, 2x² − y² + 2x + y = 3/2.
а) Первое уравнение: 2x² + 7xy − 4y² = (2x − y)(x + 4y) = 0, значит, y = 2x или x = −4y.
Случай y = 2x: x² − 10x² + 2x = −11, 9x² − 2x − 11 = 0, D = 400, x = (2 ± 20)/18: x = 11/9 или x = −1. Пары (11/9; 22/9), (−1; −2).
Случай x = −4y: 16y² + 20y² + y = −11, 36y² + y + 11 = 0, D = 1 − 1584 < 0 — решений нет.
Проверка (11/9; 22/9): 121/81 − 1210/81 + 198/81 = −891/81 = −11.
б) Первое уравнение: 2x(3x + y) − (3x + y) = (2x − 1)(3x + y) = 0: x = 1/2 или y = −3x.
Случай x = 1/2: второе уравнение 1/2 − y² + 1 + y = 3/2, y² − y = 0, y = 0 или y = 1. Пары (1/2; 0), (1/2; 1).
Случай y = −3x: 2x² − 9x² + 2x − 3x = 3/2, 14x² + 2x + 3 = 0, D = 4 − 168 < 0 — решений нет.
Ответ: а) (−1; −2), (11/9; 22/9); б) (1/2; 0), (1/2; 1).
Случай y = 2x: x² − 10x² + 2x = −11, 9x² − 2x − 11 = 0, D = 400, x = (2 ± 20)/18: x = 11/9 или x = −1. Пары (11/9; 22/9), (−1; −2).
Случай x = −4y: 16y² + 20y² + y = −11, 36y² + y + 11 = 0, D = 1 − 1584 < 0 — решений нет.
Проверка (11/9; 22/9): 121/81 − 1210/81 + 198/81 = −891/81 = −11.
б) Первое уравнение: 2x(3x + y) − (3x + y) = (2x − 1)(3x + y) = 0: x = 1/2 или y = −3x.
Случай x = 1/2: второе уравнение 1/2 − y² + 1 + y = 3/2, y² − y = 0, y = 0 или y = 1. Пары (1/2; 0), (1/2; 1).
Случай y = −3x: 2x² − 9x² + 2x − 3x = 3/2, 14x² + 2x + 3 = 0, D = 4 − 168 < 0 — решений нет.
Ответ: а) (−1; −2), (11/9; 22/9); б) (1/2; 0), (1/2; 1).
1328. Найдите решения системы уравнений: xy = −2, (x − y)² + x + y = 10.
Выразим (x − y)² = (x + y)² − 4xy = (x + y)² + 8. Пусть s = x + y: s² + 8 + s = 10, s² + s − 2 = 0, s = 1 или s = −2.
s = 1, xy = −2: x и y — корни t² − t − 2 = 0, t = 2 и t = −1. Пары (2; −1), (−1; 2).
s = −2, xy = −2: t² + 2t − 2 = 0, t = −1 ± √3. Пары (−1 + √3; −1 − √3), (−1 − √3; −1 + √3).
Проверка (2; −1): 2 · (−1) = −2; (3)² + 1 = 10. Проверка (−1 + √3; −1 − √3): произведение (−1)² − 3 = −2; (2√3)² − 2 = 10.
Ответ: (−1; 2), (2; −1), (−1 + √3; −1 − √3), (−1 − √3; −1 + √3).
s = 1, xy = −2: x и y — корни t² − t − 2 = 0, t = 2 и t = −1. Пары (2; −1), (−1; 2).
s = −2, xy = −2: t² + 2t − 2 = 0, t = −1 ± √3. Пары (−1 + √3; −1 − √3), (−1 − √3; −1 + √3).
Проверка (2; −1): 2 · (−1) = −2; (3)² + 1 = 10. Проверка (−1 + √3; −1 − √3): произведение (−1)² − 3 = −2; (2√3)² − 2 = 10.
