Задачи повышенной трудности — с. 285
1303. Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывезти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на 7 1/3 ч больше, чем при одновременной работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду каждый самосвал?
Пусть первый самосвал вывозит всю руду за x ч, тогда второй — за x + 3 ч.
Раздельная работа: треть руды первый вывезет за x/3 ч, две трети второй — за (2/3)(x + 3) ч; всего x/3 + 2x/3 + 2 = x + 2 ч.
Совместная работа: за x · (x + 3)/(2x + 3) ч (скорости 1/x и 1/(x + 3) складываются: (2x + 3)/(x(x + 3)) руды в час).
По условию: x + 2 − x(x + 3)/(2x + 3) = 22/3. Перенесём: x − 16/3 = x(x + 3)/(2x + 3), умножим на 3(2x + 3): (3x − 16)(2x + 3) = 3x(x + 3).
6x² − 23x − 48 = 3x² + 9x, 3x² − 32x − 48 = 0, D = 1024 + 576 = 1600, x = (32 ± 40)/6; x = 12 (отрицательный корень не подходит).
Первый — 12 ч, второй — 15 ч.
Проверка: раздельно 12/3 + (2/3) · 15 = 4 + 10 = 14 ч; вместе 12 · 15/27 = 20/3 = 6 2/3 ч; 14 − 6 2/3 = 7 1/3 ч.
Ответ: 12 ч и 15 ч.
Раздельная работа: треть руды первый вывезет за x/3 ч, две трети второй — за (2/3)(x + 3) ч; всего x/3 + 2x/3 + 2 = x + 2 ч.
Совместная работа: за x · (x + 3)/(2x + 3) ч (скорости 1/x и 1/(x + 3) складываются: (2x + 3)/(x(x + 3)) руды в час).
По условию: x + 2 − x(x + 3)/(2x + 3) = 22/3. Перенесём: x − 16/3 = x(x + 3)/(2x + 3), умножим на 3(2x + 3): (3x − 16)(2x + 3) = 3x(x + 3).
6x² − 23x − 48 = 3x² + 9x, 3x² − 32x − 48 = 0, D = 1024 + 576 = 1600, x = (32 ± 40)/6; x = 12 (отрицательный корень не подходит).
Первый — 12 ч, второй — 15 ч.
Проверка: раздельно 12/3 + (2/3) · 15 = 4 + 10 = 14 ч; вместе 12 · 15/27 = 20/3 = 6 2/3 ч; 14 − 6 2/3 = 7 1/3 ч.
Ответ: 12 ч и 15 ч.
1304. Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось заканчивать одному второму слесарю, и поэтому задание было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание каждый слесарь?
Пусть второй слесарь выполняет задание за x ч, первый — за x + 7 ч. Вместе они выполнят всю работу за x(x + 7)/(2x + 7) ч.
Первая половина вместе — x(x + 7)/(2(2x + 7)) ч, вторую половину второй один — x/2 ч. Всего x(x + 7)/(2(2x + 7)) + x/2.
Разность с совместной работой: x/2 − x(x + 7)/(2(2x + 7)) = x[(2x + 7) − (x + 7)]/(2(2x + 7)) = x²/(2(2x + 7)).
По условию x²/(2(2x + 7)) = 4,5, x² = 9(2x + 7), x² − 18x − 63 = 0, D = 324 + 252 = 576, x = (18 ± 24)/2, x = 21 (−3 не подходит).
Второй — 21 ч, первый — 28 ч.
Проверка: вместе 21 · 28/49 = 12 ч; по-другому 6 + 10,5 = 16,5 ч; 16,5 − 12 = 4,5 ч.
Ответ: 28 ч и 21 ч.
Первая половина вместе — x(x + 7)/(2(2x + 7)) ч, вторую половину второй один — x/2 ч. Всего x(x + 7)/(2(2x + 7)) + x/2.
Разность с совместной работой: x/2 − x(x + 7)/(2(2x + 7)) = x[(2x + 7) − (x + 7)]/(2(2x + 7)) = x²/(2(2x + 7)).
