Задачи повышенной трудности — с. 284
1292. Сумма квадратов корней уравнения x² + px + 1 = 0 равна 254. Найдите коэффициент p.
По теореме Виета x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = 1. Тогда x₁² + x₂² = p² − 2 = 254, p² = 256, p = 16 или p = −16.
Проверка: D = p² − 4 = 252 > 0, корни существуют.
Ответ: p = 16 или p = −16.
Проверка: D = p² − 4 = 252 > 0, корни существуют.
Ответ: p = 16 или p = −16.
1293. При каком значении a сумма квадратов корней уравнения x² + (a − 1)x − 2a = 0 равна 9?
По теореме Виета x₁ + x₂ = −(a − 1) = 1 − a, x₁x₂ = −2a.
x₁² + x₂² = (1 − a)² + 4a = a² + 2a + 1 = (a + 1)². По условию (a + 1)² = 9, a + 1 = 3 или a + 1 = −3, то есть a = 2 или a = −4.
Условие существования корней: D = (a − 1)² + 8a = a² + 6a + 1 ≥ 0.
При a = 2: D = 4 + 12 + 1 = 17 > 0 — подходит. При a = −4: D = 16 − 24 + 1 = −7 < 0 — корней нет, не подходит.
Ответ: a = 2.
x₁² + x₂² = (1 − a)² + 4a = a² + 2a + 1 = (a + 1)². По условию (a + 1)² = 9, a + 1 = 3 или a + 1 = −3, то есть a = 2 или a = −4.
Условие существования корней: D = (a − 1)² + 8a = a² + 6a + 1 ≥ 0.
При a = 2: D = 4 + 12 + 1 = 17 > 0 — подходит. При a = −4: D = 16 − 24 + 1 = −7 < 0 — корней нет, не подходит.
Ответ: a = 2.
1294. Докажите, что при любом натуральном n, большем 2, корни уравнения x + 1/x = n — иррациональные числа.
x ≠ 0, умножим на x: x² − nx + 1 = 0. D = n² − 4.
Корни рациональны только если D — квадрат рационального числа, а так как D — целое число, то квадрат целого числа.
При n ≥ 3 имеем (n − 1)² = n² − 2n + 1 < n² − 4, так как 2n − 1 > 4 при n ≥ 3. Кроме того n² − 4 < n². Значит, (n − 1)² < D < n² — число D лежит строго между квадратами соседних натуральных чисел и не является полным квадратом.
Следовательно, √D иррационален, и корни x = (n ± √D)/2 иррациональны, что и требовалось доказать.
Корни рациональны только если D — квадрат рационального числа, а так как D — целое число, то квадрат целого числа.
При n ≥ 3 имеем (n − 1)² = n² − 2n + 1 < n² − 4, так как 2n − 1 > 4 при n ≥ 3. Кроме того n² − 4 < n². Значит, (n − 1)² < D < n² — число D лежит строго между квадратами соседних натуральных чисел и не является полным квадратом.
Следовательно, √D иррационален, и корни x = (n ± √D)/2 иррациональны, что и требовалось доказать.
1295. Докажите, что функция y = √(x² + 2√2x + 2) + √(x² − 2√2x + 2), где −√2 ≤ x ≤ √2, линейная.
Подкоренные выражения — полные квадраты: x² + 2√2x + 2 = (x + √2)², x² − 2√2x + 2 = (x − √2)².
Тогда y = |x + √2| + |x − √2|. При −√2 ≤ x ≤ √2 имеем x + √2 ≥ 0 и x − √2 ≤ 0, значит, |x + √2| = x + √2, |x − √2| = √2 − x.
y = x + √2 + √2 − x = 2√2.
Функция принимает постоянное значение 2√2, то есть задаётся формулой y = 0 · x + 2√2 вида y = kx + b (k = 0) — это линейная функция (её график — отрезок, параллельный оси x).
Тогда y = |x + √2| + |x − √2|. При −√2 ≤ x ≤ √2 имеем x + √2 ≥ 0 и x − √2 ≤ 0, значит, |x + √2| = x + √2, |x − √2| = √2 − x.
y = x + √2 + √2 − x = 2√2.
Функция принимает постоянное значение 2√2, то есть задаётся формулой y = 0 · x + 2√2 вида y = kx + b (k = 0) — это линейная функция (её график — отрезок, параллельный оси x).
1296. Из города M в город N вышел автобус со скоростью 40 км/ч. Через четверть часа он встретил ехавшую из города N легковую автомашину. Эта машина доехала до города M, через 15 мин выехала обратно в город N и обогнала автобус в 20 км от города N. Найдите расстояние между городами M и N, если скорость легковой автомашины 50 км/ч.