Ответ: (−1; 2), (2; −1), (−1 + √3; −1 − √3), (−1 − √3; −1 + √3).
1329. Решите систему уравнений: а) 2x² + 4xy − 5y = 1, x² + xy − 6y² = 0; б) x(3x − 2y) = y², 3y² = 2x(x + 2) − 3.
а) Второе уравнение: x² + xy − 6y² = (x − 2y)(x + 3y) = 0, значит, x = 2y или x = −3y.
x = 2y: 8y² + 8y² − 5y = 1, 16y² − 5y − 1 = 0, D = 25 + 64 = 89, y = (5 ± √89)/32, x = 2y = (5 ± √89)/16.
x = −3y: 18y² − 12y² − 5y = 1, 6y² − 5y − 1 = 0, (6y + 1)(y − 1) = 0, y = 1 или y = −1/6; x = −3 или x = 1/2.
Проверка (1/2; −1/6): 2 · 1/4 + 4 · (−1/12) + 5/6 = 1/2 − 1/3 + 5/6 = 1; 1/4 − 1/12 − 6/36 = 0.
б) Первое уравнение: 3x² − 2xy − y² = (3x + y)(x − y) = 0, значит, y = x или y = −3x.
y = x: 3x² = 2x² + 4x − 3, x² − 4x + 3 = 0, x = 1 или x = 3. Пары (1; 1), (3; 3).
y = −3x: 27x² = 2x² + 4x − 3, 25x² − 4x + 3 = 0, D = 16 − 300 < 0 — решений нет.
Ответ: а) (−3; 1), (1/2; −1/6), ((5 + √89)/16; (5 + √89)/32), ((5 − √89)/16; (5 − √89)/32); б) (1; 1), (3; 3).
Оговорка: пункт а) решён так, как напечатано (−5y в первом уравнении); у него получаются в том числе иррациональные решения.
x = 2y: 8y² + 8y² − 5y = 1, 16y² − 5y − 1 = 0, D = 25 + 64 = 89, y = (5 ± √89)/32, x = 2y = (5 ± √89)/16.
x = −3y: 18y² − 12y² − 5y = 1, 6y² − 5y − 1 = 0, (6y + 1)(y − 1) = 0, y = 1 или y = −1/6; x = −3 или x = 1/2.
Проверка (1/2; −1/6): 2 · 1/4 + 4 · (−1/12) + 5/6 = 1/2 − 1/3 + 5/6 = 1; 1/4 − 1/12 − 6/36 = 0.
б) Первое уравнение: 3x² − 2xy − y² = (3x + y)(x − y) = 0, значит, y = x или y = −3x.
y = x: 3x² = 2x² + 4x − 3, x² − 4x + 3 = 0, x = 1 или x = 3. Пары (1; 1), (3; 3).
y = −3x: 27x² = 2x² + 4x − 3, 25x² − 4x + 3 = 0, D = 16 − 300 < 0 — решений нет.
Ответ: а) (−3; 1), (1/2; −1/6), ((5 + √89)/16; (5 + √89)/32), ((5 − √89)/16; (5 − √89)/32); б) (1; 1), (3; 3).
Оговорка: пункт а) решён так, как напечатано (−5y в первом уравнении); у него получаются в том числе иррациональные решения.
1330. Найдите решения системы уравнений: а) 2x² − xy = y² + 5, x² − xy = y² + 1; б) 3x² − 2y² = 2xy − 1, 2x² − y² = 2xy − 1.
а) Вычтем из первого уравнения второе: x² = 4, x = ±2.
x = 2: 4 − 2y = y² + 1, y² + 2y − 3 = 0, y = 1 или y = −3. x = −2: 4 + 2y = y² + 1, y² − 2y − 3 = 0, y = 3 или y = −1.
Проверка (2; −3): 8 + 6 = 14 = 9 + 5; 4 + 6 = 10 = 9 + 1.