По условию x²/(2(2x + 7)) = 4,5, x² = 9(2x + 7), x² − 18x − 63 = 0, D = 324 + 252 = 576, x = (18 ± 24)/2, x = 21 (−3 не подходит).
Второй — 21 ч, первый — 28 ч.
Проверка: вместе 21 · 28/49 = 12 ч; по-другому 6 + 10,5 = 16,5 ч; 16,5 − 12 = 4,5 ч.
Ответ: 28 ч и 21 ч.
1305. Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков. Произведение этого числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равно 574. Найдите данное число.
Пусть цифра десятков a, тогда цифра единиц a − 3. Число 10a + (a − 3) = 11a − 3, число с обратным порядком цифр 10(a − 3) + a = 11a − 30.
Уравнение: (11a − 3)(11a − 30) = 574. Пусть u = 11a: u² − 33u + 90 = 574, u² − 33u − 484 = 0, D = 1089 + 1936 = 3025 = 55², u = (33 + 55)/2 = 44 (u = −11 не подходит). Тогда a = 4.
Число 41, обратное 14; 41 · 14 = 574.
Ответ: 41.
Уравнение: (11a − 3)(11a − 30) = 574. Пусть u = 11a: u² − 33u + 90 = 574, u² − 33u − 484 = 0, D = 1089 + 1936 = 3025 = 55², u = (33 + 55)/2 = 44 (u = −11 не подходит). Тогда a = 4.
Число 41, обратное 14; 41 · 14 = 574.
Ответ: 41.
1306. Найдите члены пропорции x₁ : x₂ = x₃ : x₄, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвёртого. Сумма квадратов всех членов равна 793.
x₁ = x₂ + 6, x₃ = x₄ + 5. Пропорция: (x₂ + 6)/x₂ = (x₄ + 5)/x₄, 1 + 6/x₂ = 1 + 5/x₄, 6x₄ = 5x₂. Положим x₂ = 6k, x₄ = 5k; тогда x₁ = 6k + 6 = 6(k + 1), x₃ = 5k + 5 = 5(k + 1).
Сумма квадратов: 36(k + 1)² + 36k² + 25(k + 1)² + 25k² = 61((k + 1)² + k²) = 793. Отсюда (k + 1)² + k² = 13, 2k² + 2k − 12 = 0, k² + k − 6 = 0, k = 2 или k = −3.
k = 2: x₁ = 18, x₂ = 12, x₃ = 15, x₄ = 10 (18 : 12 = 15 : 10; 324 + 144 + 225 + 100 = 793).
k = −3: x₁ = −12, x₂ = −18, x₃ = −10, x₄ = −15 (−12 : −18 = −10 : −15; 144 + 324 + 100 + 225 = 793).
Ответ: 18, 12, 15, 10 или −12, −18, −10, −15.
Сумма квадратов: 36(k + 1)² + 36k² + 25(k + 1)² + 25k² = 61((k + 1)² + k²) = 793. Отсюда (k + 1)² + k² = 13, 2k² + 2k − 12 = 0, k² + k − 6 = 0, k = 2 или k = −3.
k = 2: x₁ = 18, x₂ = 12, x₃ = 15, x₄ = 10 (18 : 12 = 15 : 10; 324 + 144 + 225 + 100 = 793).
k = −3: x₁ = −12, x₂ = −18, x₃ = −10, x₄ = −15 (−12 : −18 = −10 : −15; 144 + 324 + 100 + 225 = 793).
Ответ: 18, 12, 15, 10 или −12, −18, −10, −15.
1307. Из города по двум взаимно перпендикулярным дорогам вышли в разное время два пешехода. Скорость первого пешехода 4 км/ч, а второго — 5 км/ч. Сейчас первый находится в 7 км от города, а второй — в 10 км. Через сколько часов расстояние между пешеходами будет равно 25 км?
Через t ч первый будет в 7 + 4t км от города, второй — в 10 + 5t км. Дороги перпендикулярны, расстояние между пешеходами находим по теореме Пифагора: (7 + 4t)² + (10 + 5t)² = 25² = 625.