Время отсчитываем от выхода автобуса. К моменту встречи (1/4 ч) автобус прошёл 40 · 1/4 = 10 км от M, значит, машина была в 10 км от M и доехала до M за 10 : 50 = 0,2 ч, то есть в момент 0,25 + 0,2 = 0,45 ч. Простояв 15 мин = 0,25 ч, она выехала в N в момент 0,7 ч.
Пусть s км — расстояние MN. Обгон произошёл в 20 км от N, то есть в s − 20 км от M. Обозначим u = s − 20.
Автобус дошёл до этой точки за u/40 ч, машина — за 0,7 + u/50 ч. Времена равны: u/40 = 0,7 + u/50.
u/40 − u/50 = 0,7; u/200 = 0,7; u = 140. Тогда s = 140 + 20 = 160 км.
Проверка: автобус проходит 140 км за 3,5 ч; машина выезжает в 0,7 ч и проезжает 140 км за 2,8 ч, то есть приезжает в 3,5 ч.
Ответ: 160 км.
Пусть s км — расстояние MN. Обгон произошёл в 20 км от N, то есть в s − 20 км от M. Обозначим u = s − 20.
Автобус дошёл до этой точки за u/40 ч, машина — за 0,7 + u/50 ч. Времена равны: u/40 = 0,7 + u/50.
u/40 − u/50 = 0,7; u/200 = 0,7; u = 140. Тогда s = 140 + 20 = 160 км.
Проверка: автобус проходит 140 км за 3,5 ч; машина выезжает в 0,7 ч и проезжает 140 км за 2,8 ч, то есть приезжает в 3,5 ч.
Ответ: 160 км.
1297. Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной 50 м с интервалом 1 с. Мальчик, стартовавший вторым, догнал первого в 10 м от линии старта, добежал до конца дорожки и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии от конца дорожки он встретил первого мальчика, если известно, что эта встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика?
Пусть скорости первого и второго мальчиков v₁ и v₂ (м/с), а T — время (с, от старта первого), когда второй догнал первого в 10 м от старта. Тогда v₁T = 10 и v₂(T − 1) = 10, откуда v₁ = 10/T, v₂ = 10/(T − 1).
К моменту 10 с первый пробежал 10v₁ м от старта. Второй бежал 9 с и пробежал 9v₂ м; так как 9v₂ > 50, он уже развернулся и находится на расстоянии 50 − (9v₂ − 50) = 100 − 9v₂ от старта. Встреча: 10v₁ = 100 − 9v₂.
Подставим: 100/T = 100 − 90/(T − 1). Умножим на T(T − 1): 100(T − 1) = 100T(T − 1) − 90T, 100T² − 290T + 100 = 0, 10T² − 29T + 10 = 0, D = 841 − 400 = 441, T = (29 ± 21)/20, T = 2,5 или T = 0,4.
Так как T > 1 (второй стартовал позже), T = 2,5. Тогда v₁ = 4 м/с, v₂ = 10/1,5 = 20/3 м/с.
Первый за 10 с пробежал 40 м от старта, то есть находится в 50 − 40 = 10 м от конца дорожки. Проверка для второго: до конца дорожки он добежит за 50 : (20/3) = 7,5 с после своего старта, то есть в момент 8,5 с < 10 с; за оставшиеся 1,5 с вернётся на 1,5 · 20/3 = 10 м, то есть окажется в 40 м от старта.
Ответ: в 10 м от конца дорожки.
К моменту 10 с первый пробежал 10v₁ м от старта. Второй бежал 9 с и пробежал 9v₂ м; так как 9v₂ > 50, он уже развернулся и находится на расстоянии 50 − (9v₂ − 50) = 100 − 9v₂ от старта. Встреча: 10v₁ = 100 − 9v₂.
Подставим: 100/T = 100 − 90/(T − 1). Умножим на T(T − 1): 100(T − 1) = 100T(T − 1) − 90T, 100T² − 290T + 100 = 0, 10T² − 29T + 10 = 0, D = 841 − 400 = 441, T = (29 ± 21)/20, T = 2,5 или T = 0,4.
Так как T > 1 (второй стартовал позже), T = 2,5. Тогда v₁ = 4 м/с, v₂ = 10/1,5 = 20/3 м/с.
Первый за 10 с пробежал 40 м от старта, то есть находится в 50 − 40 = 10 м от конца дорожки. Проверка для второго: до конца дорожки он добежит за 50 : (20/3) = 7,5 с после своего старта, то есть в момент 8,5 с < 10 с; за оставшиеся 1,5 с вернётся на 1,5 · 20/3 = 10 м, то есть окажется в 40 м от старта.
Ответ: в 10 м от конца дорожки.
1298. Расстояние между пристанями A и B теплоход проходит по течению за 5 ч, а против течения — за 6 ч. За сколько часов проплывает по течению это расстояние плот?
Пусть расстояние s, скорость теплохода v, скорость течения w. Тогда v + w = s/5, v − w = s/6.
Вычтем: 2w = s/5 − s/6 = s/30, w = s/60.