б) Вычтем из первого уравнения второе: x² − y² = 0, y = x или y = −x.
y = x: 2x² − x² = 2x² − 1, x² = 1, x = ±1. Пары (1; 1), (−1; −1).
y = −x: x² = −2x² − 1 (т. к. 2x² − x² = x² и 2xy = −2x²), 3x² = −1 — решений нет.
Ответ: а) (2; 1), (2; −3), (−2; 3), (−2; −1); б) (1; 1), (−1; −1).
x = 2: 4 − 2y = y² + 1, y² + 2y − 3 = 0, y = 1 или y = −3. x = −2: 4 + 2y = y² + 1, y² − 2y − 3 = 0, y = 3 или y = −1.
Проверка (2; −3): 8 + 6 = 14 = 9 + 5; 4 + 6 = 10 = 9 + 1.
б) Вычтем из первого уравнения второе: x² − y² = 0, y = x или y = −x.
y = x: 2x² − x² = 2x² − 1, x² = 1, x = ±1. Пары (1; 1), (−1; −1).
y = −x: x² = −2x² − 1 (т. к. 2x² − x² = x² и 2xy = −2x²), 3x² = −1 — решений нет.
Ответ: а) (2; 1), (2; −3), (−2; 3), (−2; −1); б) (1; 1), (−1; −1).
1331. От пристани отправился первый катер. Через 1 ч вслед за ним отправился второй катер и догнал первый в 30 км от пристани. Если бы с момента отправления второго катера первый катер увеличил скорость на 10 км/ч, то второй догнал бы его в 90 км от пристани. Найдите скорость каждого катера.
Пусть скорость первого катера v км/ч, второго u км/ч.
Исходная ситуация: второй проходит 30 км за 30/u ч, первый к этому моменту был в пути 1 + 30/u ч: v(1 + 30/u) = 30. Умножим на u: v(u + 30) = 30u. (1)
Вторая ситуация: через 1 ч первый прошёл v км, дальше идёт со скоростью v + 10. Второй проходит 90 км за 90/u ч; первый за это время проходит (v + 10) · 90/u: v + 90(v + 10)/u = 90. Умножим на u: vu + 90v + 900 = 90u. (2)
Из (1): vu + 30v = 30u, vu = 30u − 30v. Подставим в (2): 30u − 30v + 90v + 900 = 90u, 60v + 900 = 60u, u = v + 15.
Подставим в (1): v(v + 45) = 30(v + 15), v² + 45v − 30v − 450 = 0, v² + 15v − 450 = 0, D = 225 + 1800 = 2025, v = (−15 + 45)/2 = 15. Тогда u = 30.
Проверка: второй догоняет: 15 + 15t = 30t, t = 1, путь 30 км. При скорости 25: 15 + 25t = 30t, t = 3, путь 90 км.
Ответ: 15 км/ч и 30 км/ч.
Исходная ситуация: второй проходит 30 км за 30/u ч, первый к этому моменту был в пути 1 + 30/u ч: v(1 + 30/u) = 30. Умножим на u: v(u + 30) = 30u. (1)
Вторая ситуация: через 1 ч первый прошёл v км, дальше идёт со скоростью v + 10. Второй проходит 90 км за 90/u ч; первый за это время проходит (v + 10) · 90/u: v + 90(v + 10)/u = 90. Умножим на u: vu + 90v + 900 = 90u. (2)
Из (1): vu + 30v = 30u, vu = 30u − 30v. Подставим в (2): 30u − 30v + 90v + 900 = 90u, 60v + 900 = 60u, u = v + 15.
Подставим в (1): v(v + 45) = 30(v + 15), v² + 45v − 30v − 450 = 0, v² + 15v − 450 = 0, D = 225 + 1800 = 2025, v = (−15 + 45)/2 = 15. Тогда u = 30.
Проверка: второй догоняет: 15 + 15t = 30t, t = 1, путь 30 км. При скорости 25: 15 + 25t = 30t, t = 3, путь 90 км.
Ответ: 15 км/ч и 30 км/ч.