49 + 56t + 16t² + 100 + 100t + 25t² = 625; 41t² + 156t − 476 = 0.
D = 156² + 4 · 41 · 476 = 24 336 + 78 064 = 102 400 = 320². t = (−156 ± 320)/82; t = 2 (отрицательный корень не подходит).
Проверка: 7 + 8 = 15 км, 10 + 10 = 20 км, 15² + 20² = 625.
Ответ: через 2 ч.
49 + 56t + 16t² + 100 + 100t + 25t² = 625; 41t² + 156t − 476 = 0.
D = 156² + 4 · 41 · 476 = 24 336 + 78 064 = 102 400 = 320². t = (−156 ± 320)/82; t = 2 (отрицательный корень не подходит).
Проверка: 7 + 8 = 15 км, 10 + 10 = 20 км, 15² + 20² = 625.
Ответ: через 2 ч.
1308. Докажите, что если a + c = 2b и 2bd = c(b + d), причём b ≠ 0 и d ≠ 0, то a/b = c/d.
Из первого равенства a = 2b − c, поэтому a/b = (2b − c)/b = 2 − c/b.
Разделим второе равенство 2bd = cb + cd на bd (b ≠ 0, d ≠ 0): 2 = c/d + c/b, откуда c/d = 2 − c/b.
Правые части совпадают: a/b = 2 − c/b = c/d, что и требовалось доказать.
Разделим второе равенство 2bd = cb + cd на bd (b ≠ 0, d ≠ 0): 2 = c/d + c/b, откуда c/d = 2 − c/b.
Правые части совпадают: a/b = 2 − c/b = c/d, что и требовалось доказать.
1309. Постройте график функции, заданной формулой y = −1/√x.
Функция определена при x > 0; значения отрицательны. График получается из графика y = 1/√x симметрией относительно оси x.
Таблица значений: x = 1/9, 1/4, 1, 4, 9 → y = −3, −2, −1, −0,5, −1/3.
При x → 0 значения уходят вниз (y → −∞), при росте x график приближается к оси x снизу.
График показан на рисунке.
Таблица значений: x = 1/9, 1/4, 1, 4, 9 → y = −3, −2, −1, −0,5, −1/3.
При x → 0 значения уходят вниз (y → −∞), при росте x график приближается к оси x снизу.
График показан на рисунке.
1310. Постройте график функции, заданной формулой: а) y = |x + 2| + |x − 2|; б) y = |x + 1| − |x − 1|.
а) Нули подмодульных выражений: −2 и 2.
При x ≤ −2: y = −(x + 2) − (x − 2) = −2x.
При −2 ≤ x ≤ 2: y = (x + 2) − (x − 2) = 4.
При x ≥ 2: y = (x + 2) + (x − 2) = 2x.
б) Нули: −1 и 1.
При x ≤ −1: y = −(x + 1) + (x − 1) = −2.
При −1 ≤ x ≤ 1: y = (x + 1) + (x − 1) = 2x.
При x ≥ 1: y = (x + 1) − (x − 1) = 2.
Графики показаны на рисунке.
При x ≤ −2: y = −(x + 2) − (x − 2) = −2x.
При −2 ≤ x ≤ 2: y = (x + 2) − (x − 2) = 4.
При x ≥ 2: y = (x + 2) + (x − 2) = 2x.
б) Нули: −1 и 1.
При x ≤ −1: y = −(x + 1) + (x − 1) = −2.
При −1 ≤ x ≤ 1: y = (x + 1) + (x − 1) = 2x.
При x ≥ 1: y = (x + 1) − (x − 1) = 2.
Графики показаны на рисунке.
1311. Постройте график функции, заданной формулой y = x + 1/x.
Функция определена при x ≠ 0 и нечётна: f(−x) = −x − 1/x = −f(x), поэтому график симметричен относительно начала координат; достаточно построить его при x > 0.
При x > 0: x + 1/x ≥ 2, так как (x − 1)² ≥ 0, а значение 2 достигается при x = 1.