Плот плывёт со скоростью течения, поэтому время равно s : (s/60) = 60 ч.
Ответ: 60 ч.
Вычтем: 2w = s/5 − s/6 = s/30, w = s/60.
Плот плывёт со скоростью течения, поэтому время равно s : (s/60) = 60 ч.
Ответ: 60 ч.
1299. Катер прошёл по течению 90 км за некоторое время. За то же время он прошёл бы против течения 70 км. Какое расстояние за это время проплывёт плот?
Пусть время t, скорость катера v, течения w. Тогда (v + w)t = 90 и (v − w)t = 70.
Вычтем второе из первого: 2wt = 20, wt = 10.
Плот за время t проплывёт wt = 10 км.
Ответ: 10 км.
Вычтем второе из первого: 2wt = 20, wt = 10.
Плот за время t проплывёт wt = 10 км.
Ответ: 10 км.
1300. Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от пункта B. Прибыв в пункты A и B, они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от пункта A. Найдите расстояние между пунктами A и B.
Пусть расстояние AB равно s км. До первой встречи оба вместе проехали s км, при этом второй велосипедист (из B) проехал 30 км.
К моменту второй встречи они вместе проехали 3s (каждый до встречи доехал до конца, затем они вместе проехали ещё 2s), значит, при постоянных скоростях второй проехал 3 · 30 = 90 км.
С другой стороны, второй велосипедист доехал из B до A (s км) и вернулся на 18 км: s + 18 км. Итак, s + 18 = 90, s = 72.
Проверка: первый проехал 3(s − 30) = 126 км = 72 + (72 − 18) = 126 км.
Ответ: 72 км.
К моменту второй встречи они вместе проехали 3s (каждый до встречи доехал до конца, затем они вместе проехали ещё 2s), значит, при постоянных скоростях второй проехал 3 · 30 = 90 км.
С другой стороны, второй велосипедист доехал из B до A (s км) и вернулся на 18 км: s + 18 км. Итак, s + 18 = 90, s = 72.
Проверка: первый проехал 3(s − 30) = 126 км = 72 + (72 − 18) = 126 км.
Ответ: 72 км.
1301. Из A в B и из B в A выехали одновременно два мотоциклиста. Первый прибыл в B через 2,5 ч после встречи, а второй прибыл в A через 1,6 ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый мотоциклист?
Пусть встреча произошла через t ч, скорости v₁ (из A) и v₂ (из B). До встречи первый проехал v₁t, а после встречи второму остаётся ехать до A как раз v₁t за 1,6 ч: v₁t = 1,6v₂. Аналогично v₂t = 2,5v₁.
Перемножим равенства: v₁v₂t² = 1,6 · 2,5 · v₁v₂, t² = 4, t = 2 ч.
Первый был в пути 2 + 2,5 = 4,5 ч, второй 2 + 1,6 = 3,6 ч.
Проверка: v₂/v₁ = t/1,6 = 1,25 и v₂/v₁ = 2,5/t = 1,25 — согласуется.
Ответ: 4,5 ч и 3,6 ч.
Перемножим равенства: v₁v₂t² = 1,6 · 2,5 · v₁v₂, t² = 4, t = 2 ч.
Первый был в пути 2 + 2,5 = 4,5 ч, второй 2 + 1,6 = 3,6 ч.
Проверка: v₂/v₁ = t/1,6 = 1,25 и v₂/v₁ = 2,5/t = 1,25 — согласуется.
Ответ: 4,5 ч и 3,6 ч.
1302. Из A в B и из B в A выехали одновременно два автомобиля и встретились через 3 ч. Первый автомобиль пришёл в B на 1,1 ч позже, чем второй в A. Во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого?
Пусть v₁ (из A) и v₂ (из B) — скорости, k = v₂/v₁. После встречи первому осталось проехать путь, который второй проехал за 3 ч: v₂ · 3, поэтому первый едет после встречи 3v₂/v₁ = 3k ч. Второму осталось проехать путь первого за 3 ч: 3v₁/v₂ = 3/k ч.
По условию 3k − 3/k = 1,1. Умножим на 10k: 30k² − 11 k − 30 = 0, D = 121 + 3600 = 3721 = 61², k = (11 ± 61)/60. Положительный корень k = 72/60 = 1,2.
Проверка: 3 · 1,2 = 3,6 ч и 3 : 1,2 = 2,5 ч; разность 1,1 ч.
Ответ: в 1,2 раза.
По условию 3k − 3/k = 1,1. Умножим на 10k: 30k² − 11 k − 30 = 0, D = 121 + 3600 = 3721 = 61², k = (11 ± 61)/60. Положительный корень k = 72/60 = 1,2.
Проверка: 3 · 1,2 = 3,6 ч и 3 : 1,2 = 2,5 ч; разность 1,1 ч.
Ответ: в 1,2 раза.