Упражнения 1271–1280 — Задачи повышенной трудности

а) Числитель: x^4 + a²x² + a^4 = (x^4 + 2a²x² + a^4) − a²x² = (x² + a²)² − (ax)² = (x² + ax + a²)(x² − ax + a²).
Знаменатель: x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²).
Сокращаем на x² − ax + a²: получаем (x² + ax + a²)/(x + a).
б) Числитель: 8a^(n+2) + a^(n−1) = a^(n−1)(8a³ + 1) = a^(n−1)(2a + 1)(4a² − 2a + 1).
Знаменатель: a^n(16a^4 + 4a² + 1); 16a^4 + 4a² + 1 = (16a^4 + 8a² + 1) − 4a² = (4a² + 1)² − (2a)² = (4a² + 2a + 1)(4a² − 2a + 1). Значит, знаменатель равен a^n(4a² + 2a + 1)(4a² − 2a + 1).
Сокращаем на a^(n−1)(4a² − 2a + 1): получаем (2a + 1)/(a(4a² + 2a + 1)) = (2a + 1)/(4a³ + 2a² + a).
Ответ: а) (x² + ax + a²)/(x + a); б) (2a + 1)/(4a³ + 2a² + a).

Сложим все пять уравнений. Каждая из переменных входит ровно в четыре уравнения, поэтому 4(x + y + z + u + v) = 5 + 1 + 2 + 0 + 4 = 12, откуда x + y + z + u + v = 3.
Вычитая из этой суммы по очереди каждое уравнение, находим недостающую переменную:
v = 3 − 5 = −2 (из первого), x = 3 − 1 = 2 (из второго), y = 3 − 2 = 1 (из третьего), z = 3 − 0 = 3 (из четвёртого), u = 3 − 4 = −1 (из пятого).
Проверка: x + y + z + u = 2 + 1 + 3 − 1 = 5; y + z + u + v = 1 + 3 − 1 − 2 = 1; z + u + v + x = 3 − 1 − 2 + 2 = 2; u + v + x + y = −1 − 2 + 2 + 1 = 0; v + x + y + z = −2 + 2 + 1 + 3 = 4.
Ответ: x = 2, y = 1, z = 3, u = −1, v = −2.

Пусть x = −t, где t > 0. Подставляем: t^4 + 5t³ − 4t² + 7t + 4 = 0 (знаки: (−t)^4 = t^4, −5(−t)³ = 5t³, −4(−t)² = −4t², −7(−t) = 7t).
Покажем, что левая часть при t > 0 положительна. Запишем её как t^4 + 5t³ − 4t² + 7t + 4 = t^4 + 5t³ + t(7 − 4t) + 4.
Если 0 < t ≤ 7/4, то 7 − 4t ≥ 0, и все слагаемые t^4, 5t³, t(7 − 4t), 4 неотрицательны, а 4 > 0, значит, сумма положительна.
Если t > 7/4, запишем иначе: t^4 + t²(5t − 4) + 7t + 4; здесь 5t − 4 > 0, и все слагаемые положительны.
Значит, при t > 0 левая часть больше нуля и равенство невозможно. Следовательно, отрицательных корней нет (x = 0 тоже не корень: значение равно 4).

Ищем дробь k/21 такую, что 5/14 < k/21 < 5/12.
Умножим неравенство на 21: 21 · 5/14 = 7,5 и 21 · 5/12 = 8,75. Значит, 7,5 < k < 8,75, и целое k = 8.
Проверка: 8/21 ≈ 0,381; 5/14 ≈ 0,357; 5/12 ≈ 0,417; 0,357 < 0,381 < 0,417.
Ответ: 8/21.

Последняя цифра степени числа 54 такая же, как у степени числа 4: 4¹ → 4, 4² → 6, 4³ → 4, ... — при нечётном показателе последняя цифра 4. Показатель 35 нечётный, значит, 54^35 оканчивается цифрой 4.
Последняя цифра степени числа 28 такая же, как у степени числа 8: 8, 4, 2, 6, затем повторяется с периодом 4. Показатель 21 = 4 · 5 + 1, значит, 28^21 оканчивается цифрой 8.
Сумма оканчивается цифрой последнего разряда числа 4 + 8 = 12, то есть цифрой 2.
Ответ: цифрой 2.

Представим 5 = 1 + 4 и выделим полные квадраты: (x² − 2x + 1) + (y² − 4y + 4) = 0, то есть (x − 1)² + (y − 2)² = 0.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда оба равны нулю: x − 1 = 0 и y − 2 = 0.
Ответ: x = 1, y = 2.

Дискриминант D = 144 − 120 = 24 > 0, корни x₁ и x₂ существуют. По теореме Виета x₁ + x₂ = −12, x₁x₂ = 30.
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 144 − 60 = 84.
Ответ: 84.

x ≠ 0. Сгруппируем: (x² + 1/x²) − 2(x + 1/x) − 13 = 0.
Пусть t = x + 1/x; тогда t² = x² + 2 + 1/x², откуда x² + 1/x² = t² − 2.
Уравнение: t² − 2 − 2t − 13 = 0, t² − 2t − 15 = 0, t = 5 или t = −3.
1) x + 1/x = 5: x² − 5x + 1 = 0, D = 21, x = (5 ± √21)/2.
2) x + 1/x = −3: x² + 3x + 1 = 0, D = 5, x = (−3 ± √5)/2.
Ответ: (5 ± √21)/2; (−3 ± √5)/2.

Число ab = 10a + b, где a — цифра десятков (1 ≤ a ≤ 8), b — цифра единиц, b > a. Дробь (10a + b)/(a + b) = ((a + b) + 9a)/(a + b) = 1 + 9a/(a + b). Она целая, если сумма цифр a + b делит 9a.
Перебираем a:
a = 1: a + b делит 9, b = 2…9, сумма 3…10: сумма 3 (b = 2) и 9 (b = 8). Числа 12 (12/3 = 4) и 18 (18/9 = 2).
a = 2: сумма делит 18, b = 3…9, сумма 5…11: сумма 6 (b = 4) и 9 (b = 7). Числа 24 (24/6 = 4) и 27 (27/9 = 3).
a = 3: сумма делит 27, b = 4…9, сумма 7…12: сумма 9 (b = 6). Число 36 (36/9 = 4).
a = 4: сумма делит 36, b = 5…9, сумма 9…13: сумма 9 (b = 5) и 12 (b = 8). Числа 45 (45/9 = 5) и 48 (48/12 = 4).
a = 5: сумма делит 45, b = 6…9, сумма 11…14 — делителей 45 в этом промежутке нет.
a = 6: сумма делит 54, b = 7…9, сумма 13…15 — нет.
a = 7: сумма делит 63, b = 8, 9, сумма 15 или 16 — нет.
a = 8: b = 9, сумма 17 не делит 72.
Ответ: 12, 18, 24, 27, 36, 45, 48.

Запишем x/(x + 1) = 1 − 1/(x + 1). Для трёх дробей сумма равна 3 − (1/(x₁ + 1) + 1/(x₂ + 1) + 1/(x₃ + 1)). Достаточно подобрать натуральные x так, чтобы сумма обратных величин была целой.
Возьмём x = 1, 2, 5: 1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 1.
Проверка: 1/2 + 2/3 + 5/6 = 3/6 + 4/6 + 5/6 = 12/6 = 2.
Ответ: например, 1/2, 2/3 и 5/6 (сумма равна 2).