Таблица (x > 0): x = 1/4, 1/2, 1, 2, 4 → y = 4,25; 2,5; 2; 2,5; 4,25. Для x < 0 берём симметричные точки: (−1/4; −4,25), (−1/2; −2,5), (−1; −2), (−2; −2,5), (−4; −4,25).
При x → 0 ветвь уходит в бесконечность вдоль оси y, при больших |x| график приближается к прямой y = x, так как 1/x мало.
График показан на рисунке.
При x > 0: x + 1/x ≥ 2, так как (x − 1)² ≥ 0, а значение 2 достигается при x = 1.
Таблица (x > 0): x = 1/4, 1/2, 1, 2, 4 → y = 4,25; 2,5; 2; 2,5; 4,25. Для x < 0 берём симметричные точки: (−1/4; −4,25), (−1/2; −2,5), (−1; −2), (−2; −2,5), (−4; −4,25).
При x → 0 ветвь уходит в бесконечность вдоль оси y, при больших |x| график приближается к прямой y = x, так как 1/x мало.
График показан на рисунке.
1312. Пересекает ли график функции y = (3x + 1)/x прямую: а) x = 0; б) y = 0; в) x = 3; г) y = 3?
y = (3x + 1)/x = 3 + 1/x, x ≠ 0.
а) Прямая x = 0 — ось y. При x = 0 функция не определена, пересечения нет.
б) y = 0: 3 + 1/x = 0, x = −1/3. Значение x допустимо — пересекает в точке (−1/3; 0).
в) x = 3: y = 3 + 1/3 = 10/3 — пересекает в точке (3; 10/3).
г) y = 3: 3 + 1/x = 3, 1/x = 0 — уравнение не имеет решений, пересечения нет.
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.
а) Прямая x = 0 — ось y. При x = 0 функция не определена, пересечения нет.
б) y = 0: 3 + 1/x = 0, x = −1/3. Значение x допустимо — пересекает в точке (−1/3; 0).
в) x = 3: y = 3 + 1/3 = 10/3 — пересекает в точке (3; 10/3).
г) y = 3: 3 + 1/x = 3, 1/x = 0 — уравнение не имеет решений, пересечения нет.
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.
1313. Постройте график функции: а) y = (2x + 3)/x; б) y = (4 − 5x)/x; в) y = 12/(x − 4); г) y = −6/(x + 3).
а) y = 2 + 3/x: гипербола y = 3/x, сдвинутая на 2 вверх; асимптоты x = 0, y = 2. Точки: (1; 5), (3; 3), (−1; −1), (−3; 1).
б) y = 4/x − 5: гипербола y = 4/x, сдвинутая на 5 вниз; асимптоты x = 0, y = −5. Точки: (1; −1), (2; −3), (4; −4), (−1; −9), (−2; −7).
в) y = 12/(x − 4): гипербола y = 12/x, сдвинутая на 4 вправо; асимптоты x = 4, y = 0. Точки: (5; 12), (6; 6), (7; 4), (2; −6), (0; −3).
г) y = −6/(x + 3): гипербола y = −6/x, сдвинутая на 3 влево; асимптоты x = −3, y = 0. Точки: (−2; −6), (0; −2), (3; −1), (−4; 6), (−6; 2).
Графики показаны на рисунке (асимптоты — штриховые линии).
б) y = 4/x − 5: гипербола y = 4/x, сдвинутая на 5 вниз; асимптоты x = 0, y = −5. Точки: (1; −1), (2; −3), (4; −4), (−1; −9), (−2; −7).
в) y = 12/(x − 4): гипербола y = 12/x, сдвинутая на 4 вправо; асимптоты x = 4, y = 0. Точки: (5; 12), (6; 6), (7; 4), (2; −6), (0; −3).
г) y = −6/(x + 3): гипербола y = −6/x, сдвинутая на 3 влево; асимптоты x = −3, y = 0. Точки: (−2; −6), (0; −2), (3; −1), (−4; 6), (−6; 2).
Графики показаны на рисунке (асимптоты — штриховые линии).